16.2: Очікувана вартість

Last updated
Save as PDF

Page ID: 51189

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Більшість речей у житті невизначені, тому у нас немає іншого вибору, крім як базувати свої рішення на наших поглядах на ймовірності. Але витрати та вигоди, а також цінність та знецінність результатів також відіграють певну роль у наших рішеннях. Наприклад, уявіть, що ви думаєте про те, щоб подивитися фільм, але в звіті про погоду говорилося, що сьогодні ввечері було 40% шансів на дощ, і вам не подобається їздити по гладких дорогах. Чи варто йти? Якщо ви не хочете бачити шоу дуже погано, ви можете залишитися вдома, але якщо це ваш єдиний шанс побачити те, що ви дійсно хотіли побачити, поїздка може коштувати ризику.

Шансів від 2 до 1 може бути достатньо для того, щоб хтось поставив кілька доларів, але не ставити своє життя (як у випадку ризикованої операції). І ймовірності, і цінності (і знецінності) результатів відіграють досить важливу роль у наших рішеннях. Наступні приклади повинні допомогти нам побачити, як це повинно працювати, якщо ми добре міркуємо.

Приклад 1: Три точкові постріли

Вілма, одна з охоронців баскетбольної команди UCLA, б'є 40% своїх пострілів з менш ніж триочкового діапазону та 30% її пострілів з триочкового діапазону. Вілмі може бути краще зробити певні постріли в певних випадках (наприклад, якщо два очки виграють гру, то вона повинна піти на двох).

Але взагалі, чи краще їй робити двоочкові постріли або триточкові постріли? Імовірність попадання на три покажчика нижче, але віддача вище. Як ми зважуємо ці два міркування?

Наступна таблиця дає нам відповідь:

За далекомагістральний Вільма буде, в середньому, отримати 0.8 очок за кожен двоочковий постріл, який вона бере, і 0,9 балів за кожен триочковий постріл. Ми говоримо, що .8 - це очікуване значення двоочкового пострілу Вільми, а 9 - очікуване значення її триочкових пострілів. Протягом сезону ця різниця може мати значення, і при інших рівних умовах Вільмі краще спробувати три покажчики.

Приклад 2: Кочення кубиків

Ваш друг просить вас зіграти в наступну гру. Ви закочуєте плашку. Якщо ви отримаєте шістку, вони заплатять вам шість доларів. Якщо ви не отримаєте шість, ви платите їм один долар. Це була б вигідна гра для вас грати? Щоб відповісти на це питання, нам потрібно визначити очікуване значення цієї гри.

Формула цього, коли можливі два результати, така:

У випадку двох покажчиків і трьох покажчиків, ми могли б залишити вірогідність невдачі, оскільки виплата в таких випадках дорівнює нулю балів. Коли ми множимо це на ймовірність невдачі, результат все одно дорівнює нулю, тому він випадає з картинки. Але в даному випадку є «негативна виплата» за невдачу.

Підключивши цифри для гри, запропонованої вашим другом, ваше очікуване значення визначається наступним правилом:

Очікувана вартість цієї гри для вас становить 1/6 долара. У довгостроковій перспективі ваш середній виграш за рулон складе 1/6 долара, або близько шістнадцяти з половиною центів. У короткостроковій перспективі це не так багато, але це може скласти з часом. Отже, це хороша гра для вас (хоча і не для вашого друга - якщо вони не люблять програвати).

Вправа: Які виграші повинен запропонувати ваш друг, якщо вони хочуть, щоб гра була справедливою для вас обох?

Лікування очікуваних значень може бути продовжено природним чином, щоб охопити більше двох альтернатив одночасно. Просто перерахуйте всі можливі результати та запишіть ймовірність та виграш для кожного (перераховуючи втрати як негативні виплати). Помножте ймовірність кожного результату на виграш за цей результат. Потім складіть всі ці цифри.

