14.2: Аналіз проблем ймовірності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 51449

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ви повинні знати правила, якщо ви повинні обчислити ймовірності.

Короткий зміст Правил обчислення ймовірностей

Події, які напевно відбуватимуться: Якщо A, безумовно, буде істинним, Pr (A) = 1.
Події, які певні не відбуватимуться: Якщо A, безумовно, є помилковим, Pr (A) = 0.
Заперечення: Пр (~А) = 1- Пр (А).
Розмежування з несумісними диз'юнктами: Якщо A і B несумісні, Pr (A або B) = Pr (A) + Pr (B).
Сполучники з незалежними сполучниками: Якщо A і B незалежні, Pr (A & B) = Pr (A) x Pr (B).
Роз'єднання: Пр (А або В) = Пр (А) + Пр (В) - Пр (А і Б).
Визначення умовної ймовірності: Pr (A|B) = Pr (A & B) /Pr (B).
Сполучники: Пр (А і Б) = Пр (А) х Пр (В|А).

Як підійти до проблеми

Ключ полягає в тому, щоб проаналізувати проблему, перш ніж почати записувати речі. Перше питання, яке потрібно задати собі: чи обчислюю я ймовірність заперечення, диз'юнкції чи кон'юнкції? Відповідь на це підкаже, яке правило має відношення до проблеми; якщо ви отримаєте це право, ви добре на шляху до успішного вирішення. У складній задачі вам, можливо, доведеться використовувати кілька з цих правил у своїх розрахунках, але завжди почніть з питання, яке правило застосовується в першу чергу.

Почніть з продумування цих кроків:

Якщо речення є запереченням, використовуйте Правило 3.
- Знайдіть ймовірність того, що речення відмовляється, і відніміть його з 1.
Якщо це диз'юнкція
- Чи несумісні диз'юнкти? Якщо так, скористайтеся Правилом 4.
- Чи сумісні ди'юнкти? Якщо так, скористайтеся правилом 6.
Якщо це кон'юнкція
- Чи є кон'юнкти незалежними? Якщо так, скористайтеся Правилом 5.
- Чи залежні кон'юнкти (= не незалежні)? Якщо так, скористайтеся Правилом 8.

Деревоподібна діаграма на малюнку 14.2.1 відображає ту саму інформацію наочно.

Приклади аналізу проблем

Завдання А. припустимо, що у вас стандартна колода з 52 карт. Ви витягнете одну карту з колоди. Яка ймовірність намалювати або туза, або валета? Аналіз проблеми:

Ви хочете знати про ймовірність намалювати туза або намалювати валет, тому у вас є диз'юнкція. Перший диз'юнкт: «Я отримую туза», а другий диз'юнкт: «Я отримую валет». Ми могли б символізувати це як (A або J).
Чи несумісні диз'юнкти? Ну, якщо ви малюєте туза, ви також не можете намалювати валет (на тій самій нічиї). Отримання туза виключає отримання валета (а отримання валета виключає отримання туза). Отже, диз'юнкти несумісні, і ви використовуєте R4 (правило диз'юнкцій з несумісними диз'юнктами).

Знімок екрана (83) .png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Деревоподібна діаграма аналізу ймовірнісних задач

Правило говорить додати ймовірності двох диз'юнктів: Pr (A або J) = Pr (A) + Pr (J)
З 52 карт рівно чотири тузи, тому Pr (A) (ймовірність витягнути туза) дорівнює 4/52 (що зменшується до 1/13). Є також чотири гнізда, тому Pr (J) такий же, як і малювання туза, а саме 1/13.
Правило 4 говорить нам додати ці ймовірності: Pr (A або J) = 1/13 +1/13 (= 2/13).

Завдання Б. припустимо, що у вас стандартна колода з 52 карт. Ви витягнете одну карту з колоди. Яка ймовірність намалювати або валет, або серце? Аналіз:

