Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.14: Обґрунтованість із присудком ідентичності

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52891

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

    \(\Log{LK}\)з початковими послідовності та правилами ідентичності - це звук.

    Доказ. Початкові послідовності форми\({} \Sequent \eq[t][t]\) дійсні, так як для кожної структури\(\Struct M\),\(\Sat{M}{\eq[t][t]}\). (Зверніть увагу, що ми припускаємо, що термін\(t\) закритий, тобто він не містить змінних, тому призначення змінних не мають значення).

    Припустимо, останній висновок у похідній є\(=\). Тоді передумова є\(\eq[t_1][t_2], \Gamma \Sequent \Delta, A(t_1)\) і висновок є\(\eq[t_1][t_2], \Gamma \Sequent \Delta, A(t_2)\). Розглянемо структуру\(\Struct M\). Потрібно показати, що висновок дійсний, тобто якщо\(\Sat{M}{\eq[t_1][t_2]}\) і\(\Sat{M}{\Gamma}\), то або\(\Sat{M}{C}\) для деяких\(C \in \Delta\) або\(\Sat{M}{A(t_2)}\).

    За індукційною гіпотезою передумова є дійсною. Це означає, що якщо\(\Sat{M}{\eq[t_1][t_2]}\) і\(\Sat{M}{\Gamma}\) або (а) для деяких\(C \in \Delta\),\(\Sat{M}{C}\) або (b)\(\Sat{M}{A(t_1)}\). У випадку (а) ми закінчили. Розглянемо випадок (б). \(s\)Дозволяти бути змінної присвоєння с\(s(x) = \Value{t_1}{M}\). За пропозицією 5.12.3,\(\Sat[,s]{M}{A(t_1)}\). Оскільки\(\varAssign{s}{s}{x}\), за пропозицією 5.13.3,\(\Sat[,s]{M}{A(x)}\). З тих пір\(\Sat{M}{\eq[t_1][t_2]}\), у нас є\(\Value{t_1}{M} = \Value{t_2}{M}\), а значить\(s(x) = \Value{t_2}{M}\). Застосовуючи Пропозицію 5.13.3 знову, ми також маємо\(\Sat[,s]{M}{A(t_2)}\). За пропозицією 5.12.3,\(\Sat{M}{A(t_2)}\). ◻