13.4: Більше правил обчислення ймовірностей

Last updated
Save as PDF

Page ID: 51157

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Сполучники з незалежними сполучниками

А сполучник - це і-речення. Речення, «Вілбур пройшов фінал, а Бетті пройшла фінал» - це сполучник. Два простіші речення, склеєні «і», називаються кон'юнктами (порядок сполучників у сполученні не має значення). Кон'юнкт істинний лише у випадку, якщо обидва його сполучники істинні; якщо будь-який кон'юнкт є помилковим, все це помилково. Ми будемо використовувати '&' для скорочення «і'.

Незалежність

Два речення незалежні (один від одного) на всякий випадок, якщо вони абсолютно не мають відношення один до одного. Істинна цінність одного не впливає, не впливає або впливає на істинну цінність іншого. Знання того, що одне є істинним (або хибним), нічого не говорить вам про те, чи є інший істинним (або хибним). Незалежність - це вулиця з двостороннім рухом: якщо одне не залежить від другого, друге також не залежить від першого.

Приклад 1: Ви витягуєте карти з колоди, і після кожного розіграшу ви замінюєте карту і переставляєте колоду. Результати двох розіграшів незалежні. Те, що ви отримуєте на першому розіграші, не впливає на те, що ви отримуєте на другому.

Приклад 2: Ви витягуєте карти з колоди, не замінюючи їх. Те, що ви отримуєте на першому розіграші, змінює склад колоди, і тому результат першого розіграшу впливає на результат другого. Результат другого розіграшу (певною мірою) залежить від результату першого.

Не варто плутати несумісність з незалежністю. Вони абсолютно різні.

Дві речі несумісні на всякий випадок, якщо вони обидва не можуть бути правдивими одночасно; істина або виключає правду іншого.
Дві речі є незалежними на всякий випадок, якщо істинна цінність кожної не має ніякого відношення до істинної цінності іншого.

Приклад: Отримання голови при наступному киданні монети і хвіст на той самий кидок несумісні. Але вони не є самостійними.

Вправи

Які з наступних пар несумісні? Які є незалежними?

Отримання 1 на наступному рулоні плашки. Отримання 3 на тому ж рулоні.
Малювання туза на першому розіграші з колоди. Малювання домкрата на тій самій нічиї.
Отримання 1 на наступному рулоні плашки. Отримання 3 на рулоні після цього.
Колишній господар знаменитості Учень переобраний президентом. Я катаю 3 на першому рулоні плашки.
Отримання голови на наступному сальто на монеті. Отримання голови на сальто після цього.
Здача всіх іспитів на цьому курсі. Проходження самого курсу.

Правило для сполучників з незалежними сполучниками

Правило 5. (Сполучники з незалежними сполучниками): Якщо пропозиції A і B незалежні, то ймовірність того, що їх сполучник, A & B, істинний, дорівнює Pr (A) раз Pr (B).

Пр (А і В) = Пр (А) х Пр (В)

Отже, коли дві речі незалежні, ймовірність їх спільного виникнення визначається простим мультиплікативним правилом: помножте ймовірність однієї на ймовірність іншої.

Приклад: Те, що відбувається при першому киданні монети, не впливає на те, що відбувається на другому; отримання голови при першому киданні монети (H ₁) і отримання голови на другому кидку (H ₂) є незалежними. Отже, Пр (Н ₁ і Н ₂) = Пр (Н ₁) х Пр (Н ₂) = ½ х 1/2 (= ¼)

Знімок екрана (79) .png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Дерево представлення ймовірності кон'юнкції

Деревоподібна діаграма (рис. 13.4.1) представляє можливі результати. Числа на кожному шляху представляють ймовірності. Імовірність появи голови на першому сальто (представлений першим вузлом верхнього шляху) становить 1/2, а ймовірність другої голови (представленої вузлом у верхньому правому куті) також дорівнює 1/2. Є чотири шляхи через дерево, і кожен представляє один можливий результат. Оскільки всі чотири шляхи однаково вірогідні, ймовірність спуску будь-якого конкретного становить 1/4.

Ми можемо представити ту саму інформацію в таблиці (рис. 13.4.2), яка більш чітко показує, чому ми множимо ймовірності двох кон'юнктів. Результати вздовж сторони представляють два можливі результати першого кидка, а результати вздовж вершини представляють два результати другого кидка.

Знімок екрана (78) .png — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Табличне представлення ймовірності кон'юнкції

Ми можемо поширити наше правило на сполучники з більш ніж двома сполучниками. За умови, що кожен кон'юнкт незалежний від усіх інших, ми можемо визначити ймовірність всього кон'юнкту шляхом множення окремих ймовірностей кожного з його кон'юнктів. Наприклад, ймовірність того, що я отримаю голови на трьох послідовних сальто монети становить 1/2 х 1/2 х 1/2.

Наша робота буде набагато простіше через наступних фактів.

