Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.2: Використання діаграм Венна-Ейлера для перевірки на недійсність

  • Page ID
    53179
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У логіці класів ми можемо створювати діаграми, які допоможуть нам перевірити аргументи на валідність. Перш ніж ми це зробимо, давайте вдосконалимо свою майстерність міркування з доповненням класів, тобто набором всіх речей, які не в класі. Якщо ви американець, то як наше ім'я для неамериканців? Це «іноземець». Чим більше американців подорожує, тим більше вони зустрічають неамериканців.

    Припускаючи, що ніхто не може бути і євреєм, і християнином, було б вірно сказати, що всі євреї є нехристиянами і вірно сказати, що деякі неєвреї є нехристиянами, але було б помилково говорити, що всі нехристияни є євреями і помилково сказати, що всі нехристияни є неєвреями. Фу! Вітаємо та компліменти, якщо ви могли б ретельно осягнути складнощі цих доповнень щодо занять. Якщо ви могли, ви можете завершити цю перевірку концепції правильно.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Мартін Лютер Кінг виступає перед мікрофонами.

    Мартін (на фото вище) не білий самець, якщо Мартін

    а. білий не-самець.
    б. не-білий самець,
    c. не-білий не-самець.
    d. будь-який з перерахованих вище.

    Відповідь

    Відповідь (d). Відповідаючи на такі питання було б набагато простіше, якби ми мали якусь картину або діаграму метод, який би показував нам, що відбувається. Може бути, ви можете придумати один. Ейлер намагався зробити це ще в 18 столітті в Швейцарії.

    Навичка заперечення термінів необхідна для побудови діаграм Венна-Ейлера. Цей метод побудови діаграм є корисним способом швидко оцінити дедуктивну валідність аргументів у логіці класу. Це може привести вас до правильної оцінки, коли аргумент занадто складний для аналізу у вашій голові. Представляючи цей метод, ми спочатку введемо діаграми для класів, потім узагальнимо метод, щоб він міг бути використаний для відображення того, чи є речення про класи істинними чи хибними, а потім ще раз узагальнимо метод, щоб він міг бути використаний для того, щоб показати, чи аргументи, що використовують ці речення, дедуктивними дійсний.

    Коло нижче - схема Ейлера класу яблук.

    Коло, що містить слово «Яблука»р

    На цій двовимірній діаграмі будь-яка точка в колі являє собою яблуко, а будь-яка точка за межами кола - це не яблуко, наприклад мусульманин або олівець. Звичай для маркування полягає у використанні великої літери для початку назви регіону (класу) та маленької літери для назви певного члена регіону (класу). Маленька літера «r» позначає точку праворуч від кола, яка представляє конкретне не яблуко, скажімо Томас Едісон, американський винахідник і засновник корпорації General Electric. Немає нічого важливого в формі регіону. Еліпс або прямокутник було б добре, до тих пір, поки зрозуміло, що знаходиться в регіоні, а що виходить, тобто що є в класі, а що ні. Розмір кола також не важливий. Ми також не звертаємо уваги на переміщення діаграми вліво або вправо або вгору або вниз. Всі ці зміни призведуть до тієї ж діаграми, що стосується логіки класу.

    Нижче наведена більш складна діаграма, яка представляє як клас яблук, так і клас фруктів. У реальному світі клас яблук повністю включений в більший клас фруктів. Діаграма дає картину цієї реальної залежності:

    Овал, що містить коло, всередині якого знаходиться слово «Яблука». Слово «Фрукти» знаходиться в межах овалу і позначає овал, але це слово не знаходиться в колі яблук.

    Наведена вище діаграма представляє істинність речення «Всі яблука є фруктами», але ви можете намалювати діаграми, які не уявляють собою такий світ.

    Будь-яка мітка для регіону може знаходитися всередині або поза ним, за умови відсутності неоднозначності щодо того, яка мітка йде з яким регіоном. Іноді ми називаємо овальні області «колами», оскільки не звертаємо уваги на різницю між колом та еліпсом.

    Ось діаграма Ейлера, в якій вірні твердження виду «No A - B»:

    Два кола, які не перекриваються і є окремими. Зліва містить букву «А». праве коло містить букву «Б».

