1.4: Необхідні та достатні умови

Last updated
Save as PDF

Page ID: 49900

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поняття необхідних і достатніх умов допомагають нам зрозуміти і пояснити різного роду зв'язки між поняттями, і як різні стани справ пов'язані один з одним.

Сказати, що X є необхідною умовою для Y - це сказати, що неможливо мати Y без X. Іншими словами, відсутність X гарантує відсутність Y. Необхідна умова іноді також називають істотною умовою. Деякі приклади:

Наявність чотирьох сторін необхідно для того, щоб бути квадратом.
Бути хоробрим - необхідна умова для того, щоб бути хорошим солдатом.

Щоб показати, що X не є необхідною умовою для Y, ми просто знаходимо ситуацію, коли Y присутній, але X - ні. Приклади:

Бути багатим не потрібно для того, щоб бути поважним, оскільки шанований вчитель насправді може бути досить бідним.
Жити на суші необов'язково для того, щоб бути ссавцем. Дельфіни - ссавці, але живуть вони в морі.

Ми використовуємо поняття необхідної умови дуже часто в повсякденному житті, хоча ми можемо використовувати різні терміни. Наприклад, життя вимагає кисню рівносильно говорити про те, що наявність кисню є необхідною умовою існування життя.

Стан справ може мати не одну необхідну умову. Наприклад, щоб бути хорошим концертним піаністом, необхідно мати хорошу пальчикову техніку. Але цього недостатньо. Бути хорошим у перекладі фортепіанних творів - ще одна необхідна умова.

Далі переходимо до достатніх умов. Сказати, що X є достатньою умовою для Y - це сказати, що наявність X гарантує наявність Y. Іншими словами, неможливо мати X без Y. Якщо присутній X, то Y також повинен бути присутнім. Деякі приклади:

Бути квадратом достатньо для того, щоб мати чотири сторони.
Ділитися на 42 достатньо для того, щоб бути парним числом.

Щоб показати, що X недостатньо для Y, ми придумуємо випадки, коли X присутній, але Y - ні, наприклад:

Маючи велику частку ринку, недостатньо для отримання прибутку. Компанія може домінувати на ринку, продаючи зі збитком.
Лояльності недостатньо для чесності, тому що, можливо, доведеться брехати, щоб захистити людину, до якої лояльна.

Такі вирази, як Якщо X, то Y, або X достатньо для Y, також можна розуміти, що X є достатньою умовою для Y. Зверніть увагу, що певний стан справ може мати більше однієї достатньої умови. Бути синім достатньо для того, щоб бути кольоровим, але бути зеленим, бути червоним також достатньо для того, щоб бути кольоровим.

Враховуючи будь-які дві умови X і Y, існує принаймні чотири способи, за допомогою яких вони можуть бути пов'язані один з одним:

X є необхідним, але недостатньо для Y.
X є достатнім, але необов'язковим для Y.
X є як необхідним, так і достатнім для Y (або спільно необхідним і достатнім)
X не є ні необхідним, ні достатнім для Y.

Ця класифікація дуже корисна, коли ми хочемо уточнити, як два поняття пов'язані один з одним, особливо якщо мова йде про більш абстрактні поняття. Наприклад, пояснюючи природу демократії, можна сказати, що верховенство права є необхідним, але недостатньо для демократії.