Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розділ 4: Речення SL

  • Page ID
    52225
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Речення «Яблука червоні, або ягоди сині» - це речення англійської мови, а речення\(A\) '(⠀\(B\))' - речення SL. Хоча ми можемо ідентифікувати речення англійської мови, коли ми стикаємося з ними, ми не маємо офіційного визначення 'речення англійської мови». У SL можна формально визначити, що вважається реченням. Це один аспект, в якому формальна мова, як SL, є більш точною, ніж природна мова, як англійська.

    Важливо розрізняти логічну мову SL, який ми розробляємо, і мову, яку ми використовуємо для розмови про SL. Коли ми говоримо про мову, мова, про яку ми говоримо, називається мовою об'єкта. Мова, яку ми використовуємо для розмови про мову об'єкта, називається метамовою.

    Мовою об'єкта в цьому розділі є SL. Метамова є English— не розмовна англійська, але англійська, доповнена деякою логічною та математичною лексикою. Речення '(\(A\)\(B\))' є реченням в мові об'єкта, тому що в ньому використовуються тільки символи SL. Слово «речення» саме по собі не є частиною SL, тому речення «Цей вираз є реченням SL' не є реченням SL. Це речення в метамові, речення, яке ми використовуємо, щоб говорити про SL.

    У цьому розділі ми дамо формальне визначення для 'речення SL. ' Саме визначення буде дано в математичній англійській мові, metalanguage.

    вирок листи

    з індексами, за потребою

    \(A\),\(B\),\(C\),... ,\(Z\)

    \(A\)1,\(B\) 1,\(Z\) 1,\(A\) 2,\(A\) 25,\(J\) 375,...

    сполучні ¬, &, ∨, →, ↔
    круглі дужки (,)

    Визначаємо вираз sl як будь-який рядок символів SL. Візьміть будь-який із символів SL і запишіть їх, в довільному порядку, і у вас є вираз.


    Добре сформовані формули

    Оскільки будь-яка послідовність символів є виразом, багато виразів SL будуть gobbledegook. Значущим виразом називають добре сформовану формулу. Загальноприйнято використовувати акронім w; множина - wffs.

    Очевидно, що окремі\(A\) літери речення на кшталт і\(G\) 13 будуть wfs. Ми можемо сформувати подальші wff з них, використовуючи різні зв'язки. Використовуючи заперечення, ми можемо отримати ¬\(A\) і ¬\(G\) 13. Використовуючи кон'юнкцію, ми можемо отримати\(A\) &\(G\) \(G\)13\(A\), 13\(A\) &\(A\), і\(G\) 13 &\(G\) 13. Ми також могли б застосовувати заперечення неодноразово, щоб отримати wf, як ¬¬,\(A\) або застосувати заперечення разом із сполученням, щоб отримати wfs, як ¬ (\(A\)&\(G\) 13) і ¬ (\(G\)13 & ¬\(G\) 13). Можливі комбінації нескінченні, навіть починаючи з цих двох букв речення, і є нескінченно багато букв речень. Так що немає сенсу намагатися перерахувати всі wffs.

    Замість цього ми опишемо процес, за допомогою якого можна побудувати wffs. Розглянемо заперечення: З огляду на будь-який\(\mathcal{A}\) wз SL, ¬\(\mathcal{A}\) є wз SL. Тут важливо, щоб\(\mathcal{A}\) не була буква пропозиції\(\mathcal{A}\). Швидше, це змінна, яка стоїть для будь-якого wвзагалі. Зверніть увагу, що ця змінна не\(\mathcal{A}\) є символом SL, тому ¬ не\(\mathcal{A}\) є виразом SL. Натомість це вираз метамови, що дозволяє говорити про нескінченно багато виразів SL: всі вирази, які починаються з символу заперечення. Оскільки\(\mathcal{A}\) є частиною метамови, його називають метазмінною.

