Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.3.5: Логіка тільки, тільки якщо, і якщо

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52495

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Слово тільки є важливим для логічних цілей. Щоб вивчити його тонкощі, припустимо, що для отримання оцінки А з математики 101 потрібно зробити дві речі: отримати A- або краще середнє за домашнім завданням, і отримати середній показник А на тестах. Тоді було б правильно сказати: «Ви отримуєте оцінку A з математики 101, лише якщо ви отримаєте A- або краще середнє за всіма домашніми завданнями». Тепер відкиньте тільки з речення. Чи має це значення? Так, тому що тепер вам залишається помилкове твердження «Ви отримуєте оцінку А в математиці 101, якщо ви отримаєте A- або краще середнє за домашнім завданням». Якщо говорити більш загально, відмова від єдиного лише тоді, коли зазвичай робить значну різницю в логіці сказаного. На жаль, багато людей недбало ставляться до використання цих термінів. Відобразити логічні форми двох фраз в логіці речень, використовуючи ці скорочення:

    A = Ви отримуєте A в математиці 101.
    B = Ви отримуєте A- або краще середнє за всіма домашніми завданнями.

    Тепер «A, тільки якщо B» є істинним, але «A, якщо B» є помилковим. Так що «A тільки якщо B» і «A, якщо B» не еквівалентні; вони повинні говорити щось інше. У них інша «логіка».

    Ось короткий виклад різної логічної поведінки якщо на відміну від тільки якщо. Наступні три моделі твердження логічно еквівалентні:

    (1) P тільки якщо Q
    (2) P має на увазі Q
    (3) Якщо P, то Q

    але жоден з перерахованих вище трьох не еквівалентний жодному з наступних трьох:

    (4) P якщо Q.
    (5) Q передбачає P.
    (6) Якщо Q, то P.

    Проте (4), (5) і (6) логічно еквівалентні один одному.

    Фраза якщо і тільки якщо є комбінацією якщо плюс тільки якщо. Наприклад, кажучи: «Ви потрапляєте сюди, якщо і тільки якщо ви отримаєте менеджера в порядку» означає «Ви потрапляєте сюди, якщо ви отримуєте менеджера в порядку, і ви потрапляєте сюди, тільки якщо ви отримаєте менеджера в порядку».

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Які з нижчеперелічених вірних?

    Для всіх x, x = 4, тільки якщо х парний.
    Для всіх х х навіть, якщо х = 4.
    Для всіх х х, х є навіть якщо і тільки якщо х = 4.

    Відповідь

    Якраз перший

    Прапор США
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Чи всі три з цих речень логічно еквівалентні один одному? Якщо ні, то які два еквівалентні один одному? Слідкуйте. Це складно, тому що ваші фонові знання про географію тут марні.

    а Якщо ви з США, то ви з Північної Дакоти.
    б Ви з США, тільки якщо ви з Північної Дакоти.
    c Ви з Північної Дакоти, якщо ви з США.

    Відповідь

    Всі три еквівалентні один одному, а всі три - помилкові

    Логічну форму пропозицій, що містять слово хіба що важливо вивчити, оскільки так багато помилок і хитрощів відбувається зі словом. Зазвичай це означає те саме, що або, хоча багато людей, спочатку почувши це, клянуться, що це неправильно. Ви збираєтеся сісти до в'язниці, якщо не заплатите податки, чи не так? Отже, або ви платите свої податки, або сідаєте до в'язниці.

    Розглянемо більш складну ситуацію. Припустимо, ви не отримаєте A в цьому курсі, якщо ви не зареєстровані. Чи слід з упевненістю, що якщо ви зареєстровані, ви отримаєте A? Ні. Чи випливає, що ви не отримаєте A? Ні, це також не слід. Чи слід замість цього, що якщо ви не отримуєте A, ви не зареєстровані? Ні. Що б, замість цього, було б дійсним це:

    Ви не отримаєте A в цьому курсі, якщо ви не зареєстровані.
    Отже, якщо ви отримуєте А, то ви зареєстровані.

    Логічною формою міркування є

    Не-А, якщо РЕГ.
    Отже, якщо А, то РЕГ.

    Це дійсно виглядає дійсним? Це є.

    Те, що ви, можливо, помітили в цьому та попередніх розділах, полягає в перекладі з англійської на символічну форму, ми часто використовуємо наші базові знання того, що еквівалентно чому. Це те, що відбувається, коли ми перекладаємо «Вона тут» як S, але також «Вона тут» як S, хоча два речення мають різні літери; одне має апостроф, а інше - ні. Коли ми перекладаємо умови, ми значно використовуємо наші базові знання про еквівалентність. Ми використовуємо наші знання про те, що час (минуле, теперішнє, майбутнє) та настрій (орієнтовний, умовний) є або не є важливим для аргументу. Наприклад, зверніть увагу на тонкий перехід від теперішнього часу до майбутнього часу в цьому дійсному аргументі:

    Якщо Саманта візьме машину, вона добереться туди швидше.
    Вона візьме машину.
    А значить, вона добереться туди швидше.

    «Вона бере» присутній напружений, але «Вона візьме» минуле напружене. Ми ігноруємо всю цю напружену інформацію, коли переводимо аргумент як

    Якщо БЕРЕ, то ШВИДШЕ.
    БЕРЕ.
    Отже, ШВИДШЕ.

    Потрібно добре розуміти мову, щоб знати, коли ви можете ігнорувати інформацію про час, а коли не можете. Ви не можете ігнорувати це в цьому аргументі:

    Якщо вона візьме машину, вона добереться туди швидше, але не якщо почекає ще п'ять хвилин.
    Вона візьме машину, але не на десять хвилин.
    А значить, вона добереться туди швидше.

    Ні, вона не буде. Це недійсні міркування.

    Ось ще один приклад використання довідкової інформації. Чи є цей аргумент справедливим?

    Якщо Саманта піклується, вона потрапить туди швидше.
    Вона візьме машину.
    А значить, вона добереться туди швидше.

    Можливо. Ми сказали, що це було дійсним пару абзаців тому, але це справедливо лише в тому випадку, якщо ми виправдані, ігноруючи той факт, що слово «вона» може мати на увазі дружину Авраама Лінкольна, а не Саманту. Наші базові знання говорять нам, чи потрібно нам звертати увагу на цю можливість чи ні.