16.1: Що означають цифри?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 51191

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тепер ви можете обчислити ймовірності того, що відбуваються різні речі. Але які цифри ви отримуєте tell you— що вони означають? Відповідь полягає в тому, що вони означають різні речі в різних випадках. Відзначимо три важливих випадки, і відповідь для кожного з них різна.

Співвідношення успіхів до невдач

За допомогою звичайних азартних ігор ми можемо інтуїтивно визначити ймовірності простіших результатів; дійсно, це зробити набагато простіше, ніж обчислити їх за відповідним правилом. Давайте проаналізуємо, що ми робимо, коли робимо ці інтуїтивні визначення. Ви збираєтеся витягнути одну карту з повної колоди. Яка ймовірність того, що ви намалюєте короля? Вам не потрібно було ніяких складних правил, щоб відповісти на це. Натомість ви міркуєте, що: є чотири королі з 52 карт, і ми з однаковою ймовірністю намалюємо будь-яку з них, тому ймовірність отримати короля дорівнює 4/52.

У таких випадках, коли кожен з результатів однаково ймовірний, ми беремо кількість цікавлять нас результатів, ділимо її на загальну кількість можливих результатів і інтерпретуємо це співвідношення як ймовірність.

Кількість результатів, що цікавлять = кількість результатів, що цікавлять/кількість всіх можливих результатів

Наприклад, у випадку малювання короля з колоди, результати, що цікавлять, отримує король, і їх чотири. А набір всіх можливих результатів складається з витягування будь-якої з 52 карт в колоді. Якщо ми називаємо результати інтересу успіхом (термінологія, яка сходить до коренів ймовірності азартних ігор), можна сказати, що ймовірність успіху:

# Успіхи/# Можливі випадки

Подібний підхід працює для результатів малювання желе з баночки, кидання кубиків, крутіння колеса рулетки тощо.

Але такий підхід працює лише тоді, коли основні випадки зацікавленості однаково вірогідні. Це працює, коли ми перевертаємо справедливу монету; ймовірність голів - це кількість справ, що цікавлять, або кількість справ, що цікавлять, успіхів, як їх часто називають, над кількістю можливих випадків. Існує один спосіб перевернути голову і два можливих результату. Отже, ймовірність дорівнює 1/2. Але це не спрацює, якщо ми перевернемо упереджену монету, скажімо, таку, яка вдвічі частіше підходить до голови, ніж хвости. Існує ще лише один спосіб досягти успіху (тобто перевернути голови) і лише два можливі результати (орел і решка), але ймовірність голови більше не буде 1/2. Щоб обробляти такі випадки, а також багато інших випадків реального життя, нам потрібно звернутися до частот.

Частоти

У багатьох випадках ймовірності - це емпірично визначені частоти або пропорції. Наприклад, ймовірність того, що водій чоловіка-підлітка потрапить в аварію, - це відсоток або частота водіїв-підлітків чоловіків-чоловіків, які потрапили в аварії. Такий підхід застосовується, хоча іноді менш чітко, до ціни страхових внесків, прогнозування погоди, медичної діагностики, лікування, розлучення та багатьох інших випадків.

Наприклад, медична страхова компанія фіксує частоту, з якою чоловіки старше 50 років мають серцеві напади. Потім компанія переводить це на ймовірність того, що чоловік старше 50 років матиме серцевий напад, і відповідно стягує плату за політику. Знову ж таки, коли ваш лікар говорить вам, що є 5% ймовірність того, що операція на спині погіршить ваш стан, вони грунтуються на тому, що близько 5% людей, які отримують такі операції, погіршуються. Результати зацікавленості (погіршуються), розділені на загальну кількість випадків (всіх тих, хто має такий вид операції) становить 5/100.

У багатьох випадках деякі можливі результати, швидше за все, трапляються, ніж інші, але ми можемо адаптувати основний підхід, розглядаючи ймовірність певного роду події як відносну частоту, з якою вона відбувається (або відбудеться) у наборі можливих результатів.

Ступені віри

Часто ми не маємо доступу до суцільної інформації про частоти, а іноді навіть не зрозуміло, які частоти актуальні. Але навіть у цих випадках ми часто маємо переконання, які пов'язані з чимось дуже схожим на ймовірності. Наприклад, у нас немає твердої інформації про частоти, які дозволили б мені оцінити ймовірність того, що інопланетяни з космосу проникли в гольф-команду коледжу. Тим не менш, ми вважаємо, що ймовірність буде дуже низькою. Або, щоб взяти більш серйозний приклад, якщо ви служите в присяжних, можливо, доведеться сформувати судове рішення про ймовірність того, що відповідач винен.

Можливо, незрозуміло, як ми можемо призначити ймовірність твердження, «Прибульці з космосу проникли в команду гольфу» (давайте скорочуємо це як A). Але яке б приблизне значення ймовірності ми не присвоїли йому, наші переконання будуть узгоджуватися один з одним лише в тому випадку, якщо ми присвоїмо подальші грубі ймовірності відповідно до правил ймовірності.

