Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

32.3: Маніпуляція запереченням

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    51315

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Як уже згадувалося вище, формальна логіка особливо корисна, коли ми маємо справу з дуже складними претензіями. Існує не так багато, що ми можемо зробити, щоб керувати тим, як складне символізоване речення може отримати, але одне, що ми можемо зробити, це маніпулювати реченнями, які містять заперечення, щоб зробити їх трохи більш керованими. У цьому розділі ми розглянемо деякі правила, які допоможуть спростити претензії. Спрощені претензії буде простіше працювати в наступному розділі, коли ми почнемо використовувати таблиці для тестування наших речень різними способами.

    Найпростіший і інтуїтивно зрозумілий спосіб спростити претензію - зменшити кількість заперечень. Іноді ви опинитеся з подвійним запереченням. Як і слід було очікувати, ми можемо взяти подвійний негатив і скасувати їх. Отже, ~~A може бути перетворений на A. '~' s може бути повністю вилучено в будь-який час, коли поруч є парна кількість '~» s. Отже, ~~~~~~~A можна перетворити на A. Непарні числа '~» s можуть бути зведені лише до одного. Отже, ~~~A стає ~A, а ~~~~~A також стає A. Цей процес називається усуненням заперечення. Ви не часто опинитеся з купою заперечень, але це може статися, і коли це станеться, корисно мати можливість позбутися від них.

    Усунення - не єдиний спосіб маніпулювати символами заперечення. Ми також можемо переміщати їх через дужки. Коли ви переміщуєте символ заперечення всередині набору дужок для операторів '&' і 'v', ви скасовуєте терміни всередині дужок і змінюєте логічний оператор. Отже:

    • ~ (A & B) стає ~A v ~ B

    Аналогічно:

    • ~ (A v B) стає ~A & ~B

    Ви також можете переміщати заперечення за межі дужок за допомогою подібного процесу. Щоб видалити заперечення з дужок, видаліть символ заперечення з кожного члена і змініть логічний оператор. Отже:

    • ~A v ~B може повернутися до ~ (A & B) і
    • ~A & ~B може повернутися до ~ (A v B)

    Якщо це здається дивним, у наступному розділі ми дізнаємось, як перевірити претензії, щоб побачити, чи є вони логічно еквівалентними за допомогою таблиць істинності. У той час ви зможете використовувати таблиці, щоб довести, що ці твердження говорять те ж саме (логічна еквівалентність), але поки давайте просто подумаємо. Коли хтось каже:

    • «Я не люблю тайську чи індійську їжу».

    вони насправді говорять:

    • «Я не люблю тайську їжу» і «Я не люблю індійську їжу».

    Так само, коли хтось каже:

    • «Я не збираюся зустрічатися і з Емі, і Карлом».

    Вони означають, що вони не збираються зустрічатися як з Емі, так і Карлом (але, можливо, вони побачать одного з них). Речі ускладнюються, коли справа доходить до переміщення заперечень для умовних та двоумовних. Для умовних, ви можете перемістити заперечення всередині набору дужок, заперечуючи перший член і змінивши оператор на '&'. Отже:

    • ~ (Р → Q) стає P & ~Q

    Думаючи про главу 3, ви повинні нагадати, що умовний говорить, що якщо попередник істинний, то наслідок істинний. Якщо хтось заперечує умовне, то вони повинні повідомити нам, що коли попереднє значення істинно, умова є помилковою, таким чином: P & ~Q. Ви також можете видалити заперечення зворотним способом. Отже:

    • P & ~Q може стати ~ (P → Q)

    Наразі це нормально для вас, щоб просто прийняти, що це правило працює, і ви зможете використовувати тест на логічну еквівалентність в наступному розділі, щоб довести це.

    Двоумовні ще складніше. А заперечений двозастережний:

    • ~ (Р → Q), стає (~P & Q) v (P & ~Q)

    Пам'ятайте, що двозастережний насправді говорить, що ці речі відбуваються разом і ніколи не поодинці. Отже, якщо бізастережне заперечується, це означає, що P або Q відбуваються поодинці. Знову ж таки, це можна змінити. Отже:

    • (~P & Q) v (P & ~Q) можна спростити до ~ (P ← → Q)

    Чесно кажучи, правило біумовних маніпуляцій не виникає так часто, але ви будете вдячні, коли ви зможете перетворити 5 логічних операторів, два набори змінних та два набори дужок у дві змінні, два оператори та один набір дужок. Знову ж таки, якщо причина не має сенсу зараз, це нормально. У наступному розділі ви дізнаєтеся, як це довести.

    Вправи в маніпуляції запереченням

    Спростіть наступні речення за допомогою маніпуляції запереченням.

    1. ~~А в ~~Б
    2. ~ (~А в ~Б)
    3. ~ (~A & ~B)
    4. ~ (~~А в Б)
    5. ~ (~A & B)
    6. ~~~ [А → (~~Б в А)]
    7. (~ P & Q) v (P & ~ Q)
    8. ~А в (~В ~ С)
    9. ~A → (~B ← →~C)
    10. (А в Б) & ~ С
    11. ~A & [(~B v C) & D]
    12. ~ [(~P & Q) v (P & ~Q)]
    13. ~~~А → (~~~В & ~С)
    14. ~ A & [~B & (~C & D)]
    15. [(А в ~~~В) V C] & ~~D
    16. ~А в (~~В & ~~С)
    17. А → (Б → В)
    18. B ← → ~~C
    19. (~А в Б)
    20. ~~~ [~~~~A → (~~~B ← →~~~~~C)
    Відповіді на вибрані вправи
    1. ~~~ [А → (~~Б в А)]

    Першим кроком завжди є видалення будь-яких пар заперечень (пам'ятайте, що непарні числа заперечень, прилеглих один до одного, завжди можна звести до одиниці, а парні числа можна звести до нуля). Це речення не зменшується далі, тому остаточна відповідь: ~ [A → (B v A)].

    1. (А в Б) & ~ С

    Цей вже настільки простий, наскільки це може бути.

    1. ~~~А → (~~~В & ~С)

    Спочатку вилучіть будь-які пари заперечень, щоб отримати: ~A → (~B & ~C). Потім витягніть заперечення з дужок: ~A → ~ (B v C). Немає правила для того, що робити, коли умовний виглядає так, отже, все готово.

    1. ~ A & [~B & (~C & D)]

    Там немає пар заперечень, тому ми можемо пропустити цей крок. Дивлячись на проблему, це може бути незрозуміло, але ми можемо спростити ситуацію. Ключовим є використання правила для витягування заперечення з «і'. Це отримує нас: ~ A & [~B &~ (C v ~D)]. Зверніть увагу, що оскільки D не був заперечений раніше, ми повинні додати ~ до нього. Тепер ми можемо зробити частину в дужках: ~ A & ~ [B v (C v ~D)]. Ми можемо зробити це на крок далі, додавши ще один набір () навколо того, що ми маємо, і витягнувши ~ out: ~ (A v [B v (C v ~D)]). Виривати нічого не залишається, тому ми закінчили.

    1. ~А в (~~В & ~~С)

    Перше, що потрібно зробити, це видалити пари заперечень: ~A v (B & C). Зробивши це, речення настільки просте, наскільки це може бути. Ви можете змінити 'v' на '&', додавши () і витягнувши заперечення, але це ускладнить його.

    1. А → (Б → В)

    У нас немає правила, щоб мати справу з цією справою, тому робити нічого.