14.1: Умовні ймовірності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 51442

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У міру зміни світу ймовірності теж змінюються. Імовірність витягування туза з повної колоди карт дорівнює 4/52. Але якщо ви намалюєте два тузи і не замінюєте їх, ймовірність намалювати туза змінюється. Ми говоримо, що умовна ймовірність малювання туза, враховуючи, що два тузи були видалені, становить 2/50.

Імовірність того, що щось є випадком, враховуючи, що щось інше є випадком, називається умовною ймовірністю. Висловлюємо умовну ймовірність A на B записом Pr (A|B). Ми читаємо це як «ймовірність A заданого B». У наведеному вище прикладі нас цікавить ймовірність намалювати туза з урахуванням того, що два туза вже були намальовані.

Багато навчання передбачає умовність. Коли ми отримуємо нову інформацію, наші оцінки ймовірностей змінюються. Ви завжди думали, що Вілбур був дуже чесним, але тепер ви дізнаєтеся, що він вкрав чийсь гаманець, а потім збрехав про це. Це змушує вас переоцінити свою віру в те, що він, ймовірно, був чесним в інших випадках. Ви обумовлюєте нову інформацію про Уілбур, оновлюючи свої погляди на те, наскільки ймовірні речі у світлі нових доказів.

Приклад 1: Ваш друг просить вас вибрати карту, будь-яку карту, з повної колоди. Наскільки ймовірно, що ви намалювали короля? Тепер ваш друг виглядає як карта і заявляє, що це лицьова карта. Ця нова інформація змінює вашу оцінку ймовірності того, що ви вибрали короля. Вас зараз турбує ймовірність того, що ви намалювали короля, враховуючи, що ви намалювали лицьовою карткою.

Приклад 2: Імовірність захворіти на рак легенів (С) вище для курців (S), ніж для некурящих. У нашому новому позначенні це означає, що Pr (C|S) більше, ніж Pr (C|~S).

Приклад 3: Ви збираєтеся котити справедливу смерть. Імовірність того, що ви будете котити четвірку, дорівнює 1/6. Ви занадто сильно котитеся, і він скидається зі столу, де ви його не бачите, але Вілбур дивиться і оголошує, що ви прокотили парне число. Це розріджує набір відповідних результатів, усуваючи три непарні числа. На малюнку 14.1.1 зображені можливості до і після оголошення Вілбура. До оголошення ймовірність прокатки четвірки становила 1/6. Але як тільки ви проріджуєте відповідні результати (шляхом умовлення), залишається лише три можливості, і тільки один вихід з цих трьох прокатки чотири. Коли ми обмежуємо свою увагу таким чином, тепер зосереджуючись лише на парних числах, ми, як кажуть, умовляємо твердження про те, що число парне.

Знімок екрана (80) .png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Проріджування відповідних результатів

Характеристика умовної ймовірності

Наступне правило дає визначення для умовних ймовірностей.

Правило 7. (умовна ймовірність): Імовірність A заданої B - це ймовірність кон'юнкції A & B, розділена на ймовірність B.

Пр (А|Б) = Пр (А і Б) /Пр (В)

У правилі 7 ми також повинні вимагати, щоб ймовірність B не дорівнювала нулю (оскільки ділення на нуль не визначено).

Ідея правила 7 полягає в тому, що умовні ймовірності змінюють набір відповідних результатів. Коли ваш друг каже вам, що ви вибрали карту обличчя, набір відповідних можливостей зменшується з 52 (це може бути будь-яка з карт в колоді) до 12 (тепер ми знаємо, що це одна з дванадцяти карт обличчя).

Ми ставимо A & B в чисельник, тому що тепер ми обмежили діапазон відповідних випадків до тих, які охоплюються B. Це означає, що єдиною відповідною частиною області для A є частина, яка перекриває B, яка є лише частиною, де кон'юнкція A & B є істинним. Отже, з точки зору наших діаграм, Pr (A|B) - це сума B, зайнята А.

І ми ставимо Pr (B) в знаменник, тому що ми хочемо обмежити діапазон відповідних можливостей тими, в яких B є істинним. Це саме те, що означає говорити про ймовірність A заданого B. Можливо, не очевидно, що ці цифри виконують бажану роботу, хоча, тому ми будемо працювати через приклад, щоб побачити, як саме все працює.

Як працюють цифри

Припустимо, що у вашому класі англійської мови є 100 учнів. Є 50 чоловіків (М), і 20 з них - техасці (Т). Ми можемо використовувати ці ймовірності та Правило 7, щоб визначити ймовірність того, що хтось є техасцем, враховуючи, що вони чоловіки, тобто Pr (T|M). У нас є:

Pr (T & M) = 20/100 (ймовірність - або пропорція - людей у класі, які є чоловіками та техасцями).

Pr (M) = 50/100 (ймовірність - або пропорція - чоловіків у класі).

Потім ми вставляємо ці числа у формулу, задану правилом 7 зліва, щоб отримати фактичні значення праворуч (рис. 14.1.2)

Знімок екрана (81) .png — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Умовність Обрізає новий блок

Отже, ймовірність того, що хтось у класі є техасцем, якщо вони чоловіки, становить 20/100 х 100/50 = 20/50 (два 100 скасовують) 2/5 = .4.