Наприклад, оскільки ми вважаємо, що ймовірність А дуже низька, ми вважаємо, що 1- Pr (A) його заперечення дуже висока. І ми вважаємо, що Pr (A або ~A) = 1 і що Pr (A & ~A) = 0.

Коротше кажучи, ймовірності іноді представляють співвідношення, що включають однаково ймовірні випадки, вони іноді представляють частоти, і вони іноді представляють наші ступені переконання. З першими працювати набагато простіше, але багато речей, які мають значення в житті, притягують друге або третє. На щастя для нас, ці проблеми не мають великого значення в тих випадках, з якими ми можемо зіткнутися.

Як ми можемо осягнути такі крихітні числа?

Ми можемо розвинути певне відчуття сенсу ймовірностей частоти, коли вони не надто малі. Наприклад, ймовірність того, що ви будете котити двійку з справедливою матрицею, дорівнює 1/6. Це означає, що в середньому, в довгостроковій перспективі, ви будете котитися дві шостої частини часу.

Але багато ймовірностей набагато менші цифри. Наприклад, ймовірність отримання королів на двох послідовних розіграшах з повної колоди, коли ми замінюємо першу карту, становить 4/52 х 4/52 (приблизно 0,0059), тоді як ймовірність отримання двох королів, коли ми не замінюємо першу карту, становить 4/52 х 3/51 (приблизно 0,0045). Ми не звикли думати про такі крихітні цифри, і важко зрозуміти, що вони означають. У високотехнологічному світі відмінності між такими цифрами іноді важливі, і вони також мають значення для казино, які хочуть залишатися в бізнесі. Але такі відмінності не мають великого значення для нас у нашому повсякденному житті, і ми не будемо мучитися над ними. Важливим моментом для нас є те, що більшість з нас погано відчувають дуже великі і дуже малі цифри, навіть у випадках, коли їх відносні розміри дуже різні.

Ми розглянули ймовірність результатів, коли ми малюємо карти або кидаємо кістки, але люди також враховують ймовірності результатів у випадках, які мають набагато більше значення, включаючи питання життя та смерті. Яка ймовірність загибелі в авіакатастрофі? Захворіти на рак, якщо ви курите? Заразитися ВІЛ, якщо ви не використовуєте презерватив?

Тероризм лякає і продовжував займати відносно велику частину американських новин та публічних дискурсів протягом десяти років після 11 вересня. Насправді, однак, набагато менше, ніж один з мільйона американців вбиті терористами в будь-який конкретний рік, тоді як більше одного з 5,000 загинули в автомобільних аваріях. Відмінності між ймовірностями цих двох явищ величезні, і будь-яка раціональна оцінка того, як ми живемо своїм життям, повинна враховувати це.

Якби ми добре відчували великі числа, ми могли б застосувати це до ймовірності; наприклад, це дало б нам краще відчути величину різниці між 1/5000 і 1/1 000 000. Але більшість з нас не краще з великими цифрами, ніж з маленькими. Коли ми чуємо про розмір державного боргу, який вимірюється трильйонами доларів, цифри настільки величезні, що наш розум просто німіє. Хороший спосіб розвинути певне відчуття значень дуже великих і дуже малих чисел - це перевести їх у конкретні терміни, в ідеалі в терміни, які ми можемо візуалізувати. Що насправді означає тисяча? А як щодо десяти тисяч? Ну а Центр виконавських мистецтв Straz розміщує менше п'яти тисяч (4327), Амалія Арена вміщує трохи більше двадцяти тисяч (20 500), а стадіон Реймонд Джеймс розміщує близько шістдесяти п'яти тисяч (65 890).

При більших числах візуалізація стає складною, але аналогії все одно можуть бути корисними. Розглянемо різницю між мільйоном (1 000 000) і мільярдом (1 000 000 000). Це займає одинадцять з половиною днів для мільйона секунд, в той час як це займає тридцять два роки для одного мільярда секунд, щоб поставити галочку (скільки часу потрібно для одного трильйон—1,000,000,000,000,000— секунд, щоб пройти?). І відносна різниця ймовірностей один на мільйон і один на мільярд однаково величезна.

Вправи

Якщо це займе близько 32 років на мільярд секунд, скільки часу потрібно трильйон секунд, щоб пройти? Поясніть, як ви прийшли до вашої відповіді.
Як ми можемо застосувати точки, які ми дізналися про відмінності між мільйоном і мільярдом, до тверджень про те, що одна альтернатива має шанс одного з мільйона статися, а друга альтернатива має шанс на один з мільярда?
Чи можете ви придумати будь-яке конкретне зображення, яке могло б допомогти вам отримати інтуїтивну ручку на число 1 000 000? Дайте йому свій найкращий знімок

Ймовірнісні міркування без чисел

У нашому повсякденному житті ми рідко турбуємося про точні значення ймовірності; дійсно, такі цифри часто недосяжні або навіть безглузді. Але в наступних кількох розділах ми побачимо, що поняття, які ми придбали при освоєнні правил ймовірності, допоможуть нам зрозуміти багато речей, які відбуваються в реальному житті. Ми побачимо, наскільки ймовірнісні поняття актуальні, навіть за відсутності точних числових значень ймовірностей.