    Що важливо в цій діаграмі, так це те, що два кола не перетинаються (перекриваються). Кола також не повинні бути дотичними, тому що це ускладнило б визначити, чи два класи мають спільний член.

    Ось діаграма Венна, яка показує ту ж інформацію, але менш інтуїтивно:

    Два кола. Коло A перетинає коло B. Область перетину форми лінзи чорна.

    На діаграмі Венна всі кола повинні взаємно перекриватися. Це не потрібно для діаграм Ейлера. Розглянемо точки x, y та z на наступній схемі. Класи A і B перетинаються - тобто вони мають спільні члени. Одним з таких членів є y.

    Два пересічних кола, позначені A і B. Буква y знаходиться в їх перетині. Буква z знаходиться в межах B, а не в межах A Буква x знаходиться поза обох A і B.

    Точка x не є ні в класі A, ні в класі B. Це в доповненні кожного. Точка y знаходиться як в A, так і в B. точка z знаходиться в B, але не в A. Переглянувши діаграму, ви можете побачити, що деякі члени B знаходяться в A, а деякі ні. Однак ви не можете визначити, чи має A більше членів, ніж B. Якщо область A більша за B на діаграмі, ви не можете визначити, чи має A більше членів, ніж B. З цього приводу ви навіть не можете визначити, чи має клас членів взагалі. Однак у всіх діаграмах відтепер ми будемо вважати, що ми починаємо з класів, які не є порожніми.

    Ось діаграма, що представляє реальні відносини між яблуками, фруктами, апельсинами, яблуками в Парижі, яблуками в ресторанах в Парижі та фруктами, що належать нашому другу Хуану:

    Шість замкнутих кривих. Більша або зовнішня окружність являє собою овал, позначений літерою «F». Інші п'ять кіл знаходяться в межах F області. Зліва три концентричних кола: зовнішня з маркуванням «А». У межах цього кола P в межах P знаходиться коло R. Праворуч всередині F знаходиться коло з позначкою O. O і A не перетинаються, але коло J перетинається O, а також A, але не кола P і R в межах A. мала буква «а» знаходиться в межах області А, але не в межах R, P або J.

    Шість визначень, які йдуть з великими літерами на попередній діаграмі, великий зовнішній овал якої позначений F:
 A = речі, які є яблуками. 
F = речі, які є фруктами. 
O = речі, які є апельсинами. 
P = речі, які є яблуками в Парижі. 
R = речі, які є яблуками в ресторанах Парижа. 
J = речі, які є фруктами, що належать нашому другу Хуану.

    Щоб було зрозуміло, ми завжди будемо використовувати великі літери або великі слова для класів речей. Якщо ми хочемо додати інформацію про те, що якийсь конкретний об'єкт є членом одного з класів, ми будемо використовувати малу літеру для представлення члена. На попередній схемі нижній регістр a представляє одне яблуко в моєму холодильнику. Ви можете бачити, що буква а знаходиться поза колом P; це показує, що яблуко в моєму холодильнику немає в Парижі. Зверніть увагу, що сам Хуан не є членом жодного з класів на наведеній вище діаграмі; інформація про Хуана вбудована у визначення J. Оглянувши діаграму, ви можете сказати, що Хуан не володіє жодними паризькими яблуками (оскільки J і P не перекриваються), але він володіє яблуками (тому що J перетинає A), Власні апельсини (тому що J перетинає O), і володіє деякими іншими невизначені фрукти (тому що J знаходиться в F, але не всі J знаходиться в A або O).

    Нехай A = громадяни США, які живуть у Нью-Йорку, B = жителі міста, C = американці. Ось діаграма Ейлера, що відображає їх реальні відносини.

    Три кола. Кола C і B перетинаються кожен. У межах їх перетину знаходиться Коло А.

    Ось як відобразити однакові відносини з діаграмою Венна:

    Три взаємно пересічних кола. Все коло A пофарбовано в чорний колір, за винятком його частини, яка також знаходиться в межах B і C.

    На діаграмах Венна затінені області є порожнім набором; вони нічого не містять. При застосуванні техніки Венна до трьох множин три кола повинні бути взаємно перетинаються, на відміну від діаграм Ейлера.

