33.1: Таблиці істинності

Весь сенс навчитися символізувати речення в останньому розділі полягає в тому, що ми тепер можемо використовувати їх у таблицях істинності. Таблиці істинності - це формальний логічний інструмент, який дозволяє нам визначити, за яких умов твердження або група тверджень є істинними чи хибними або, іншими словами, істинне значення твердження. «Істина-цінність» - це термін, який ми використовуємо для позначення того, чи є твердження істинним, хибним чи невизначенним. Ми зможемо використовувати ці таблиці для визначення:

1. Якщо твердження є тавтологією, протиріччям або непередбаченим явищем.
2. Якщо пара тверджень послідовна або логічно еквівалентна.
3. Якщо аргумент є дійсним або недійсним.

Це буде неабияка сума, яку потрібно взяти. А поки давайте зосередимося на таблицях і способах їх виготовлення.

Приступаємо до роботи

Корисно думати про таблицю істинності як про тип таблиці таблиці. На одній стороні діаграми будуть стовпці, що представляють можливі комбінації істинно-значення для термінів у твердженні, а праворуч ми будемо використовувати ці значення істини, щоб «розв'язати» таблицю, отримуючи інформацію про речення. Ліва сторона буде виглядати більш-менш однаково для кожної таблиці правди, тому ви повинні мати можливість отримати повісити їх налаштування досить швидко. Кількість стовпців і рядків, які має ліва частина таблиці, залежить від кількості змінних (по одній для кожного символізованого простого речення в розглянутому нами твердженні. Для кожного простого речення в заяві буде один стовпець для цієї змінної, а кількість рядків буде починатися з 2 і подвійно для кожного додаткового простого речення. Таким чином, для претензії 'P' у нас буде один стовпець і два рядки. Для «P & Q, 'у нас було б два стовпці і 4 рядки, для' (P & Q) & R' у нас було б три стовпці і 8 рядків і т.д. технічно кажучи, немає шапки до того, наскільки велика таблиця може бути, так що ви могли б зробити один для будь-якої кількості простих речень. Вони отримують досить громіздкий досить швидко, хоча, так що ми ніколи не будемо просити вас працювати один для більш ніж трьох змінних. У цей момент допоможе подивитися деякі приклади.

Тепер, коли у нас є порожні таблиці, нам потрібно заповнити їх комбінаціями істинних значень. Для цього ми введемо T і F в поля. Як і слід було очікувати, «T» розшифровується як «правда», а «F» означає «брехня». Ідея полягає в тому, що ці T і F покажуть нам всі можливі комбінації, в яких наше просте речення може бути істинним або помилковим відносно один одного. Повернемося до прикладів. Коли є лише одне просте речення, можливі лише два варіанти: P може бути істинним або помилковим. Отже, таблиця виглядає наступним чином.

Якщо є дві змінні, можливостей буде вдвічі більше, тому що обидві можуть бути істинними, перша може бути false, а друга true, перша може бути true і друга false, і обидва можуть бути false. Це дає нам таблицю, яка виглядає так:

Речі ускладнюються для нашого набору з трьох змінних. Замість того, щоб виписувати всі варіанти, ми можемо просто подивитися на таблицю нижче. Зверніть увагу, що кожен рядок має різну комбінацію істинних значень для кожної літери, починаючи з того, що всі вони є істинними і закінчуючи ними всі неправдиві.

Так само, як нагадування, ви завжди можете побудувати таблицю з більш простими реченнями, але кожен раз ви будете подвоювати кількість рядків.

Найбільш спостережливі з вас, ймовірно, помітили закономірність у тому, як ці три приклади були створені. Найдальший правий стовпець T на півдорозі вниз, а потім F решту шляху вниз. Стовпець, що знаходиться далі ліворуч, чергує T і F, а середній стовпчик чергується двійками. Це завжди буде так, і найцікавіше в цьому полягає в тому, що це допомагає нам заповнити значення істини в лівій частині таблиці дуже швидко. Немає необхідності турбуватися про те, чи ми охопили всі перестановки. Якщо ми чергуємо так, у нас будуть всі варіанти без повторів. (Якби ми знайшли собі зробити таблицю для 4 простих речень, то ми б просто додати ще один рядок всередині; таблиця буде в два рази довше, так що ми б мати 8 T, а потім 8 F).

