4.4: Обґрунтованість та обгрунтованість

21 Обгрунтованість і обгрунтованість ³⁷

Речення

Нагадаємо, що пропозиція - це осмислений вираз, яке може бути істинним або хибним. Речення ~~~D істинно тоді і лише тоді, коли речення ~~D є помилковим, і так далі через структуру речення, поки ми не дійдемо до атомних компонентів:

~~~D має значення true тоді і лише тоді, коли атомарне речення D є помилковим.

«Добре сформована формула» (wff), подібна до (Q&R), повинна бути оточена дужками, тому що ми можемо застосувати визначення знову, щоб використати це як частину більш складного речення. Якщо ми заперечуємо (Q&R), ми отримаємо ~ (Q&R). Якби ми просто мали Q&R без дужок і поставили заперечення перед ним, ми мали б ~ Q&R, Найбільш природно читати це як означає те ж саме, що і (~Q&R), щось дуже інше, ніж ~ (Q&R). Речення ~ (Q&R) означає, що не так, як Q, так і R є істинними; Q може бути помилковим або R може бути помилковим, але речення не говорить нам про те, що. Речення (~Q&R) означає конкретно, що Q є помилковим і що R вірно. Таким чином, дужки мають вирішальне значення для значення речення.

Отже, строго кажучи, Q&R без дужок не є реченням SL (Sentential Logic). Однак, використовуючи SL, ми часто зможемо розслабити точне визначення, щоб полегшити собі речі. Робити це ми будемо декількома способами.

По-перше, ми розуміємо, що Q&R означає те ж саме, що і (Q&R). Як умова, ми можемо залишити дужки, які трапляються навколо всього речення.

По-друге, іноді може бути заплутаним дивитися на довгі речення з багатьма вкладеними парами дужок. Ми приймаємо конвенцію про використання квадратних дужок `['і`]' замість дужок. Немає логічної різниці між (P vQ) і [P v Q], наприклад. неповороткий вирок

(((H & I) v (I & H)) & (Дж в К))

можна було б написати таким чином:

(H & I) v (I & H)

& (Дж в К)

По-третє, нам іноді захочеться перевести сполучення трьох і більше речень. Для речення `Аліса, Боб і Кендіс всі пішли на вечірку', припустимо, ми дозволили A означає `Аліса пішла «, B означає `Боб пішов», а C означає `Кендіс пішла. ' Визначення дозволяє нам формувати сполучення лише з двох речень, тому ми можемо перекласти його як (A&B) &C або як A& (B & C). Немає підстав розрізняти їх, оскільки два переклади логічно еквівалентні. Немає логічної різниці між першим, в якому (A&B) з'єднаний з С, і другим, в якому A з'єднаний з (B & C). Таким чином, ми могли б також просто написати A&B & C Як питання конвенції, ми можемо залишити дужки, коли ми об'єднаємо три або більше речень.

По-четверте, подібна ситуація виникає при множинних диз'юнкціях. `Або Аліса, Боб, або Кендіс пішли на вечірку' можна перекласти як (aVB) VC або як Av (bVC). Оскільки ці два переклади логічно еквівалентні, ми можемо написати A v B v C. Ці дві останні конвенції застосовуються лише до декількох сполучників або множинних диз'юнкцій. Якщо ряд з'єднань включає як диз'юнкції, так і сполучники, то дужки є важливими; як і з (A&B) v C і A& (B v C). Дужки також необхідні, якщо є ряд умовних або двоумовних (які будуть розглянуті в наступному розділі); як і з (A aCL B), то C і A ↔ (B ↔ C).

Ми прийняли ці чотири правила як нотаційні конвенції, а не як зміни до визначення речення. Власне кажучи, aVb v C - це ще не вирок. Натомість це свого роду стенограма. Пишемо його заради зручності, але ми дійсно маємо на увазі пропозицію (A v (B v C)).

З'єднувач, який ви дивитеся спочатку при розкладанні речення, називається головним логічним оператором цього речення. Наприклад: Основним логічним оператором ~ (E v (F & G)) є заперечення, ~. Основним логічним оператором (~E v (F & G)) є диз'юнкція, v.

Таблиці істинності

У цій главі представлений спосіб оцінки пропозицій та аргументів SL. Хоча це може бути трудомістким, метод таблиці істинності - це чисто механічна процедура, яка не вимагає інтуїції або особливого розуміння.

Істинно-функціональні зв'язки

Будь-яке неатомне речення SL складається з атомних речень з реченнями зв'язків. Істина-значення складного речення залежить тільки від істини-значення атомних пропозицій, які його складають. Для того, щоб знати значення істини (D & E), наприклад, вам потрібно лише знати істинне значення D та істинне значення E. З'єднання, які працюють таким чином, називаються істинно-функціональними.

