14.3: Коефіцієнти та кінці

Last updated
Save as PDF

Page ID: 51441

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У багатьох ситуаціях ми перекладаємо ймовірності в шанси за або проти заданого результату. Наприклад, ймовірність прокатки двійки при прокатці справедливої матриці становить 1/6, а ймовірність не отримати двійку становить 5/6. Ми говоримо, що шанси прокатки двійки становлять від 1 до 5, а шанси проти нього - 5 до 1. Шанси на користь двійки - це відношення кількості способів отримання двійки (в один спосіб) до кількості способів не отримання двох (п'яти способів). І шанси проти прокатки два є п'ять шансів, що якась інша сторона прийде проти одного шансу, що два прийде.

Взаємозв'язок між шансами і ймовірностями є простим і зрозумілим:

\[Pr(A) = \dfrac{m}{n}\]

якщо і тільки в тому випадку, якщо шанси на користь А є$m$$n - m$.

Від ймовірностей до коефіцієнтів

Якщо ймовірність чогось дорівнює 1/36 (як і ймовірність прокатки коробкових автомобілів), то шанси на користь цього в 1 до 35 і шанси проти нього складають 35 до 1. Переводимо ймовірності в коефіцієнти за допомогою наступного правила: якщо ймовірність заданого результату дорівнює m/n, то коефіцієнти на його користь складають m до n -m і коефіцієнти проти нього - n - m до m.

Від шансів до ймовірностей

Якщо ваш друг каже, що шанси на перемогу OU Texas A&M становлять 1:5, яка вона вважає ймовірність перемоги A&M? Ми отримуємо знаменник цієї ймовірності, склавши два числа в цьому співвідношенні, тому число внизу дорівнює 6. Ваш друг вважає, що є один шанс в 6, що ОУ виграє, що означає ймовірність 1/6. І вона також вважає, що ймовірність перемоги A&M становить 5/6. Якщо коефіцієнти на користь S становлять m до n, то ймовірність S - перше число (m) над сумою першого і другого чисел (m + n).

Справедливі ставки

Справедливі ставки базуються на коефіцієнтах. Якщо ви хочете, щоб зробити справедливу ставку, що два прийде, коли ви кидаєте справедливий померти, ви повинні поставити $1, що ви отримаєте два, і ваш опонент повинен поставити $5, що ви не зробите. якщо ви обидва завжди ставите ці суми, то в довгостроковій перспективі ви обидва, як правило, зламати навіть. Гемблери називають таку ставку вигідною пропозицією.

На відміну від цього, якщо ви повинні були поставити $1, що ви б кинути два, а ваш опонент ставки $6, що ви не будете, то протягом довгого шляху ви будете виходити вперед. І якщо ви ставите $1, що ви будете кидати 2 і ваш опонент ставки $4, що ви не будете, то протягом довгого шляху ви втратите.

Організована азартна гра зазвичай передбачає ставки, які не є рівномірними. Казино не могло оплатити свої операційні витрати, а тим більше отримати прибуток, якби воно робило парні ставки. Будинок бере відсоток, що означає платити переможцям менше, ніж фактичні шанси вимагали б. Те ж саме стосується страхових внесків. Це також справедливо для державних лотерей, які насправді пропонують набагато гірші шанси, ніж більшість казино. Якщо ви граєте в таких налаштуваннях досить довго, ви практично впевнені, щоб втратити більше, ніж ви виграєте. Звичайно, якщо ви любите азартні ігри достатньо, ви можете бути готові прийняти розумні втрати як ціну отримання азартних ігор.

Приклад: рулетка

Рулетка - азартна гра, в якій колесо обертається в одному напрямку, а м'яч кидається навколо обода в колесо в протилежному напрямку. Колесо рулетки має багато відсіків, і гравці роблять ставку на те, в якому відсіку буде приземлятися м'яч. У США колеса рулетки мають тридцять вісім відсіків. Вони нумеруються від 1 до 36; є також тридцять сьомий відсік під номером 0 і тридцять восьмий пронумерований 00.

Існують різні ставки, які гравці можуть робити, але тут ми зупинимося на найпростішій, де гравець робить ставку на те, що м'яч приземлиться на одне конкретне число (скажімо 14), від 1 до 36. Хоча гра може бути складною, наступне обговорення дає основні моменти.