Правила

Права сторона таблиці істинності - це те, де робота дійсно робиться. З правого боку ми використовуємо значення, які ми ввели з лівого боку, і кілька правил для визначення істин-значень складних речень. Кожен з логічних з'єднувачів, які ми використовували для символізації пропозицій у останньому розділі (&, v, →, ← →, ~), має відповідну діаграму, яка повідомляє нам, яким має бути значення істини для даного рядка з правого боку. Давайте розглянемо діаграми по черзі, починаючи з функції and (&).

Для того, щоб «P & Q' були правдивими, і 'P', і 'Q' повинні бути істинними. Це повинно бути очевидним, враховуючи спосіб 'і' працює в нашій традиційній граматиці. Також має бути очевидним, що жодна інша комбінація істинних значень не зробить 'P & Q' істинним, тому що або 'P', або 'Q' будуть помилковими у кожному іншому рядку таблиці, і вони не можуть бути істинними, якщо один з них є помилковим. Про це нам говорить наведена вище таблиця. Коли ми хочемо знати значення істинності для «&», ми дивимося на стовпці в лівій частині таблиці для змінних по обидва боки символу '&'. Спускаючись по кожному ряду, ми дивимося, чи обидва вони правдиві. Якщо вони є, ми ставимо ', і якщо навіть один з них є помилковим, ми ставимо 'F'.

Функція 'або' (v) трохи складніше. Це тому, що «або» - це складне слово в англійській мові. Іноді ми використовуємо «або», щоб означати «лише один з двох варіантів», а іноді ми маємо на увазі «або обидва». Перше ми називаємо ексклюзивним «або», а друге - інклюзивним «або». Важливо пам'ятати, що коли ми використовуємо логічний оператор «v», ми завжди маємо на увазі інклюзивне «або». Таким чином, умови 'v' виконуються, якщо одна або обидві змінні є істинними. Це означає, що істини «P» достатньо, щоб зробити «P v Q» істинним, як і правда «Q» та «P» та «Q». 'P v Q' представлено на наступній діаграмі.

Ця діаграма повинна виглядати так, як ви очікували - єдиним рядком таблиці, де «P v Q» є помилковим, є лінія, де ні «P», ні «Q» не відповідають дійсності.

Умовні (→) ускладнюють речі трохи більше. Ми говорили про умовні в довжину в розділі 3. Як нагадування, умовний говорить про те, що якщо перше твердження істинно, то і друге. Думаючи про те, що це означає навпаки, єдиний спосіб, яким умовний буде помилковим, - це якщо перше твердження є істинним, а друге помилковим. Якщо це має сенс для вас, то ця таблиця повинна також. Якщо ні, сподіваюся, таблиця допоможе.

Дивлячись на перший рядок таблиці, повинно бути очевидним, що «P» і «Q» істинними робить 'P → Q' істинним (якщо 'P' є істинним, і це так, то 'Q' буде істинним, і це так). Тепер подивіться на другий рядок. Це говорить: «P» не відповідає дійсності, а «Q» - це. Умовний говорить, що якщо 'P' є істинним, то 'Q' буде істинним, але це нічого не говорить про те, що 'P' не є істинним. Отже, умовне все ж вірно. Це третій рядок, де ми бачимо умовне показано бути помилковим. Умовний вимагає, щоб якщо 'P' вірно, то 'Q' також, і це не так з цим сполученням істинно-значення. Останній рядок вірний з тієї ж причини, що і другий рядок. Умовне стосується лише випадків, коли 'P' є істинним.

Далі ми розглянемо біумовний (← →). Важливим для розуміння біумовної таблиці є розуміння того, що друге твердження вірно лише тоді, коли перше також є. Оскільки друге твердження вірно лише тоді, коли перше твердження є, коли перше не відповідає дійсності, друге також не може бути істинним. Думаючи про це з точки зору понять з глави 3, бізастережний виникає, коли попередник і наслідок умовного є спільними необхідними і достатніми один для одного. Ось таблиця:

Підсумкова таблиця - заперечення (~). Заперечення просто означає, коли судження, яке слідує за запереченням, є хибним, заперечення є істинним, а коли пропозиція після заперечення істинна, заперечення помилкове. Заперечення є найпростішим роз'ємом для вирішення, тому що все, що вам потрібно зробити, це прийняти протилежне - повернути T до F і F до T. Ось таблиця:

Тепер у вас є всі основні інструменти для створення таблиць правди. Ці інструменти можуть бути використані для складання таблиць для будь-якого складного речення, використовуючи будь-яку кількість логічних з'єднувачів.