Ми пишемо змінні, які ми використовуємо вгорі, а потім ми генеруємо таблицю, де у нас є всі можливі комбінації True і False для змінних. Наприклад, коли у нас просто є A, нам потрібно знати, яке значення заперечення, коли A є істинним або коли A є помилковим. Це означає, що твердження A має значення істинного або хибного. Ось як це працює: Якщо я скажу, що твердження А - це «Супермен носить накидку», і це твердження вірно, то заперечення цього твердження зробить нове помилкове твердження «Супермен не носить накидку». Однак, якщо я скажу, що А - це «Суперсімейка носить накидки» і що це твердження є помилковим, то заперечення цього зробить нове справжнє твердження: «Суперсімейка не носить накидки». Отже, що ця таблиця означає, що коли A є істинним, його заперечення є помилковим, а коли A є помилковим, його заперечення є Істинним.

А ~А

Т Ф

Ф Т

Однак ми навряд чи коли-небудь маємо аргументи лише з 1 твердженням. Отже, коли ми маємо 2 твердження, нам потрібно мати всі можливості Істини для них. Що це означає (і ви можете побачити це в таблиці нижче) полягає в тому, що ми повинні скласти таблицю, яка показує нам, яка істинна цінність речей, коли A і B є істинними, коли A є істинним, а B є помилковим, коли A є помилковим, а B є істинним, а коли A і B є помилковими. Тоді ми можемо додати зв'язки і побачити, коли вони істинні, враховуючи передбачувану істинність A і B. Наприклад, кон'юнкт (&) є тільки True, коли вони обидва True і disjunct (v) істинний, коли принаймні один з них є (і тільки False, коли вони обидва False).

A B A &B авБ

Т Т Т Т

Т Ф Ф Т

Ф Т Ф Т

Ф Ф Ф Ф

Тепер ви повинні бути в змозі зробити деякі аналізи на деяких основних реченнях. Для наступного припустимо, що A, B, C є істинними і що X, Y, Z є помилковими. Припускаючи ці значення істини, чи є наступні речення True чи False?

1) ~ Х в Y

2) (А в Я) & B

3) ~ А в (Z & ~X)

4) (А в З) v ~ (~ (B & ~Z) & ~ (С v ~ Y))

Відповіді: 1) це T, тому що ~X є Істинним, і він приймає лише одну сторону диз'юнкту, щоб бути правдою, щоб зробити все це істинним; 2) істинно; 3) є помилковим; і 4) є істинним (підказка: Все, що вам потрібно знати, це те, що A є істинним, і це стає дійсно простим)

Чи вірно наступне твердження?

Небо блакитне або місяць яскраво-рожевий, а собаки - не тварини.

Щоб розібратися в цьому, нам потрібно його символізувати. Пропоную наступне:

B = Небо синє. P = Місяць яскраво-рожева. D = Собаки - тварини.

Б в П & ~Д

Але чи зрозуміло, що це означає? Нам потрібно використовувати дужки! Але незрозуміло, куди йдуть дужки, і залежно від того, куди ми їх ставимо, це може бути True (в першому випадку) або False (у другому).

B v (П & ~D)

(B v P) & ~D

Повні таблиці істинності

Істинне значення речень, які містять лише один сполучний, задається характерною таблицею істинності для цього сполучного. Щоб поставити їх все в одному місці, таблиці істинності для сполучних СЛ повторюються в таблиці.

Характерна таблиця істинності для сполучника, наприклад, дає умови істинності для будь-якого речення виду (A &B). Навіть якщо сполучники A і B є довгими, складними реченнями, сполучник істинний тоді і тільки тоді, коли і A, і B є істинними. Розглянемо речення (H &I) vH. Розглянемо всі можливі поєднання true і false для H і I, що дає нам чотири ряди.

Потім ми копіюємо істинні значення для букв речення і записуємо їх під літерами в реченні.

