13.3: Правила розрахунку ймовірностей

Оскільки ймовірності - це числа, ми повинні використовувати бітову арифметику для їх обчислення. Не хвилюйтеся, якщо числа змушують вас нервувати; нам знадобляться лише деякі основи, такі як множення дробів, про які ви давно дізналися. Тим не менш, можливо, минуло деякий час з тих пір, як ви працювали з дробами, тому якщо ви не впевнені в них, знайдіть кілька хвилин, щоб попрацювати через додаток, в якому розглядаються основні арифметики, які вам знадобляться. Карти та кубики: Основи Деякі проблеми, які ми розглянемо, стосуються карт та кубиків; ось склад стандартної колоди карт (з видаленими джокерами) та можливі результати, коли ви кидаєте пару кубиків.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Результати прокатки кубиків

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Макіяж стандартної колоди карт

Абсолютно певні результати

Зараз ми введемо вісім правил, які допоможуть нам розрахувати ймовірності. Ця презентація випливає з відмінною книгою Брайана Скайрмса «Вибір та шанс: Вступ до індуктивної логіки». Важливо, щоб ви засвоїли і зрозуміли ці правила. Якщо ви цього не зробите, ви просто не зможете вирішити проблеми.

• Правило 1. (для подій, які неодмінно відбуватимуться): Якщо щось напевно станеться, його ймовірність дорівнює 1. Якщо речення A неодмінно відповідає дійсності:

Пр (А) = 1

Приклад: Якщо ви намалюєте желе з мішка, описаного вище, ви впевнені, що отримаєте або червоне, або зелене желе: Pr (R або G) = 1.

• Правило 2. (для подій, які точно не відбуватимуться): Якщо щось точно не станеться, його ймовірність дорівнює 0. Якщо речення A, безумовно, є помилковим:

Пр (А) = 0

Приклад: Якщо ви намалюєте желе з мішка, ви не зможете отримати той, який буде червоним і зеленим; Pr (R & G) = 0.

заперечення

Заперечення пропозиції говорить про те, що заперечене речення є помилковим. Наприклад, «Я не малював червоне желе» заперечує речення «Я намалював червоне желе». Ми будемо використовувати ~ для позначення заперечення. Отже, висловлюємо заперечення пропозиції S шляхом написання ~S.

Приклад: Якщо 'A' означає твердження, що я намалював туза, ~A говорить, що я не малював туза.

Імовірності пропозицій і їх заперечення схожі на людей на гойдалках (рис. 13.3.3). Чим нижче ви йдете, тим вище йде людина з іншого боку. І чим вище вони йдуть, тим нижче йдеш. Аналогічно, чим нижче ймовірність пропозиції, тим вище ймовірність його заперечення. І чим вище ймовірність пропозиції, тим нижче ймовірність його заперечення. Якщо ви прийшли до думки, що більш імовірно, що ви пройдете хімію 101, ви повинні думати, що менш ймовірно, що ви зазнаєте невдачі.

«Сума» ймовірності обмежена. Речення та його заперечення мають загальну ймовірність 1 розділити між ними. Отже, яка б частина не йшла до вироку, йде до його заперечення. Іншими словами, ймовірності S і ~S завжди складаються до 1.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Речення та його заперечення розділені на одиницю ймовірності

• Правило 3. (заперечення): Імовірність заперечення дорівнює 1 мінус ймовірність запереченого речення.

Пр (~А) = 1 — Пр (А)

Приклад 1: Якщо ймовірність намалювати туза дорівнює 1/13, то ймовірність того, що ви не намалюєте туза, дорівнює 12/13.

Приклад 2: Якщо монета зігнута так, що ймовірність закидання голів дорівнює 0,4, то ймовірність не потрапити головою на кидок дорівнює 0,6. Коло, позначене A на рисунку 13.3.4, представляє випадки, в яких A є істинним. Наприклад, це може означати, що ми малюємо туза з колоди карт. Область прямокутника, яка не знаходиться в А, являє собою заперечення A. Прямокутник представляє загальну ймовірність 1, і він представляє величину прямокутника, не в A, дорівнює 1 мінус величина прямокутника, який знаходиться в A.