Несумісність актуальна лише для диз'юнкцій. Нам не потрібно турбуватися про те, несумісні кон'юнкти кон'юнкції чи ні.
Незалежність актуальна тільки для сполучників. Нам не потрібно турбуватися про те, чи є диз'юнкти диз'юнкції незалежними чи ні.

Перемога в лотерею

Шанси виграти державну лотерею дуже низькі; у вас набагато більше шансів на виграш майже в будь-якому казино світу. Щоб зрозуміти чому, уявіть собі лотерею, де ви повинні правильно вгадати однозначне число. Таких цифр 10, тому ваші шанси 1 в 10, або .1. Поки що так добре. Але тепер уявіть, що ви повинні вгадати двозначне число. Існує десять можливостей для першої цифри і десять можливостей другої. Припускаючи, що дві цифри незалежні, це означає, що шанси правильно вгадати першу цифру і другу цифру становлять 1/10 х 1/10 = 1/100. Ви б виграли цю лотерею приблизно один раз кожні 100 разів, коли ви грали. Це може звучати не так погано. Але більшість державних лотерей вимагають, щоб ви відповідали приблизно дванадцяти однозначних чисел. В цьому випадку визначаємо ймовірність виграшу, множивши 1/10 на себе дванадцять разів. Коли ми пишемо 1/10 ₁₂ з довгого шляху, то виходить:

1/1 000 000 000

яка майже нескінченно мала.

Розмежування з сумісними диз'юнктами

Всякий раз, коли диз'юнкти диз'юнкції несумісні, застосовується R4, але коли вони сумісні, нам потрібно тонке правило.

Це допоможе вам зрозуміти, чому, якщо ми розглянемо наступний приклад. Ми збираємося перевернути чверть двічі. Яка ймовірність отримати голову хоча б на одному з двох кидків; що таке Pr (H ₁ або H ₂)? Імовірність попадання головок на якомусь конкретному кидку становить 1/2. Отже, якби ми використовували наше старе правило диз'юнкції (Правило 4., для несумісних диз'юнктів), ми мали б Pr (H ₁ або H ₂) + Pr (H ₁) + Pr (H ₂), що становить лише 1/2 + 1/2, або 1. Це означало б, що ми були впевнені, що отримаємо голову принаймні на одному з наших двох кидків. Але це явно неправильно, так як цілком реально отримати два хвоста поспіль.

Дійсно, якби ми використовували наше старе правило диз'юнкції для обчислення ймовірності отримання голови принаймні на одному з трьох кидків, ми мали б 1/2 + 1/2 + 1/2, що дало б нам ймовірність більше 1,5 (і це ніколи не може бути правильним, оскільки ймовірності ніколи не можуть бути більшими за 1).

Знімок екрана (77) .png — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Роз'єднання з сумісними («Перекриваються») диз'юнктами

Якщо A і B сумісні, можливо, вони можуть відбуватися разом. Наприклад, малювання туза і малювання чорної карти сумісні (ми можемо намалювати туз пік або туз треф). Ми вказуємо це на малюнку 13.4.3, зробивши коло, що представляє A, і коло, що представляє B, перекриваються. Область перекриття, поперечно-штрихована, являє собою випадки, коли A і B перекриваються.

Що стосується каламутних діаграм, ми додаємо вагу бруду на А до ваги бруду на B, але коли ми робимо це, ми зважуємо бруд там, де вони перекриваються двічі.

Отже, ми повинні відняти один раз, щоб скасувати цей подвійний підрахунок. Ми повинні відняти ймовірність того, що A і B обидва трапляються, так що ця область підраховується лише один раз.

Загальне правило диз'юнкції

Правило 6. (диз'юнкції): Імовірність будь-якої диз'юнкції, несумісної або сумісної, є сумою ймовірностей двох диз'юнктів за вирахуванням ймовірності того, що вони обидва відбуваються.

Пр (А або В) = Пр (А) + Пр (В) - Пр (А і В)

Приклад 1: Малювання туза і малювання булави не несумісні. Отже, Пр (А або С) = Пр (А) + Пр (С) - Пр (А & С); так він дорівнює 1/13 + 1/4 - 1/52. Віднімаємо 1/52, тому що в іншому випадку ми б підраховували туз клубів двічі (один раз, коли ми підрахували тузи, і вдруге, коли ми порахували клуби).

Приклад 2: Отримання голов на першому та другому сальто монети сумісні. Отже, щоб обчислити Pr (H ₁ або H ₂), ми повинні відняти ймовірність того, що обидва кон'юнкти вірні. Треба вважати Pr (H ₁) + Pr (H ₂) - Pr (H ₁ & H ₂), що становить 1/2 + 1/2 - 1/4 (= 3/4).

Правило 6 є повністю загальним; воно стосується всіх диз'юнкцій. Але коли два диз'юнкти несумісні, ймовірність того, що вони обидва вірні дорівнює 0, тому ми можемо забути про віднімання чогось.