H I (H & I) v H

Т Т Т Т Т

Т Ф Т Ф Т

Ф Т Ф Т Ф

Ф Ф Ф Ф Ф

Тепер розглянемо підречення H &I Це сполучення A &B з H як A і з I як B H і I як B H і I обидва вірні в першому рядку. Оскільки кон'юнкція істинна, коли обидва кон'юнкти є істинними, ми пишемо T під символом сполучника. Продовжуємо для інших трьох рядів і отримуємо ось що:

H I (H & I) v H

Т Т Т Т Т Т Т

Т Ф Т Ф Т

Ф Т Ф Ф Т Ф

Ф Ф Ф Ф Ф

Все речення є диз'юнкцією aVB з (H &I) як A і з H як B. У другому рядку, наприклад, (H &I) є помилковим, а H - істинним. Оскільки диз'юнкція істинна, коли диз'юнкт є True, ми пишемо T у другому рядку під символом диз'юнкції. Продовжуємо для інших трьох рядів і отримуємо ось що:

H I (H & I) v H

Т Т Т Т Т Т Т Т

Т Ф Т Ф Т Т

Ф Т Ф Т Ф Ф

Ф Ф Ф Ф Ф Ф

Стовпець Ts під умовним говорить нам, що речення (H & I) v I вірно, коли H є істинним, і істина I не визначає істинність речення. Дуже важливо, щоб ми розглянули всі можливі комбінації. Якби у нас була лише дворядкова таблиця істинності, ми не могли бути впевнені, що речення не є помилковим для якоїсь іншої комбінації істинних значень.

Більшість стовпців під реченням є лише для цілей бухгалтерського обліку. Коли ви станете більш досвідченими з таблицями істини, вам, ймовірно, більше не потрібно буде копіювати стовпці для кожної з букв речення. У будь-якому випадку, істинне значення речення у кожному рядку - це лише стовпець під основним логічним оператором речення; у цьому випадку стовпець під умовним.

Повна таблиця істинності містить рядок для всіх можливих комбінацій T і F для всіх букв пропозиції. Розмір повної таблиці істинності залежить від кількості різних букв пропозиції в таблиці. Речення, що містить тільки одну букву пропозиції, вимагає всього двох рядків, як в характерній таблиці істинності для заперечення. Це вірно, навіть якщо одна і та ж буква повторюється багато разів, як у реченні [(C v C) & C] &~ (C & C). Повна таблиця істинності вимагає лише двох рядків, оскільки існує лише дві можливості: C може бути істинним або помилковим. Одна буква речення ніколи не може бути позначена як T, так і F в одному рядку. Таблиця істинності для цього речення виглядає так:

C [(C VC) &C] & ~ (C & C)

Т Т Т Т Т Т Ф Ф Т Т Т

Ф Ф Т Ф Ф Ф Ф Ф Ф

Дивлячись на стовпець під основним сполучним, ми бачимо, що речення помилкове на обох рядках таблиці; тобто воно помилкове незалежно від того, чи є C істинним чи хибним.

Речення, яке містить дві літери речення, вимагає чотирьох рядків для повної таблиці істинності, як у характерних таблицях істинності та таблиці для (H & I) v I.

Речення, яке містить три літери речення, вимагає восьми рядків. Наприклад:

М Н П М & (Н в П)

Т Т Т Т Т Т Т Т

Т Т Ф Т Т Ф

Т Ф Т Т Ф Т Т

Т Ф Ф Т Ф Ф Ф

Ф Т Т Ф Т Т

Ф Т Ф Ф Т Т Ф

Ф Ф Т Ф Ф Т

Ф Ф Ф Ф Ф Ф

З цієї таблиці ми знаємо, що речення M & (N vP) може бути істинним або хибним, залежно від істинних значень M, N і P.

Повна таблиця істинності для речення, що містить чотири різні літери речення, вимагає 16 рядків. П'ять букв, 32 рядки. Шість букв, 64 рядки. І так далі. Щоб бути абсолютно загальним: Якщо повна таблиця істинності має n різних букв речення, то вона повинна мати 2n рядків.

Для того щоб заповнити стовпці повної таблиці істинності, почніть з крайньої правої літери пропозиції і чергуйте Ts і Fs. У наступному стовпці зліва напишіть два Ts, напишіть дві Fs, і повторіть. Для третього листа пропозиції напишіть чотири Ts, а потім чотири Fs. Це дає вісім рядків таблиці істинності, як і вище.

Для 16-рядкової таблиці істинності наступний стовпець букв речення повинен мати вісім Ts, а потім вісім Fs. Для таблиці рядків 32 наступний стовпець матиме 16 Ts, а потім 16 Fs. І так далі.

Тавтології, протиріччя та умовні вироки

Англійське речення - це тавтологія, якщо воно повинно бути істинним як питання логіки. З повною таблицею істинності ми розглядаємо всі способи, якими може бути світ. Якщо речення вірно на кожному рядку повної таблиці істинності, то воно вірно як питання логіки, незалежно від того, яким є світ.