Завершення таблиці

Маючи ці правила на місці, ми тепер можемо використовувати їх для вирішення деяких таблиць. Почнемо з складного речення:

~ (П в Q)

Насамперед встановлюємо ліву частину столу. З двома змінними, це буде означати 4 рядки.

Далі встановлюємо праву сторону. Ми вирішуємо для ~ (P v Q), так що буде йти у верхній частині правого стовпця.

Далі нам потрібно визначити істину-значення для складного речення. Ми бачимо, що два логічні оператори - '~' і 'v' - використовуються, тому ми знаємо, що нам потрібно звернутися до таблиць, які направляють нас на те, як використовувати ці оператори. Таблиця '~' говорить нам, що нам потрібно прийняти протилежне тому, що слідує за символом '~'. Але перш ніж ми зможемо це зробити, нам потрібно знати значення істини для (P v Q). Щоб зрозуміти це, ми використовуємо правило «v». Як ми бачимо з таблиці «v», P v Q вірно кожен раз, коли P або Q вірно. Даючи нам:

Нарешті, беремо протилежне цим істинним значенням (застосовуючи правило заперечення) і отримуємо:

Продумуючи, що ~ (P v Q) означає, що ні P, ні Q не вірні, ця таблиця повинна мати сенс. Єдиний рядок, який позначений як true, є останнім (де P і Q обидва false).

Для більш складних столів допомагає мати під рукою трохи скрап-паперу. Розглянемо [~ (P v ~Q)] & (Q → P)]. У цих складних реченнях, як і в математиці, ми працюємо зсередини дужок. Давайте розглянемо його поетапно. Ми знаємо, що «P v ~ Q» вірно в кожному рядку, де 'P' є істинним. Отже, ставимо 'T' на рядах 1 і 3. Ми також знаємо, що це правда в кожному рядку, що 'Q' є помилковим. Отже, ставимо 'T' на ряд 4 (а там вже є один на рядку 3). Єдиний рядок, що залишився, - другий, і цей рядок отримує 'F '.

Тепер застосовуємо правило заперечення і беремо протилежне тому, щоб отримати:

Далі робимо другу сторону кон'юнкції. Використовуючи умовне правило, ми знаємо, якщо 'Q' є істинним, то 'P' має бути істинним. Шукайте рядок, де це не так (рядок 2). Цей рядок помилковий, а всі інші - істинні.

Залишилося лише застосувати правило кон'юнкції та визначити рядки, де істинні обидва [~ (P v ~Q)] та (Q → P). Таблиця показує, що немає рядка, де це так, тому всі вони отримують 'F '.

І саме так ви робите таблиці правди. Складні речення, для яких ми розв'язуємо, можуть стати більш складними або шляхом залучення більшої кількості логічних операторів або більше змінних, але ми вирішимо їх, складаючи таблиці, як ми щойно робили в попередніх двох прикладах. Майте на увазі, що ви також можете використовувати прийоми, які ви дізналися минулого тижня, для зменшення заперечення, щоб зробити таблицю простішою. Отже, якщо вам доведеться зробити таблицю для ~ (~P v ~Q), ви можете спочатку витягнути заперечення, перетворивши його на: ~~ (P & Q), а потім усунувши заперечення, зробивши його: P & Q.

Деякі з вас, мабуть, відчувають себе досить впевнено, а інші, ймовірно, відчувають себе трохи нелегко. Як ми вже згадували на початку цього розділу, так само, як і з математикою, єдиний реальний спосіб освоїтися і переконатися, що ви знаєте, що ви робите, - це працювати над прикладами. Наступний розділ попросить вас побудувати таблиці для деяких складних речень. Якщо ви не поспішаєте і продумуєте це крок за кроком, він почне натискати, навіть якщо ви відчуваєте себе втраченим. Додаток для цього розділу також має всі правила з раніше на одній сторінці. Можливо, ви захочете, щоб це було відкрито, як ви працюєте через таблиці.