Вам слід трохи подумати про очікувану вартість, перш ніж грати в ігрові автомати, купувати квитки на лотерею тощо. У всіх цих випадках існує позитивне очікуване значення для тих, хто запускає гру, «перевага будинку» та негативне очікуване значення для тих, хто грає в неї. Аналогічний пункт тримається і для страхових внесків. Страхова компанія розраховує ймовірності різних результатів, а потім визначає ціни полісів і суми виплат, щоб компанія мала досить високу очікувану вартість для кожного поліса.

Є суб'єктивна сторона виплат. Навіть в азартних іграх долари не єдині речі, які мають значення. Деякі люди люблять азартні ігри, і тому навіть якщо вони втрачають трохи грошей в довгостроковій перспективі, їх задоволення компенсує цю втрату. Інші люди не люблять ризик, тому навіть якщо вони виграють трохи в довгостроковій перспективі, загальна вартість гри є негативною для них.

Є багато інших випадків, коли виплати пов'язані з власними почуттями людини щодо питань. Уілбур має стан серця, який сильно обмежує те, що він може зробити. Імовірність того, що нова форма операції різко покращить його стан, становить близько 50%, шанси, що він помре в хірургії, становлять 7%, а шанси, що операція залишить його приблизно такими ж, складають 43%. Чи повинен він отримати операцію?

Відповідь залежить від того, наскільки різні речі мають значення для Wilbur. Якщо для нього важливо бути живим, навіть у дуже неприємному фізичному стані, то його оцінка виграшів, ймовірно, означає, що він не повинен обирати операцію. Але якщо він не може витримати, будучи прикутим до ліжка, він може оцінити виграші по-різному.

Ставка Паскаля

Блез Паскаль (1623—1662) був одним із засновників теорії ймовірностей. Він також був побожним католиком у Франції сімнадцятого століття. Він стверджував, що ми повинні вірити в Бога з наступних причин. Поки ми знаходимося на цій землі, ми ніколи не можемо реально вирішити питання про те, існує Бог чи ні. Але або Він робить, або ні.

Випадок перший: Бог існує

Якщо Бог існує і я вірю, що Він існує, то я отримую дуже високу віддачу (вічне блаженство).
Якщо Бог існує, і я не вірю в Нього, я отримую дуже негативну відплату (вогонь і сірка на всю вічність).

Випадок другий: Бога не існує

Якщо Бога не існує, і я вірю, що Він робить, я зробив помилку, але її наслідки не дуже серйозні.
Якщо Він не існує, і я не вірю в Нього, я маю рацію, але мати рацію щодо цього не приносить мені багато чого.

Паскаль використовує ці твердження, щоб стверджувати, що ми повинні вірити в Бога. Які відповідні ймовірності, виплати та очікувані значення в кожному конкретному випадку? Заповніть реквізити його аргументу. Які сильні і слабкі сторони аргументу?

вправи

Една потрапляє 45% своїх триочкових пострілів і 55% її двоочкових пострілів. Який постріл вона повинна намагатися?
Припустимо, ваш друг Вільма пропонує зіграти з вами наступну гру. Ви збираєтеся кинути пару кубиків. Якщо ви отримуєте 7 або 11 (природне), вона платить вам 3 долари. Якщо ви кидаєте що-небудь ще, ви платите їй 15 доларів. Яка очікувана цінність гри для вас? Що це для неї?
Вілбур і Вільма на першому побаченні і пішли на карнавал. Вільма намагається справити враження на Уілбура, вигравши м'яку іграшку для нього. Вільма намагається визначитися між двома іграми: качка стріляти і кидати кільце. Вона може стріляти 55% качок, які коштують по два квитки кожен, і вона може зробити близько 35% кидків кільця, які коштують чотири квитки кожен. Припускаючи, що Вільмі потрібно накопичити 15 квитків, щоб виграти іграшку, в яку гру вона повинна грати?
У більш ранньому розділі ми дізналися про рулетку. Розрахуйте очікуване значення для ставок на число 13 (нагадаємо, що справжні коефіцієнти проти цього - 37 до 1, але коефіцієнти будинку - 35 до 1).