    Ми можемо сказати подібні речі для кожного з інших зв'язків. Наприклад, якщо\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є wff з SL, то (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)) є wз SL. Надаючи такі пункти для всіх зв'язків, ми приходимо до наступного формального визначення для добре сформованої формули SL:

    1. Кожне атомне речення є w.
    2. Якщо\(\mathcal{A}\) є wff, то ¬\(\mathcal{A}\) є wff або SL.
    3. Якщо\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є wffs, то (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)) є w.
    4. Якщо\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є wffs, то (\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\)) є w.
    5. Якщо\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є wffs, то (\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\)) є w.
    6. Якщо\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є wffs, то (\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\)) є w.
    7. Всі і тільки wff SL можуть бути згенеровані за допомогою застосування цих правил.

    Зверніть увагу, що ми не можемо негайно застосувати це визначення, щоб побачити, чи довільний вираз є w. Припустимо, ми хочемо знати, чи ¬¬¬D є wз SL.

    Дивлячись на друге речення визначення, ми знаємо, що ¬¬¬\(D\) є w, якщо ¬¬\(D\) є w. Отже, тепер нам потрібно запитати, чи\(D\) є ¬¬ є w. Знову дивлячись на друге речення визначення, ¬¬\(D\) є wif ¬ if\(D\) is. Знову ж таки, ¬\(D\)\(D\) є wякщо є w. Тепер\(D\) це лист речення, атомне речення SL, тому ми знаємо, що\(D\) це wза першим реченням визначення. Отже, для складеної формули\(D\), подібн¬¬, ми повинні застосовувати визначення неодноразово. Врешті-решт ми приходимо до атомних речень, з яких будується w.

    Подібні визначення називаються рекурсивними. Рекурсивні визначення починаються з деяких визначених базових елементів і визначають способи нескінченного з'єднання базових елементів. Подібно до того, як рекурсивне визначення дозволяє складати складні речення з простих частин, ви можете використовувати його для розкладання речень на їх простіші частини. Щоб визначити, чи відповідає щось визначенню, вам, можливо, доведеться повертатися до визначення багато разів.

    З'єднувач, який ви спочатку дивитеся при розкладанні речення, називається головним логічним оператором цього речення. Наприклад: Основним логічним оператором ¬ (⠀\(E\) (\(F\)\(G\))) є заперечення, ¬. Основним логічним оператором (¬ ⠀\(E\) (\(F\)\(G\))) є диз'юнкція, ⠀.


    Речення

    Нагадаємо, що пропозиція - це осмислений вираз, яке може бути істинним або хибним. Оскільки значущі вирази SL є wfs, і оскільки кожне wз SL є істинним або хибним, визначення для речення SL таке ж, як визначення для w. Не кожна формальна мова матиме цю приємну особливість. У мові QL, яка розроблена пізніше в книзі, є wff, які не є реченнями.

    Рекурсивна структура речень у SL буде важливою, якщо врахувати обставини, за яких конкретне речення було б істинним чи хибним. Речення ¬¬¬¬\(D\) істинно тоді і лише тоді, коли речення ¬¬\(D\) є хибним, і так далі через структуру речення, поки ми не дійдемо до атомних компонентів: ¬¬¬¬\(D\) істинно тоді і лише тоді, коли атомне речення\(D\) помилкове. До цього моменту ми повернемося в наступному розділі.

    Нотаційні умовності

    A wlike (\(Q\)&\(R\)) повинен бути оточений дужками, тому що ми можемо застосувати визначення знову, щоб використати це як частину більш складного речення. Якщо ми заперечуємо (\(Q\)&\(R\)), ми отримуємо¬ (\(Q\)&\(R\)). Якби ми просто мали\(Q\) &\(R\) без дужок і поставили заперечення перед ним, ми б ¬\(Q\) &\(R\). Найбільш природно читати це як означає те саме, що і (¬\(Q\) &\(R\)), щось дуже інше, ніж ¬ (\(Q\)&\(R\)). Речення ¬ (\(Q\)&\(R\)) означає, що це не так, що обидва\(Q\) і\(R\) є істинними;\(Q\) може бути помилковим або\(R\) може бути помилковим, але речення не говорить нам, що. Речення (¬\(Q\) &\(R\)) означає конкретно, що\(Q\) є помилковим, і\(R\) це правда. Таким чином, дужки мають вирішальне значення для значення речення.

