1.6: Парадокс Рассела

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.5: Пари, кортежі, декартові продукти
- 1.7: Резюме

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Template:MathJaxZach

Extensionality ліцензує позначення $\Setabs{x}{\phi(x)}$ , для набору $x$ таких, що $\phi(x)$ . Однак все, що розширення дійсно ліцензії є наступною думкою. Якщо є набір, членами якого є всі і тільки $\phi$ ті, то є тільки один такий набір. В іншому випадку ставимо: зафіксувавши деякі $\phi$ , набір $\Setabs{x}{\phi(x)}$ унікальний, якщо він існує.

Але це умовне значення! Що найважливіше, не кожна власність піддається осмисленню. Тобто деякі властивості не визначають множини. Якби вони все робили, то ми зіткнулися б з відверті протиріччя. Найвідоміший приклад цього - Парадокс Рассела.

Набори можуть бути елементами інших наборів, наприклад, набір потужності набору $A$ складається з множин. І тому має сенс запитати або досліджувати, чи є набір елементом іншого набору. Чи може набір бути членом самого себе? Ніщо про ідею набору, здається, не виключає цього. Наприклад, якщо всі набори утворюють колекцію об'єктів, можна подумати, що їх можна зібрати в єдиний набір — набір усіх наборів. І це, будучи набором, буде елементом безлічі всіх наборів.

Парадокс Рассела виникає, коли ми розглядаємо властивість не мати себе як елемент, бути нечленованим. Що робити, якщо ми припустимо, що існує набір усіх наборів, які не мають себе як елемент? Чи

$R = \Setabs{x}{x \notin x}\nonumber$ існує? Виявляється, ми можемо довести, що це не так.

Теорема $\PageIndex{1}$ : Russell's Paradox

Немає набору $R = \Setabs{x}{x \notin x}$ .

Доказ. Для reductio, припустимо, що $R = \Setabs{x}{x \notin x}$ існує. Потім $R \in R$ iff $R \notin R$ , так як множини є розширеними. Але це протиріччя. ◻

Давайте побіжимо через доказ того, що жоден $R$ набір нечленованих множин не може існувати повільніше. Якщо $R$ існує, має сенс запитати, $R \in R$ чи ні - це повинно бути $\in R$ або $\notin R$ . Припустимо, перше вірно, т $R \in R$ . $R$ був визначений як множина всіх множин, які не є елементами себе, і тому якщо $R \in R$ , то $R$ не має цієї визначальної властивості $R$ . Але тільки набори, які мають цю властивість $R$ , знаходяться в, отже, $R$ не може бути елементом $R$ , тобто, $R \notin R$ . Але не $R$ може бути і не бути елементом $R$ , тому у нас є протиріччя.

Так як припущення, яке $R \in R$ призводить до протиріччя, ми маємо $R \notin R$ . Але це теж призводить до протиріччя! Бо якщо $R \notin R$ , він має визначальну властивість $R$ , і так буде елементом так $R$ само, як і всі інші нечленні множини. І знову ж таки, це не може бути і не бути елементом $R$ .

Як ми створимо теорію набору, яка дозволяє уникнути потрапляння в Парадокс Рассела, тобто, що дозволяє уникнути непослідовного твердження, яке $R = \Setabs{x}{x \notin x}$ існує? Ну, нам потрібно було б скласти аксіоми, які дають нам дуже точні умови для визначення того, коли набори існують (а коли їх немає).

Теорія множин, намальована в цьому розділі, не робить цього. Це справді наївно. Це говорить вам лише про те, що множини підкоряються розширеності і що, якщо у вас є деякі множини, ви можете сформувати їх об'єднання, перетин тощо Можна розробити теорію множин більш суворо, ніж ця.