Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.4: Розділ Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    51448

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розділ Вправи

    Вправи входять в більшість розділів. Тут ми представляємо деякі більш складні проблеми, додаткові послуги для експертів, хоча тепер ви знаєте достатньо, щоб працювати принаймні деякі проблеми тут. Відповіді на деякі з них наведені нижче, але подумайте про проблеми, перш ніж шукати (вам знадобиться досить хороший калькулятор, щоб отримати точні цифри; якщо у вас його немає, просто опрацюйте формули).

    1. Імовірність того, що ви отримаєте машину на випускний, становить 1/3, а ймовірність того, що ви отримаєте новий комп'ютер, дорівнює 1/5, але ви точно не отримаєте і те, і інше. Яка ймовірність того, що ви отримаєте те чи інше?
    2. У вас є 35% шанс отримати A в критичних міркуваннях і 40% шанс отримати A в соціології. Чи має значення, чи є два результати незалежними, коли ви хочете обчислити ймовірність хоча б одного А? Чи має значення, чи є два результати незалежними, коли ви хочете обчислити ймовірність отримання А в обох курсах? Чи можуть вони бути незалежними? Чому?
    3. П'ять з 20 яблук в ящику гнилі. Якщо ви витягнете навмання два, не замінюючи їх, коли ви витягуєте їх, яка ймовірність того, що обидва будуть гнилими?

    Решта проблем складніше.

    1. Тепер вирішіть другу проблему Шевальє де Мере. Яка ймовірність прокатки хоча б однієї подвійної шістки в двадцять чотири рулони пари кубиків? Використовуйте ту ж стратегію, яка була використана вище для вирішення його першої проблеми.
    2. Тузи і королі. Видаліть всі карти, крім тузів і королів з колоди. Це залишає вам колоду з восьми карт: чотири тузи та чотири королі. З цієї колоди роздайте дві карти одному.
      1. Якщо вони дивляться на свої карти і скажуть вам (правдиво), що їх рука містить туз, яка ймовірність того, що обидві їх карти - тузи?
      2. Якщо вони замість цього скажуть вам (правдиво), що одна з їхніх карт - туз пік, яка ймовірність того, що обидві їхні карти є тузами? Ймовірності в двох випадках неоднакові.
    3. Це в сумці. Перед вами дві непрозорі сумки. Один містить дві двадцятидоларові купюри, а інший містить одну двадцятидоларову купюру та одну п'ятидоларову купюру. Ви дотягуєтеся в один з мішків і витягуєте двадцятку. Яка ймовірність того, що інша купюра в цій сумці також двадцять?
    4. Проблема Монті Холла. Перед вами три двері. Немає нічого, що варто мати позаду двох з них, але за третім є валіза, що містить 50 000 доларів. Якщо ви виберете правильні двері, гроші ваші. Виберіть двері: 1, 2 або 3. Ви вибираєте двері №1. Але перш ніж Монті Холл покаже вам, що знаходиться за цими дверима, він відкриває одну з двох інших дверей, вибравши ту, яку, як він знає, нічого не має за собою. Припустимо, він відкриває двері №2. Це забирає 2 з ходу, тому єдине питання зараз - це двері 1 та двері 3. Тепер ви можете переглянути свій попередній вибір: ви можете або дотримуватися двері 1, або перейти на двері 3.
      1. Яка ймовірність того, що гроші знаходяться за дверима 1?
      2. Яка ймовірність того, що гроші знаходяться за дверима 3?
      3. Чи покращуються ваші шанси на перемогу, якщо ви перейдете?
    5. Проблема дня народження. Скільки людей потрібно було б перебувати в кімнаті, щоб була ймовірність 5, що двоє з них мають загальний день народження (народжені в один день місяця, але не обов'язково одного року)? Припустимо, що людина так само імовірно народиться в будь-який день, як і інший, і ігнорувати високосні роки.

    Підказка: Так само, як і в попередній задачі, найпростіше використовувати правило для заперечень при відповіді на це.

    Відповідь
    1. Проблема Монті Холла. Відповідь ми опрацюємо в наступному розділі, використовуючи правила обчислення ймовірностей. Наразі ось три підказки (не дивіться на третій, поки ви не спробуєте вирішити проблему). По-перше, ви покращуєте свої шанси, перейшовши на двері 3. По-друге, подумайте, що буде, якщо ви повторили цей процес сто разів. По-третє, намалюйте діаграму, яка відображає всі речі, які можуть статися, а не те, як часто перемикання окупається порівняно із загальною кількістю результатів.
    2. Проблема дня народження. Заперечення твердження про те, що принаймні дві людини в кімнаті поділяють день народження, - це твердження, що жоден з них не поділяє день народження. Якщо ми можемо обчислити останнє, ми можемо відняти його від 1, щоб отримати перше.

    Замовляйте людей за віком. Наймолодша людина народилася в один з 365 днів року. Тепер переходимо до наступної людини. Вони могли народитися в будь-який з 365 днів року, тому ймовірність того, що їх день народження відрізняється від дня народження першої особи, становить 364/365. Тепер перейдемо до наступної людини. Імовірність того, що їх день народження відрізняється від першого і другого - 363/365. Для наступної людини відповідна ймовірність - 362/365 і так далі.

    Дні народження не залежать один від одного, тому ймовірність того, що перші чотири людини мають різні дні народження, становить 365/365 x 364/365 x 363/365 x 362/365. Тут є закономірність, яку ми можемо узагальнити. Імовірність того, що перші N людей мають різні дні народження, становить 365 х 364 х... х (365 - (N+1)) /365N. І так, ймовірність того, що принаймні у двох з N людей загальний день народження є один мінус все це, тобто (1 - (365 х 364 х... х (365- (N+1)) /365N. Тепер, коли ми маємо цю формулу, ми можемо побачити, які значення вона дає для різних чисел людей (і так для різних значень N). Коли в кімнаті N двадцять дві людини дорівнює 22, а формула говорить нам, що ймовірність того, що хоча б у двох з них спільний день народження, становить близько .47. Для двадцяти трьох осіб вона становить трохи більше половини (.507). Для тридцяти двох чоловік ймовірність загального дня народження становить понад 0,75, а для п'ятдесяти чоловік - 0,97. І зі ста людьми є лише близько одного шансу на три мільйони, що жоден не має спільного дня народження.