    Отже, строго кажучи,\(Q\) &\(R\) без дужок не є реченням SL. Однак, використовуючи SL, ми часто зможемо розслабити точне визначення, щоб полегшити собі речі. Робити це ми будемо декількома способами.

    По-перше, ми розуміємо, що\(Q\) &\(R\) означає те ж саме, що\(Q\) і (&\(R\)). Як умова, ми можемо залишити oдужки, які трапляються навколо всього речення.

    По-друге, іноді може бути заплутаним дивитися на довгі речення з багатьма вкладеними парами дужок. Ми приймаємо конвенцію про використання квадратних дужок «[» та «]» замість дужок. Наприклад, немає логічної різниці між\(P\) (\(Q\)⠀)\(P\) і [\(Q\)]. громіздке речення ((((\(H\)\(I\)) ⠀ (\(I\)\(H\))) &\(J\) (\(K\))) можна записати таким чином: (\(H\)\(I\)) ⠀ (\(I\)\(H\)) & (\(J\)\(K\))

    По-третє, нам іноді захочеться перевести сполучення трьох і більше речень. Для речення «Аліса, Боб і Кендіс всі пішли на вечірку», припустимо, ми маємо на\(A\) увазі «Аліса пішла»,\(B\) означає «Боб пішов», і\(C\) означають «Кендіс пішла». Визначення дозволяє нам формувати сполучення лише з двох речень, тому ми можемо перекласти його як (\(A\)&\(B\)) &\(C\) або як\(A\) & (\(B\)&\(C\)). Немає підстав розрізняти їх, оскільки два переклади логічно еквівалентні.

    Немає логічної різниці між першим, в якому (\(A\)&\(B\)) з'єднаний з\(C\), і другим, в якому\(A\) з'єднаний з (\(B\)&\(C\)). Таким чином, ми могли б також просто написати\(A\) &\(B\) &\(C\). Як умова, ми можемо залишити дужки, коли ми об'єднуємо три або більше речень.

    По-четверте, подібна ситуація виникає при множинних диз'юнкціях. «Або Аліса, Боб, або Кендіс пішли на вечірку» можна перекласти як\(A\) (\(B\)⠀)\(C\) або\(A\) як ⠀ (\(B\)\(C\)). Оскільки ці два переклади логічно еквівалентні, ми можемо\(A\)\(B\) написати\(C\)

    Ці дві останні конвенції застосовуються лише до декількох сполучників або множинних диз'юнкцій. Якщо ряд з'єднань включає як диз'юнкції, так і сполучники, то дужки є важливими; як з (\(A\)&\(B\))\(C\) і\(A\) & (\(B\)\(C\)). Дужки також необхідні, якщо є ряд умовних або двоумовних; як з (\(A\)\(B\)) →\(C\) і\(A\) ↔ (\(B\)\(C\)).

    Ми прийняли ці чотири правила як нотаційні конвенції, а не як зміни у визначенні речення. Строго кажучи,\(A\)\(B\)\(C\) - це ще не вирок. Натомість це свого роду стенограма. Пишемо його заради зручності, але ми дійсно маємо на увазі речення (\(A\)⠀ (\(B\)\(C\))).

    Якби ми дали інше визначення для w, то вони могли б зараховуватися як wffs. Ми могли б написати правило 3 таким чином: «Якщо\(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\),... \(\mathcal{Z}\)є wffs, то (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\) &... &\(\mathcal{Z}\)), це w». Це полегшило б переклад деяких англійських речень, але коштувало б ускладнити нашу офіційну мову. Ми повинні мати на увазі складне визначення, коли ми розробляємо таблиці істинності та систему доказів. Ми хочемо логічну мову, яка виразно проста і дозволяє нам легко перекладати з англійської мови, але ми також хочемо формально просту мову. Прийняття нотаційних конвенцій є компромісом між цими двома бажаннями.