    Як би ви намалювали діаграму, в якій твердження про те, що деякі яблука з Канади, а деякі - ні, правда? Це зробить трюк:

    Два перетинаються кола A і C

    C = клас речей з Канади

    A = клас яблук

    Шаблон речення «Всі А не B» вірний на наступній діаграмі:

    Два непересічних кола, позначені A і B.

    Зверніть увагу, що це те саме, що діаграма, яку ви б намалювали для «No A - B». Логічно еквівалентні речення мають однакові види діаграм. Це ключова ідея в логіці класу.

    Наведена вище діаграма представляла б помилкове речення «Ні техасці не є американцями», якби використовувався наступний словник:

    A = техасці
    B = американці

    Хоча це речення є помилковим у реальному світі, діаграма показує, яким був би світ, якби речення було правдою. Те ж саме робиться, кажучи, що діаграма - це картина того, що істинно в певному «можливому світі», який не є фактичним світом.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Зробіть твердження «Всі техасці неамериканці» бути правдою на діаграмі, використовуючи вищевказаний словник для A і B.

    Відповідь

    Зверніть увагу, що на цій діаграмі кожен техасський А знаходиться за межами Америки B і, таким чином, є неамериканським. Таким чином, цей можливий світ не є реальним світом.

    Дозволяючи А бути класом яблук. На двох діаграмах нижче речення «Всі яблука - банани» вірно (хоча речення помилкове в реальному світі):

    Три кола. Ліворуч від діаграми - Банани кола з колом А повністю всередині нього. Праворуч - коло з написом «A = Банани»

    Але зверніть увагу на різницю в двох діаграмах. У тому, що зліва кілька бананів не можуть бути яблуками. Це не так на схемі праворуч. На другій діаграмі клас яблук і клас бананів - це один і той же клас. Діаграма реальних відносин між яблуками та бананами виглядала б наступним чином:

    Два непересічних кола з маркуванням A і Bananas

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Намалюйте діаграму для яблук і фруктів, в якій наступне речення не відповідає дійсності на схемі: «Всі яблука - фрукти». Речення вірно в реальному світі, але його не буде в можливому світі, представленому вашою діаграмою.

    Відповідь

    Існує не один вид діаграми, який буде працювати.
    Знімок екрана 2019-12-26 в 9.25.21 AM.png

    З таким реченням, як «Всі яблука є фруктами», аналітик має можливість розглядати його в класовій логіці або в логіці речень. У класовій логіці це логічно еквівалентно «Всі речі в класі яблук - це також речі в класі фруктів». Це констатує зв'язок між двома класами. У реченні логіки речення логічно еквівалентно «Якщо це яблуко, то це плід». Це констатує умовний зв'язок між двома підреченнями.

    Тепер ми можемо узагальнити метод діаграми до методики оцінки дедуктивної достовірності аргументів за умови, що речення, що складають аргумент, описують, як класи об'єктів пов'язані один з одним. Діаграма Венна-Ейлера метод оцінки аргументів працює тільки для дедуктивних аргументів у логіці класу. Він показує аргумент, який має бути дійсним, якщо немає діаграми контраприкладу до аргументу. За визначенням, контрприклад аргументу - це можлива ситуація або тлумачення аргументу, що показує, як він міг мати справжні передумови і помилковий висновок.

    Більш конкретно, ось як застосувати метод перевірки на валідність в логіці класу:

    Перекладіть передумови і висновок аргументу у відповідні пропозиції класової логіки. Пошук контрприкладу. Тобто спробуйте скласти діаграму ці пропозиції в класовій логіці так, щоб приміщення вийшли істинними на схемі і висновок вийшов помилковим на схемі. Якщо є така діаграма, то ця діаграма лічильника приклад показує, що аргумент дедуктивно недійсний. Однак якщо всі можливі діаграми не дають контрприкладу, то аргумент оголошується дедуктивно дійсним.