У простих випадках ми можемо представити ймовірності діаграмами Венна, подібними до малюнка 13.3.4. Прямокутник представляє всі речі, які могли б статися. Він має загальну ймовірність 1. Подумайте про це як про те, що по його поверхні розкинулося одне відро, одна одиниця бруду. Бруд являє собою ймовірність. На малюнку 13.3.4 можливі кілька ситуацій.

• Вся грязь може бути всередині кола A; це представляє випадок, коли ймовірність A дорівнює 1 (вона має всю одиницю), а ~A дорівнює 0.
• Вся грязь може знаходитися поза колом A; це означає випадок, коли ймовірність A дорівнює 0, а ~A дорівнює 1 (вона має всю одиницю).

Деякі бруду можуть бути всередині А, а деякі зовні. Тоді ні A, ні ~A не мають ймовірностей 1 або 0. Чим більше бруду всередині А, тим вона ймовірніша.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Заперечення

Вправи

1. Припустимо, 2/3 бруду на малюнку 13.3.4 розміщено всередині кола А. Які ймовірності A та ~A, враховуючи це уявлення?
2. Припустимо, що практично вся грязь на малюнку 13.3.4 розміщена поза колом А. Що це говорить нам про зв'язок між ймовірностями A і ~A?

Розмежування з несумісними диз'юнктами

Як ви, швидше за все, пам'ятаєте, диз'юнкція - це речення «або/або». Він стверджує, що або одна, або обидві, з двох альтернатив є випадком. Ось два екземпляри:

1. Або дворецький це зробив, або свідок для захисту бреше.
2. Або я буду котити п'ятірку, або я буду катати шістку.

Два простіших речення, що складають диз'юнкцію, називаються диз'юнктами. Порядок диз'юнктів у диз'юнкції не має значення. Зауважте, що ми інтерпретуємо диз'юнкції так, щоб вони були істинними, якщо обидва диз'юнкти істинні. або/або має те саме значення, що і фраза та/або, тому диз'юнкція стверджує, що принаймні один із диз'юнктів є істинним.

Несумісність

Дві речі несумісні на всякий випадок, якщо вони не можуть відбутися (або обидва не можуть бути правдивими) разом. Не можна їм обом статися в тій чи іншій ситуації. Істина або виключає правду іншого, тому несумісні речі іноді говорять як взаємовиключні.

Несумісність - двостороння вулиця: якщо одна річ несумісна з другим, друга несумісна з першою. Якщо A і B несумісні, то ні As є Bs, а ні Bs не є As. Отже, якщо A і B несумісні, Pr (A & B) = 0.

Приклад 1: Отримання голови при наступному киданні монети і отримання хвоста на той самий кидок несумісні. Отримання або виключає отримання іншого.

Приклад 2: Отримання голови на цьому кидку і отримання хвоста при наступному киданні сумісні. Ці два результати жодним чином не суперечать один одному. Жоден не виключає іншого.

Вправи

Які з наступних пар несумісні один з одним?

1. Отримання 1 на наступному рулоні штампу. Отримання 3 на тому ж рулоні.
2. Отримання 1 на наступному рулоні штампу. Отримання 3 на рулоні після цього.
3. Уілбур закінчує OU цієї весни. Вілбур виконує свою мрію на все життя і починає кар'єру як кіноведучий.
4. Уілбур закінчує OU цієї весни. Уілбург вилітає з OU цієї весни.
5. Вілбуру виповнюється двадцять років. У той самий день він отримує гарну новину про те, що він щойно став президентом Сполучених Штатів.
6. Уілбур здає всі іспити в цьому курсі. Вільбур проходить курс.
7. Уілбур отримує дуже низький F на всіх іспитах в цьому курсі. Вільбур проходить курс.