Таким чином, речення - це тавтологія в SL, якщо стовпець під його основною сполучною є T на кожному рядку повної таблиці істинності. І навпаки, речення є протиріччям у SL, якщо стовпець під його основним сполучним є F у кожному рядку повної таблиці істинності.

Речення є умовним у SL, якщо воно не є ні тавтологією, ні протиріччям; тобто якщо це T принаймні на одному рядку і F принаймні в одному рядку.

Логічна еквівалентність

Два речення логічно еквівалентні англійською мовою, якщо вони мають однакове значення істини, що і логіка матерії. Знову ж таки, таблиці істинності дозволяють визначити аналогічне поняття для SL: Два речення логічно еквівалентні в SL, якщо вони мають однакове значення істини в кожному рядку повної таблиці істинності. Розглянемо речення ~ (A v B) і ~A&~B. Чи є вони логічно еквівалентними? Щоб це з'ясувати, будуємо таблицю істинності.

А Б ~ (А в Б) ~ А & ~ В

Т Т Ф Т Т Ф Т Ф Т

Т Ф Ф Т Т Ф Ф Ф

Ф Т Ф Т Т Ф Ф Т

Ф Ф Т Ф Ф Т Т Ф

Подивіться на стовпці для основних сполучних; заперечення для першого речення, сполучник для другого. У перших трьох рядках обидва є F. У останньому рядку обидва є Т. Оскільки вони збігаються у кожному рядку, два речення логічно еквівалентні.

Термін дії

Аргумент англійською мовою є дійсним, якщо логічно неможливо, щоб приміщення було істинним, а висновок був помилковим одночасно. Іншими словами, якщо приміщення вірні, то висновок теж повинен бути вірним. Аргумент є дійсним у SL, якщо немає рядка повної таблиці істинності, в якій є всі умови T, а висновок F; аргумент є недійсним у SL, якщо є такий рядок. Розглянемо цей аргумент:

~Л в (Дж & Л)

Л

∴ Дж

Чи дійсно це? Щоб це з'ясувати, будуємо таблицю істинності

.

J Л ~ Л v (J & L) Л J

Т Т Ф Т Т Т Т ОК!

Т Ф Т Т Т Ф Ф Т

Ф Т Ф Ф Ф Ф Т Ф

Ф Ф Т Т Ф Ф Ф Ф

Так, аргумент є справедливим. Єдиний ряд, на якому обидва приміщення - Т - це перший ряд, а на тому ряду висновок теж Т.

А як щодо цього?

~Л v (Дж в Л)

Л

∴ Дж

Чи дійсно це? Щоб це з'ясувати, будуємо таблицю істинності.

J Л ~ Л v (J v L) Л Дж

Т Т Ф Т Т Т Т ОК!

Т Ф Т Т Т Ф Т Ф Т

Ф Т Ф Т Т Т Т Ф ІНВАЛІД!

Ф Ф Т Т Ф Ф Ф Ф

Ні, аргумент не є дійсним. Є два ряди, де обидва приміщення є True. В одному з них висновок також вірний. Однак, коли J є False, а L - True (рядок 3), передумови є True, а висновок False, що робить його недійсним.

Обґрунтованість

Звучність - це найпростіша концепція для розуміння, за умови, що ви розумієте дійсність. Логіка полягає в структурі аргументів та визначенні обґрунтованості, оскільки це все, що ми можемо зробити: переконайтеся, що міркування, які ми використовуємо, є правильними і фактично привели нас до висновків, які ми хочемо. Вагомі аргументи можуть бути абсолютно нецікавими, але принаймні їх міркування тверді. Наприклад, це справедливо:

Якщо з'їсти бутерброд, то ви придбаєте фіолетовий колір.

Ви з'їли бутерброд.

Тому ви придбаєте фіолетовий колір.

Це дійсно... але кому це цікаво? Те, про що ми дійсно дбаємо в реальному житті, - це надійність. Аргумент є обґрунтованим, коли він дійсний і всі приміщення насправді вірні. Це означає, що ви щойно дізналися щось нове і реальне, про що ми дбаємо. Наприклад,

Або ви це зрозумієте, або будете перечитувати.

Якщо ви перечитаєте це, то зрозумієте.

Тому ви в цьому зрозумієте.

Це дійсно, і це насправді так, оскільки я припускаю, що ви будете перечитати його, якщо ви не зловили його з першого разу. Ось його символізація, щоб ви могли перевірити її на дійсність самостійно:

У в Р

R > U

∴ U