    Цей метод ніколи не дає невірної відповіді, якщо ви насправді правильно розглянули всі можливі діаграми. Аргумент є дійсним, якщо не існує контраприкладу, а не тільки якщо ви не можете знайти його. Можливо, ви не можете знайти його, тому що не дивилися уважно. Отже, застосування методу діаграм Венна-Ейлера є ризикованим, оскільки його відповідь залежить від того, що ви правильні, коли ви говорите, що дивилися, і впевнені, що жодного контраприкладу не існує.

    Щоб побачити техніку в дії, давайте спробуємо її на цій схемі аргументу:

    Ні A є Б.
    Ні C є Б.
    Отже, Ні A є C.

    Ось схема, яка робить все приміщення істинними:

    Три непересічних кола A, B і C

    Жоден з кіл не перетинається і не міститься всередині іншого. На цій схемі висновок вірний. Чи можемо ми зробити висновок, що шаблон аргументу є дійсним? Ні, не з цієї інформації. Натомість ми повинні були шукати, щоб переконатися, що немає діаграми, яка робить приміщення істинними, але висновок помилковим. Насправді існує така схема:

    Три кола. Коло A перетинає коло C. Коло B знаходиться поза колами A і B.

    Тут висновок помилковий, коли приміщення є істинним, що говорить ознака недійсності. Тому метод діаграми оголошує шаблон аргументу недійсним.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Використовуйте метод діаграми, щоб показати достовірність цього шаблону аргументу:

    Всі A є B.
    Всі B є C.
    Отже, всі A є C.

    Відповідь

    Ось спосіб намалювати схему того, що обидва приміщення є істинними
    Знімок екрана 2019-12-26 в 9.26.43 AM.png

    Можуть бути й інші схеми приміщень: Дозволити коло А рівне коло В, або для Б рівне С. Однак на всіх можливих схемах приміщень висновок виходить вірним на схемі. Отже, жоден контрприклад не може бути проведений. Тому техніка Венна-Ейлера оголошує цей шаблон аргументу дійсним.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Використовуйте метод діаграми для оцінки обґрунтованості або недійсності цього аргументу. Інтерпретувати деякі означають «принаймні один і, можливо, все».

    Деякі кішки - котячі.
    Деякі тварини - котячі.
    Так, деякі тварини - це кішки.

    Відповідь

    Аргумент недійсний; зустрічним прикладом служить наступна діаграма:

    Деякі C є F
    Деякі A є F
    Деякі A є C

    Знімок екрана 2019-12-26 в 9.27.49 AM.png

    При спробі знайти логічну форму аргументу не завжди можна сказати, чи варто шукати його форму в класовій логіці або в логіці речень. Експериментуйте, щоб побачити, що буде працювати. Деякі аргументи мають логічні форми, які не можуть бути адекватно виражені жодним чином, і тоді більш потужні логіки, такі як логіка предикатів, повинні бути приведені до аргументу.

    Крім того, деякі аргументи дедуктивно дійсні, хоча їх обгрунтованість не є питанням логічної форми з використанням будь-якої формальної логіки. Ось приклад:

    Джон - холостяк.
    Значить, він не одружений.

    Дійсність обумовлена не просто формою, а змістом, зокрема, тим, що визначення бакалавра передбачає, що всі холостяки не перебувають у шлюбі. Ми могли б змусити цей аргумент бути дійсним через його логічну форму в класовій логіці, якби ми могли закодувати ідею, що всі холостяки не одружені в класовій логіці, і ми можемо. Просто додайте передумову: всі холостяки не одружені. Допустимі аргументи, які не потребують вставки визначень, називаються формально дійсними. Усі формально вагомі аргументи дедуктивно дійсні, але зворотний не тримається. Однак у нашому курсі ми не будемо звертати уваги на цю тонку відмінність. Якщо ви бачите, що визначення потрібне для того, щоб аргумент був дійсним, продовжуйте вставляти його і не турбуйтеся про те, що це показує, що ваш аргумент є дедуктивно дійсним, але формально не дійсним.

    Діаграми Венна-Ейлера мають інше застосування, крім перевірки на валідність. Якщо два речення можуть мати однакову діаграму, то вони логічно еквівалентні в класовій логіці. Діаграми також можна використовувати для перевірки на узгодженість. Якщо є схема, в якій кожне речення в наборі пропозицій виходить істинним, то множина логічно послідовна.