Відповідь

1. Несумісні. Ви не можете отримати 1 і 3 на тому ж рулоні.
2. Сумісність. Жодна сторона матриці не має як 1, так і 3 на ньому.
3. Сумісність.
4. Несумісні. Випускники та викидання виключають один одного; якщо таке трапляється, інший не може.
5. Несумісні. Президенту має бути не менше тридцяти п'яти років. Таким чином, двадцять і бути президентом перешкоджають один одному. Ви не можете бути обома відразу.
6. Сумісність.
7. Як ви думаєте?

Імовірність диз'юнкції з несумісними диз'юнктами

Яка ймовірність того, що диз'юнкція, А або Б, з несумісними диз'юнктами, вірна? Ми можемо уявити ситуацію на малюнку 13.3.5.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Розмежування з несумісними диз'юнктами

Наше питання про ймовірність диз'юнкції A або B тепер перекладається на питання: Яку загальну площу займають два кола? І відповідь: це просто площа, зайнята A, додана до площі, зайнятої B. З точки зору каламутних діаграм, ми беремо загальну кількість бруду, яка знаходиться або на A, або на B, і складаємо їх разом.

• Правило 4. (диз'юнкції з несумісними диз'юнктами): Імовірність того, що будь-яка диз'юнкція з несумісними диз'юнктами є істинною, є сумою ймовірностей двох диз'юнктів.

Пр (А або В) = Пр (А) + Пр (В)

Приклад: Жодна карта в стандартній колоді не є і тузом, і валетом. Отже, малювання туза несумісне з малюванням валета. Якщо ймовірність намалювати туза дорівнює 1/13 і ймовірність намалювати валет 1/13, то ймовірність намалювати або туза, або валета дорівнює 1/13 + 1/13 = 2/13. Ми можемо поширити наше правило на диз'юнкції з більш ніж двома альтернативами (диз'юнктами). Поки кожен диз'юнкт несумісний з усіма іншими диз'юнктами, ми можемо визначити ймовірність всієї диз'юнкції, додавши індивідуальні ймовірності кожного з його диз'юнктів. Наприклад, ймовірність того, що я намалюю або короля, або даму, або валет на даній нічиї, становить 1/13 + 1/13 + 1/13 = 3/13.

Вправи

1. Приберіть джокерів зі стандартної колоди гральних карт, щоб у вас було 52 карти. Ви малюєте по одній карті за раз (і кожна карта має однаково хороші шанси бути витягнутими). Яка ймовірність малювання кожного з наступних? У випадках, коли задіяно більше однієї картки, вкажіть, які правила є актуальними (деякі з них ви зможете обчислити без використання правил, але ви не зможете цього зробити, коли ми перейдемо до більш складних проблем, тому важливо почати використовувати правила зараз).
   1. Бубновий валет.
   2. Джек.
   3. Король або валет.
   4. Двійка треф.
   5. Бубновий валет або два трефи.
   6. Червоний домкрат.
   7. Карта, яка не є червоним валетом.
   8. Лицьова карта (король, дама або валет) або туз.
   9. Картка, яка є або лицьовою карткою, або ще не лицьовою карткою.
   10. Картка, яка є одночасно лицьовою карткою, а не лицьовою карткою.
2. Ви збираєтеся котити одну матрицю. Яка ймовірність кидання:
   1. Один.
   2. А трійка.
   3. Один або трійка.
   4. Парне число.
   5. А не-три.
   6. Два або непарне число.
3. За допомогою правила 4 (наше нове правило для диз'юнкцій) та Правило 1 (наше правило для речень, які повинні бути істинними) ми можемо довести, що R3, наше правило для заперечень, є правильним. Спробуйте.

Відповідь

3. Ось як використовувати Правило 4 та Правило 1, щоб показати, що Правило 3, наше правило для заперечень, є правильним. Спочатку зауважте, що кожне речення несумісне з його запереченням, тому A і ~A несумісні. Більше того, речення 'A або ~A 'безумовно вірно. Звідси:
   1. Pr (~A або A) = 1 [за правилом 1]
   2. Пр (~А або А) = Пр (А) + Пр (~А) [за правилом 4]
   3. Так Пр (~А) + Пр (А) = 1 [з 1 і 2]
   4. Отже, Pr (~A) = 1 - Pr (A) [шляхом віднімання Pr (A) з обох сторін]