4.3: Пропозиції, висновки та судження

Last updated
Save as PDF

Page ID: 50814

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

20 Пропозиції, висновки та судження ^³⁵

Розглянемо наступні два твердження:

- Вона дратує, але я її люблю. - Я її люблю, але вона дратує.

Про що тут говорять? Технічно кажучи, «але» функціонує як сполучник, і два речення означають логічно те ж саме. Вони означають: «Я люблю її, і вона дратує» і нічого більше. Вловити тонкощі мови в логічних системах іноді складно, і це один із прикладів. У першому випадку акцент робиться на любов, а в другому - на досаду. Сьогоднішній урок про деякі тонкощі мови і про те, як ми щодня розуміємо логіку в нашій звичайній мові. Хоча пропозиція (твердження, яке підлягає істинному чи помилковому) говорить одне технічно, його регулярне мовне значення значно відрізняється. Судження - це коли ми визначаємо, чи є твердження насправді True чи False. Отже, визначення Істини вищезазначеного твердження було б однією справою в Логіці, а іншим у реальному житті. Чому ми дбаємо про Істину чи Неправдивість висловлювань? Тому що знання, чи є вони істинними чи помилковими, дозволяє нам з'ясувати, що ще ми знаємо. Незалежно від того, що вони є True або False, існують висновки (твердження, які обов'язково випливають з припущення, що певні твердження є істинними), які ми можемо зрозуміти. Процес, як правило, однаковий: враховуючи те, що нам сказали, що ще ми можемо зробити висновок? Логічна еквівалентність означає, що два твердження є істинно-функціонально еквівалентними, а це означає, що вони обидва є Істинними при всіх однакових обставин. По суті, це означає, що всякий раз, коли один з них є Істинним, інший також є Істинним. Якщо ми зможемо зрозуміти, які твердження логічно рівнозначні, то можна зрозуміти основну ідею тягнень. Одиночні твердження можуть дати нам деякі висновки, такі як еквівалентність, і саме тут ми почнемо, перш ніж перейти до більш складних висновків у формах доказів і відрахувань. На даний момент ми збираємося отримати більш докладно про диз'юнкції, щоб зрозуміти, що ми можемо зробити висновок про розуміння з основних тверджень.

Ексклюзивні проти невиключних диз'юнкцій ^³⁶

ПРИМІТКА: ∙ = & в тексті нижче. Існують різні позначення, і в деяких з них вони використовують ∙ для представлення сполучників.

З'єднувачі «або» і «або... або» використовуються двома різними способами в щоденних дискурсах. Коли ведучий запитує вас «Кава чи чай?» , неявно мається на увазі, що ви повинні вибрати каву або чай, але не обидва. Сполучне «або» вживається у винятковому сенсі, щоб означати «той чи інший, але не обидва». Після цього, коли господар знову запитає вас «Вершки або цукор?» Ви можете відповісти, сказавши «Обидва, будь ласка». Зараз сполучна використовується в невиключному сенсі «той чи інший, або обидва».

Ось приклад «або... або...», що використовується в невиключному сенсі:

Або вогонь, або дим можуть пошкодити картини.

F ₵ S

F: Вогонь може пошкодити картини.

S: Дим може пошкодити картини.

Якщо або вогонь, або дим можуть пошкодити картини, то два разом можуть пошкодити картини.

У Propositional Logic клин «₵» використовується для символізації невиключних диз'юнкцій. Так речення символізується як F ₵ S.

На відміну від цього, в наступному реченні «або... або...» вживається у винятковому сенсі.

Федеральна резервна система або підвищить процентні ставки, або залишить їх недоторканими.

(R ∙ л)

Р: Федеральна резервна система підвищить процентні ставки.

Л: Федеральна резервна система залишить процентні ставки недоторканими.

(R ∙ Л). Перший кон'юнкт R ₵ L означає, що Федеральна резервна система буде робити те чи інше, або обидва. Але другий кон'юнкт (R ∙ L) говорить про те, що Федеральна резервна система не буде робити і те, і інше. Тож разом вони захоплюють значення «того чи іншого, але не обох».

Як символізувати «хіба що»

Складноречення, утворене сполучним «хіба що», може бути символізовано як умовне або двоумовне, в залежності від значення пропозиції. Його також можна символізувати як диз'юнкція. Але при цьому нам потрібно звернути увагу на те, чи є це ексклюзивна чи невиключна диз'юнкція. вирок

Джефф не може закінчити навчання, якщо він не виконає всі вимоги GE.

Ми також можемо переписати це як

Або Джефф виконує всі вимоги GE, або він не може закінчити навчання.

?? G ? G, тому що можливо, що Джефф виконує всі вимоги GE, але все ще не може закінчити навчання через, скажімо, ще не задовольнив загальну вимогу до одиниці. G логічно еквівалентний G ₵ C. В результаті ми можемо символізувати його як G ₵ C.

Джефф не може закінчити навчання, якщо він не виконає всі вимоги GE.

₵ G ₵ С

«Не... обидва...» і «Обидва... ні...»

Важливо не об'єднати «Не... обидва...» і «Обидва... не...». Порівняйте ці два речення:

Не і Моне, і Шопен є художниками.

Це не так, що Моне - художник, а Шопен - живописець.

(М ∙ С)

М: Моне — живописець.

C: Шопен — живописець.

І Дворжак, і Шуберт не художники.

Dvořá k не художник і Шуберт не художник.

مS

Д: Dvořá k — живописець.

С: Шуберт — живописець.

Перше речення заперечує, що і Моне, і Шопен є художниками. Тобто це говорить про те, що хоча б один з них не є живописець. Його можна перефразувати як

Або Моне, або Шопен - не художник.

Або Моне не художник, або Шопен - не художник.

?? C ? C, якщо ми розгорнемо його повністю, як

Або Моне не художник, або Шопен - не художник.

مС.

На відміну від цього, друге речення є сполучником.

І Дворжак, і Шуберт не художники.

Dvořá k не художник і Шуберт не художник.

مS

Д: Dvořá k — живописець.

С: Шуберт — живописець.

Більш того, це логічно еквівалентно обом реченням нижче:

Ні Дворжак, ні Шуберт не художник.

Це не так, що або Dvořá k - художник, або Шуберт - художник.

(D ₵ S)

Ні Дворжак, ні Шуберт не є живописець.

Це не так, що або Dvořá k - художник, або Шуберт - художник.

(D ₵ S)

S логічно еквівалентно (D ₵ S).

Наступні формули підсумовують відмінності між «Не... обидва...» і «Обидва... не...» і показують, як їх символізувати:

مممq = Ні р, ні q = ₵ (p ä q ) = Ні р, ні q = ₵ (р ₵ q)