Так як на колесі тридцять вісім відсіків, ймовірність того, що куля приземлиться на будь-яке задане число, скажімо 14, дорівнює 1/38; Pr (14) = 1/38. Отже, справжні шанси проти прокатки 14 є 37 до 1. Якщо ви грали в гру знову і знову, ставки на ці коефіцієнти, ви б зламати навіть. Ви вигравали б один раз в тридцять вісім разів, а казино («будинок» або «банк») вигравало б інші тридцять сім разів. Але коли ви виграли, вони заплатили вам 37 доларів, що точно компенсує вам тридцять сім разів, що ви втратили 1 долар (37x $1 = 37 доларів). Ми говоримо, що ваша ставка має очікуване значення $0.0.

Але, звичайно, будинок не окупається при істинних шансах 37 до 1. Замість цього, шанси будинку або ставки коефіцієнти проти прокатки 14 є 35 до 1 (будинок має перевагу 0 і 00). Коли ви програєте, це не має ніякої різниці. Але коли ви виграєте, ви отримуєте тільки $36 ($35 плюс оригінальний $1, що ви ставите). Це на 2 долари менше, ніж ви б отримали, якби вам виплатили за справжніми шансами від 1 до 37. Оскільки будинок тримає $2 з кожного $38, які будуть виплачені за справжніми шансами, їх відсоток становить 2/38, або 5.26%. Все, крім однієї зі ставок, які ви можете зробити в рулетці, коштує вам 5.26% протягом довгого шляху (решта ставка ще гірша, з точки зору гравця).

Якщо ви граєте всього кілька разів, ви цілком можете виграти. Дійсно, кілька людей здобудуть перемогу над досить тривалою перспективою. Але основний факт полягає в тому, що ваша ставка на 14 має негативний очікуваний виграш -5.26%. Це означає, що в довгостроковій перспективі ви майже напевно програєте в рулетці. Шанси проти вас, і немає систем, стратегій чи хитрощів, які можуть змінити цей основний факт. Простіше кажучи, немає абсолютно ніякого способу ви можете розраховувати на перемогу в цій грі. Є кілька висококваліфікованих людей, які заробляють на життя граючи в покер, блекджек, або ставки на коней. Але ніхто не може заробляти на життя граючи в ігри казино, такі як кено, кістки або рулетка.

Вправи на коефіцієнти і ймовірності

Обчисліть коефіцієнти і ймовірності в кожному з наступних випадків.

Які шанси проти малювання короля пік з повної колоди гральних карт?
Які шанси проти малювання короля з повної колоди?
Які шанси на вилучення картки обличчя з повної колоди?
Які шанси проти малювання короля, якщо ви вже намалювали дві карти (одну короля, іншу шість)?
У вас зігнута монета. Шанси перевернути голову - від 3 до 2. Яка ймовірність закидання хвоста?
В Європі колесо рулетки має лише тридцять сім відсіків, від одного до 36, плюс 0. Вони окупаються з тими ж коефіцієнтами, що і американські казино. Як це змінило б ймовірності та шанси?
Якщо ймовірність того, що Дюк виграє чемпіонат баскетбольного турніру NCAA, становить 0.166 (= 1/6), які шанси на те, що вони виграють? Які шанси проти їх виграшу? Які справедливі ставки за і проти їх виграшу? Захистіть свої відповіді.

Зразок проблем з відповідями

У кожному конкретному випадку поясніть, які правила мають відношення до проблеми. Ваш аналіз проблеми важливіше, ніж точне число, яке ви придумали.