вправи

Побудувати таблицю істинності для наступних складних речень.

1. ~ (~П & Q)
2. П ← → (П v Q)
3. П v (Q v R)
4. P & (~П → Q)
5. Р ← → (Q ← → ~Р)
6. Q в ~П
7. (P & ~ Q) & R
8. Р → ~Q
9. (П & ~ Q) v П
10. Q v (Р ← → ~П)
11. ~Q ← → (П & ~Q)
12. Р → (Q v ~R)
13. (П v R) ← → (П ← →Р)
14. ~ (~ Q v P) & Q
15. R & [(R → P) → Q]
16. ~П v [(~Q → P) v ~ (Р → ~Q)]
17. [(П в ~П) v (Q v ~ Q)] v ([(R v ~ R) v (P & ~P)] v [(Q & ~Q) v (R & ~R)]
18. (~П в ~R) → [~Q & (~П → ~R)]
19. ~ [(П в ~П) v (Q v ~ Q)]
20. (~~ [(Р —? ~Q) & (П в Р)]) ← → [(~R v R) v (P & Q)]

Відповіді на вибрані вправи

1. ~ (~П & Q)

Ми починаємо з використання правил маніпуляції заперечення з останньої глави, щоб зробити це простіше. ~ (~P & Q) - це те саме, що і P v ~Q, але логічних операторів менше, щоб мати справу. Речення має дві змінні, тому таблиця буде довжиною в чотири рядки. Значення для P приходять з лівого боку таблиці, так що все, що нам потрібно зробити, це скопіювати їх вниз. Для ~Q ми беремо протилежне Q в лівій частині таблиці.

Тепер ми використовуємо ці нові значення та правило «або», щоб завершити таблицю. Правило «або» говорить, що ми ставимо T у поле в будь-який час або претензія ліворуч від «v», або праворуч від «v» є істинною, і ми ставимо F, коли обидва вони помилкові. Таким чином, лінії 1, 3 і 4 отримують T, а лінія 2 отримує F.

Тепер ми закінчили.

2. П ← → (П v Q)

Немає можливості спростити це речення, тому ми просто починаємо зі складання таблиці. Знову ж таки, є тільки 2 літери (хоча одна з'являється двічі), тому таблиця має довжину 4 рядки. Перший крок - поставити значення істинності для P і Q під літерами праворуч. Знову ж таки, ці значення просто надходять з лівої частини таблиці.

Тепер можна приступати до вирішення таблиці. Ми повинні працювати зсередини дужок, так само, як в алгебрі, тому ми будемо використовувати правило 'або', так само, як і в задачі 1. Перші три рядки будуть T, а останніми - F.

Тепер вирішуємо для ← →, останній крок. Правило для ← → говорить, що коли ліва і права сторона символу є істинними, то ви ставите T. Це також говорить, що всякий раз, коли ліва і права сторона символу помилкові, ви ставите T, а у всіх інших випадках ви ставите F. Отже, лінії 1, 3 і 4 всі T, а рядок 2 F.

3. П v (Q v R)

Так само, як і у питанні 2, це речення не може бути спрощено. Отже, складемо таблицю для пропозиції в тому вигляді, в якому воно стоїть. Цього разу є три змінні, тому таблиця буде довжиною 8 рядків. Як завжди, першим кроком є введення істинних значень для всіх букв праворуч.

Тепер працюємо з дужок. Таким чином, використовуючи 'або' правило, ми шукаємо будь-який рядок, де Q є помилковим і R є помилковим, так як це єдиний рядок, де ми ставимо F. На кожному іншому рядку, ми ставимо T.

Тепер ми знову використовуємо правило «або», використовуючи значення для P і ті, які ми щойно обчислили з дужок. Знову ж таки, кожен рядок отримує T, за винятком випадків, коли обидві сторони 'v' є помилковими.

Тепер ми закінчили.

Маючи ці приклади під нашими поясами, давайте перейдемо до вивчення того, як насправді використовувати таблиці.