Що робить чисельник

Ми нехтуємо всіх, хто не є чоловіком (деякі з яких можуть, але не потребують, бути техасцями). Малюнок 14.1.2 представляє це шляхом вирізання кола самців. Тоді нас цікавить лише відсоток техасців серед чоловіків, що визначається ймовірністю того, що хтось у класі є і техасом, і чоловіком. Ми представляємо це як Pr (T & M). Це просто перекриття між техасцями і самцями.

Що робить знаменник

M мав лише половину ймовірності раніше, але як тільки ми зосередимось на самцях, як тільки ми обумовлюємо це, обрізаючи все інше, ймовірність М повинна стати 1. Отже, нам потрібно збільшити ймовірність М з 1/2 (якою вона була раніше) до 1 (що це таке колись обмежимо увагу самцями). Ділення на дріб дає той самий результат, що і інвертування і множення на нього. Отже, все працює, тому що ділення на 50/100 це те ж саме, що помножити на 100/50, тобто це те ж саме, що множення на 2. Це гарантує, що ми можемо розглядати М як зараз, що має всю одиницю ймовірності (як тільки ми умовляємо на M).

З точки зору бруду, коли ми зсуваємо все за межами М, ми також повинні викинути всю грязь, яка була спочатку за межами М. Ми тоді думаємо про М як про нову загальну площу, і тому ми тепер розглядаємо кількість бруду на ньому як одну одиницю. Інший спосіб побачити, що M тепер повинен мати ймовірність 1, як тільки ми умовляємо на M, - це відзначити, що Pr (M | M) = 1.

Пр (А|Б) = Пр (А і Б) /Пр (В)

чим менше вірогідний B був до того, як ми умовляли, тим більше нам доводиться множинним Pr (A & B), щоб роздувати нову ймовірність B до 1. Якщо ймовірність B була 1/2 ділимо на 1/2, що має ефект множення на 2. Якщо ймовірність B була 1/5 ділимо на 1/5, що має ефект множення на 5. Тут 1/5 х 5/1 повертає нас до одиниці ймовірності 1. Коротше кажучи, поділ на старий Pr (B) робить новий (пост умовлення) Pr (B) = 1.

Загалом, Pr (A|B) не дорівнює Pr (B|A). Імовірність того, що хтось є чоловіком, враховуючи, що він грає за «Нью-Йорк Янкіз», становить 1. Але ймовірність того, що хтось є янкі, враховуючи, що він самець, дуже мала. Ми побачимо в наступному розділі, що Pr (A|B) = Pr (B|A) на всякий випадок Pr (A) = Pr (B). Що ще важливіше, ми побачимо, що заплутаність цих двох ймовірностей відповідає за багато поганих міркувань.

Загальне правило кон'юнкції

Переставляючи терміни в Правилі 7, отримаємо загальне правило для сполучників (розділимо обидві сторони рівності в Правилі 7 на Pr (B)).

Правило 8. (сполучники): Імовірність сполучника A & B, де кон'юнкти не повинні бути незалежними, - це ймовірність A, помножена на ймовірність B заданої A.

Пр (А і В) = Пр (А) х Пр (В|А)

Це правило є більш загальним, ніж правило 5. Це стосується всіх сполучників, незалежно від того, є їх сполучники незалежними чи ні. На відміну від правила 7, ми часто будемо використовувати Правило 8 в наших розрахунках.

Приклад: Ви витягуєте дві карти з повної колоди і не замінюєте першу карту перед тим, як намалювати другу. Імовірність отримання короля на обох ваших розіграшах - це ймовірність отримання короля на першому розіграші, що перевищує ймовірність отримати короля на другому нічиї, враховуючи, що ви вже отримали короля на першому. В символах: Пр (К ₁ і К ₂) = Пр (К ₁) х Пр (К ₂ |К ₁).

Тепер, коли ми маємо умовні ймовірності, ми можемо визначити незалежність досить точно. A і B є незалежними на всякий випадок, якщо істина (або виникнення) одного не має ніякого впливу або впливу на виникнення іншого.

Незалежність: A і B незалежні на всякий випадок Pr (A) = Pr (A|B). Чи відбувається B (чи є істинним) чи ні, не впливає на те, чи відбувається A (чи є істинним). Якщо ми дізнаємося, що B є істинним (або хибним), це не повинно нічого робити, щоб змінити наші переконання щодо ймовірності А.

Правило 5 говорить нам, що якщо A і B незалежні, то Pr (A & B) = Pr (A) x Pr (B). Це лише окремий випадок більш загального правила 8. Це працює тому, що якщо A і B незалежні, Pr (B) = Pr (B|A). Таким чином, замість того, щоб писати Pr (B|A) в особливому випадку (незалежні кон'юнкти), що охоплюються Правилом 5, ми можемо обійтися простішим Pr (B).

Правило 8. говорить нам, що Pr (A & B) = Pr (A) х Pr (B|A). Але ми знаємо, що порядок кон'юнктів у сполученні не впливає на значення сполучника: A & B говорить те ж саме, що і B & A. So Pr (A & B) = Pr (B & A). Це означає, що Pr (A & B) = Pr (B & A) = Pr (B) x Pr (A|B). Значення для цього буде таким же, як і значення, яке ми отримуємо, коли ми використовуємо Правило 8, хоча в деяких випадках один підхід буде простіше обчислити, а в інших випадках буде іншим.