Ви хочете знати про малювання домкрата або малюванні серця, тому у вас знову з'являється диз'юнкція. Перший ди'юнкт: «Я отримую валет», а другий диз'юнкт: «Я отримую серце». Ми символізуємо це як (J або H).
Оскільки у вас є диз'юнкція, відповідним правилом буде одне з двох правил диз'юнкції. Який саме, залежить від того, чи не несумісні диз'юнкти.
Чи несумісні диз'юнкти? Ну, якщо ви малюєте домкрат, це виключає малювання серця? Ні. Ви можете намалювати валет сердець. Отже, диз'юнкти не несумісні, і ви повинні використовувати Правило 6 (загальне правило диз'юнкції).
Це правило говорить, щоб додати ймовірності до двох диз'юнктів, але потім «відняти перекриття». Іншими словами, ви повинні відняти ймовірність того, що ви отримаєте і валет, і серце, і це якраз ймовірність отримати валет сердець. Таким чином, ми маємо Пр (J або H) = Пр (i) + Пр (Н) - Пр (J & H).
Є чотири валета з 52 карт, тому Pr (J), ймовірність витягнути валет дорівнює 4/52. А є 13 сердець, так Pr (H), ймовірність намалювати серце 13/52. Нарешті, є лише одна можливість отримати валет і серце, а саме валет сердець, тому Pr (J & H) дорівнює 1/52.
Загальне правило диз'юнкції потім говорить нам Pr (J або H) = 4/52 + 13/52 - 1/52 (ми не будемо турбуватися про насправді обчислення таких речей, поки ми не отримаємо основні поняття вниз - і навіть тоді ви можете використовувати калькулятор).

вправи

Шанси на наявність двох бомб на літаку дуже малі, тому, коли я літаю, я завжди беру з собою бомбу. —Лорі Андерсон. Що ми повинні зробити з порадами Андерсона (враховуючи те, що ми дізналися до цього часу)?
Що таке числове значення Pr (A|A)? Поясніть, чому ваша відповідь правильна.
Припустимо, ви збираєтеся перевернути справедливу монету. Які з можливих послідовностей є/є найбільш імовірними?
1. ХХХТТТ
2. HTHTHTH
3. HTHTH
4. HTHTHTH
5. Ніхто з них не є більш імовірним, ніж інші.
Припустимо, що ви збираєтеся перевернути чотири карти з верхньої частини стандартної колоди. Яка з наступних серій карт (в наданому порядку) є найбільш імовірною?
1. Туз сердець, король діамантів, пікова дама, валет сердець
2. Туз серця, король сердець, королева сердець, валет сердець
3. Туз сердець, вісім пік, валет діамантів, чотири трефи
4. Ніхто з них не є більш імовірним, ніж інші.
Якщо два пропозиції несумісні, то:
1. Вони також повинні бути незалежними.
2. Істина одного абсолютно не має відношення до істини іншого.
3. Вони також не можуть бути незалежними.
4. Нічого з перерахованого вище.
У вас звичайна колода з 52 карт. Ви витягнете карту, розкладіть її на столі, потім витягнете ще одну карту. (Важливо використовувати правила в цих розрахунках.)
1. Яка ймовірність двох королів?
2. Яка ймовірність того, що ферзь на другому розіграші дається королю на першому?
3. Яка ймовірність короля на першому розіграші?
4. Яка ймовірність король пік і король сердець (в будь-якому порядку)?
5. Яка ймовірність короля і королеви?
6. Яка ймовірність валета алмазів і лопати (де порядок, в якому ви отримуєте два, не має значення)?
7. Яка ймовірність взагалі не намалювати п'ятірку?
Припустимо, що я планую, що робити в ці найближчі вихідні, і прогноз погоди становить 40% ймовірність дощу в суботу і 40% ймовірність дощу в неділю (40% шанс = .40 ймовірність). Яка ймовірність того, що колись чи інакше під час вихідних буде дощ (припустимо, що дощ чи ні в суботу не зробить більш-менш імовірним дощ у неділю)?
Що таке Pr (S | S)? Що про Пр (~S|~S). Поясніть і відстоюйте свої відповіді.
Ви і ваш друг Уілбур берете іспит з декількома варіантами (і ви працюєте самостійно, і ваші відповіді незалежні). Існує точно одна правильна відповідь на кожне питання, і ваше завдання полягає в тому, щоб вибрати його з п'яти можливих відповідей: «a», «b», «c», «d» та «e». Ви потрапляєте до третього питання і поняття не маєте, яка правильна відповідь, і те ж саме відбувається з Уілбуром. Ви здогадуєтеся 'a', і Уілбур здогадується «c».
1. Яка ймовірність того, що хоча б один з вас отримав правильну відповідь?
2. Яка ймовірність того, що ніхто з вас не отримав правильної відповіді [відповідь тут не 4/5 х 4/5].
3. Ви також здогадалися на четвертій проблемі. Яка ймовірність того, що ви отримали хоча б одне з двох ваших припущень, вірно?
Більшість автомобільних аварій відбуваються поблизу будинку. Чому ви вважаєте, що це правда? Як ви могли б пояснити, що пов'язано з використанням поняття умовних ймовірностей?