Ви збираєтеся котити один кубик. Яка ймовірність прокатки двійки або непарного числа?
1. Вас запитують про ймовірність диз'юнкції; Що таке Pr (T або O)?
2. Чи несумісні два диз'юнкти?
3. Так. Отже, ми можемо скористатися простим правилом диз'юнкції (R4).
4. У ньому написано, що Пр (Т або О) = Пр (Т) + Пр (О).
5. І Пр (Т) + Пр (О) = 1/6 + 3/6 = 4/6 (= 2/3).
Ви збираєтеся витягнути одну карту з повної колоди. Яка ймовірність отримати або лопату, або трійку?
1. Вас запитують про ймовірність диз'юнкції; Що таке Pr (S або T)?
2. Чи несумісні два диз'юнкти?
3. Ні. Вони перекриваються через трійки лопат.
4. Тому ми повинні використовувати більш складне правило диз'юнкції (R6), в якому ми віднімаємо перекриття.
5. У ньому написано, що Пр (S або Т) = Пр (S) + Пр (Т) - Пр (Т & S).
6. Pr (T & S) - це якраз ймовірність малювання трійки пік, яка дорівнює 1/52.
7. Так Пр (С або Т) = Пр (С) + Пр (Т) - Пр (Т & С) = (13/52 + 4/52) - 1/52.
Ви збираєтеся витягнути дві карти з повної колоди, не замінюючи першу карту. Яка ймовірність отримати рівно одного короля і рівно однієї королеви (порядок не має значення)?
1. Вас запитають про Pr (K & Q), де порядок не має значення.
2. Для цього є два різні способи:
  1. Король у першій нічиї та королева на другому: (K ₁ & Q ₂)
  2. Королева на першій нічиї та короля на другому: (Q ₁ & K ₂)
3. Отже, ми повинні обчислити ймовірність диз'юнкції: Що таке Pr [(K ₁ & Q ₂) або (Q ₁ & K ₂)]?
4. Два диз'юнкти несумісні, тому ми використовуємо просте правило диз'юнкції (R4).
5. Але кожен диз'юнкт сам по собі є кон'юнктом, і кон'юнкти кожного сполучника не є самостійними.
6. Перший ди'юнкт є: Pr (K ₁ & Q ₂). Загальне правило (R8) для сполучників говорить нам, що Pr (K ₁ & Q ₂) = Pr (K ₁) х Pr (Q ₂ |K ₁), що становить 4/52 х 4/51.
7. Другий ди'юнкт: Pr (Q ₁ & K ₂). Працює він так само: Pr (Q ₁ & K ₂) = Pr (Q ₁) x Pr (K ₂ |Q ₁), що також 4/52 х 4/51.
8. Тепер додайте ймовірності для кожного ди'юнкта: (4/52 x 4/51) + (4/52 x 4/51).

Більш складні проблеми

У наступному модулі ми розглянемо ряд реальних додатків ймовірності. Ми завершуємо цей модуль кількома проблемами, які є більш складними, ніж ті, з якими ми займалися досі.

Теорія ймовірностей була формалізована в 1650-х роках. Шевальє де Мере був багатим паризьким гравцем. Він розробив гру в кістки, яка приносила йому гроші. Він поставив би навіть гроші (ставки коефіцієнти 1:1), що він може кинути принаймні один шість у чотирьох кидках померти. Врешті-решт люди отримали мудрий до цієї гри і кинув грати в неї, тому він розробив нову гру, в якій він поставив навіть гроші, що він може кинути принаймні один подвійний шість (шість на кожен померти) в двадцять четвереньках рулонів пари кубиків. Але з часом він втратив гроші з цією ставкою.

Нарешті, він запитав свого друга, філософа і математика Блеза Паскаля (1623-1662), чому це так. Паскаль (і П'єр де Ферма, з яким він листувався) розробили теорію ймовірності і використовували її, щоб пояснити, чому перша гра була прибутковою, а друга - ні. Давайте подивимося, як вирішити першу проблему (другу залишають як вправу).

Яка ймовірність прокатки хоча б одного шостого з чотирьох кидків плашки?

Прокатка хоча б однієї шести означає прокатку шістки на першому рулоні, або другому, або третьому, або четвертому. Але працювати з проблемою таким чином складно, тому що треба відняти всі відповідні перекриття.

Найпростіше підійти до цього шляхом його заперечення. Заперечення твердження про те, що ви катаєте хоча б одну шістку, - це твердження про те, що ви не катаєте ніяких шісток. Це заперечення еквівалентно сполученню: ви не катаєте шістку на першому кидку і не катаєте шістку на другому кидку, і ви не кидаєте шістку на третьому кидку і не катаєте шістку на четвертому кидку. Цей кон'юнкт має чотири кон'юнкти, але це насправді не змінює нічого, що впливає на ймовірності. Кожен кон'юнкт говорить, що ви отримуєте щось інше, ніж шість, і тому кожен має ймовірність 5/6.

Крім того, кожен кон'юнкт не залежить від трьох інших (вмирає не пам'ятає попередніх результатів). Отже, ми просто множимо ймовірності чотирьох кон'юнктів, щоб отримати ймовірність того, що сам кон'юнкт вірний: ймовірність того, що ви не отримаєте шістку на жодному з чотирьох рулонів, становить 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 (= (5/6) 4), яка виявляється 625/1296.

Це ймовірність того, що ви не отримаєте ніяких шісток. Таким чином, ймовірність, про яку ми спочатку запитували (отримати принаймні одну шість) - це лише один мінус це: ймовірність отримати принаймні одну шістку дорівнює 1 - (625/1296) (що приблизно 671/1296). Це просто трохи більше 1/2. Це означає, що шанси отримати принаймні одну шість 671 до 625, тому в довгостроковій перспективі будинок вийде попереду, і ви програєте, якщо будете продовжувати грати в свою гру.