Розділ 2: З'єднання
- Page ID
- 52224
Логічні зв'язки використовуються для побудови складних речень з атомних компонентів. У SL є п'ять логічних зв'язків. Ця таблиця їх узагальнює, і вони пояснюються нижче.
символ | як вона називається | що це означає |
¬ & ⠀ → ↔ |
заперечення кон'юнкції диз'юнкції умовний бі |
«Це не так.» «Обидва... і.» «Або.. або.» «Якщо... то..» '.. якщо і тільки якщо.' |
заперечення
Розглянемо, як ми можемо символізувати ці речення:
1. Мері в Барселоні.
2. Мері не в Барселоні.
3. Мері десь окрім Барселони.
Для того щоб символізувати пропозицію 1, нам знадобиться одна буква пропозиції. Ми можемо надати ключ символізації:
Б: Мері в Барселоні.
Зауважте, що тут ми даємо\(B\) іншу інтерпретацію, ніж ми робили в попередньому розділі. Ключ символізації визначає лише те, що\(B\) означає у певному контексті. Життєво важливо, щоб ми продовжували використовувати це значення до тих\(B\) пір, поки ми говоримо про Марію та Барселону. Пізніше, коли ми символізуємо різні речення, ми можемо написати новий ключ символізації і використовувати,\(B\) щоб означати щось інше.
Тепер, речення 1 просто\(B\).
Оскільки речення 2, очевидно, пов'язане з реченням 1, ми не хочемо вводити іншу букву речення. Якщо сказати це частково англійською мовою, речення означає «Ні»\(B\). Для того щоб це символізувати, нам потрібен символ логічного заперечення. Ми будемо використовувати '¬.' Тепер ми можемо перевести\(B\) 'Not' на ¬\(B\).
Речення 3 про те, чи є Марія в Барселоні, але воно не містить слова «ні». Тим не менш, це, очевидно, логічно еквівалентно реченню 2. Вони обидва означають: Це не так, що Марія знаходиться в Барселоні. Таким чином, ми можемо перевести як речення 2, так і 3 як ¬\(B\).
Речення може бути символізовано як ¬\(\mathcal{A}\) якщо його можна перефразувати англійською мовою як «Це не так»\(\mathcal{A}\). |
Розглянемо наступні приклади:
4. Віджет може бути замінений, якщо він зламається.
5. Віджет незамінний.
6. Віджет не є незамінним.
Якщо ми дозволимо\(R\) означати 'Віджет замінюється', то речення 4 можна перекласти як\(R\).
А як щодо речення 5? Сказати віджет незамінний означає, що це не той випадок, що віджет є змінним. Отже, хоча речення 5 не є негативним в англійській мові, ми символізуємо його, використовуючи заперечення як ¬\(R\).
Речення 6 можна перефразувати як «Це не так, що віджет є незамінним». Використовуючи заперечення двічі, ми переводимо це як ¬¬\(R\). Два заперечення поспіль працюють як заперечення, тому речення означає «Це не так... це не так... це не так, що... \(R\). ' Якщо подумати про речення англійською мовою, воно логічно еквівалентно реченню 4. Тому, коли ми визначимо логічну еквівалентність в SL, ми переконаємося, що\(R\) і ¬¬\(R\) логічно еквівалентні.
Ще приклади:
7. Елліотт щасливий.
8. Елліотт незадоволений.
Якщо ми дозволимо\(H\) означати «Елліот щасливий», то ми можемо символізувати речення 7 як\(H\).
Однак було б помилкою символізувати речення 8 як ¬ H. Якщо Елліотт нещасний, то він не щасливий - але речення 8 не означає те ж саме, що «Це не так, що Елліотт щасливий». Можливо, він не щасливий, але і не нещасний. Можливо, він знаходиться десь між ними. Для того, щоб дозволити можливість того, що він байдужий, нам знадобиться нова буква речення, яка символізує речення 8.
Для будь-якого речення\(\mathcal{A}\): Якщо\(\mathcal{A}\) істинно, то¬\(\mathcal{A}\) є помилковим. Якщо ¬\(\mathcal{A}\) істинно, то\(\mathcal{A}\) є хибним. Використовуючи 'T' для true і 'F' для false, ми можемо узагальнити це в характерній таблиці істинності для заперечення:
\(\mathcal{A}\) | ¬\(\mathcal{A}\) |
Т F |
F Т |
Ми обговоримо таблиці істинності більшою довжиною в наступному розділі.
Кон'юнкція
Розглянемо ці пропозиції:
9. Адам атлетичний.
10. Барбара атлетична.
11. Адам атлетичний, а Барбара також атлетична.
Нам знадобляться окремі літери речення для 9 і 10, тому ми визначаємо цей ключ символізації:
В: Адам атлетичний.
Б: Барбара атлетична.
Речення 9 можна символізувати як\(A\).
Речення 10 можна символізувати як\(B\).
Речення 11 можна перефразувати як «\(A\)і»\(B\). Для того щоб повністю символізувати це речення, нам знадобиться ще один символ. Ми будемо використовувати '&.' Ми перекладаємо '\(A\)і\(B\)' як\(A\) &\(B\). Логічна сполучна '&' називається кон'юнкція,\(A\) і кожен з\(B\) них називається кон'юнктами.
Зверніть увагу, що ми не намагаємося символізувати «також» у реченні 11. Такі слова, як «обидва» і «також», функціонують, щоб привернути нашу увагу до того, що дві речі поєднуються. Вони не роблять ніякої подальшої логічної роботи, тому нам не потрібно представляти їх у SL.
Ще кілька прикладів:
12. Барбара атлетична і енергійна.
13. Барбара і Адам обидва атлетичні.
14. Хоча Барбара енергійна, вона не атлетична.
15. Барбара атлетична, але Адам більш атлетичний, ніж вона.
Речення 12, очевидно, є сполучником. Речення говорить про Барбару дві речі, тому в англійській мові допустимо посилатися на Барбару лише один раз. Можливо, буде спокусливо спробувати це під час перекладу аргументу: Оскільки\(B\) означає «Барбара атлетична», можна перефразувати речення як «\(B\)та енергійні». Це було б помилкою. Як тільки ми перекладаємо частину речення як\(B\), будь-яка подальша структура втрачається. \(B\)є атомним реченням; це не що інше, як істинне чи хибне. І навпаки, «енергійний» - це не вирок; сам по собі він не є ні істинним, ні помилковим. Натомість ми повинні перефразувати речення як «\(B\)і Барбара енергійна». Тепер нам потрібно додати букву пропозиції до символізаційного ключа. Нехай\(E\) означатиме «Барбара енергійна». Тепер речення можна перекласти як\(B\) &\(E\).
Речення може бути символізовано як\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\) якщо його можна перефразувати англійською мовою як «Обидва\(\mathcal{A}\), і»\(\mathcal{B}\). Кожен з сполучників повинен бути пропозицією. |
Речення 13 говорить одне про два різні предмети. Це говорить як про Барбару, так і про Адама, що вони атлетичні, і в англійській мові ми використовуємо слово «атлетичний» лише один раз. При перекладі на SL важливо розуміти, що речення можна перефразувати як: «Барбара атлетична, а Адам - атлетичний». Це перекладається як\(B\) &\(A\).
Речення 14 трохи складніше. Слово «хоча» встановлює контраст між першою частиною речення та другою частиною. Тим не менш, речення говорить і про те, що Барбара енергійна, і що вона не атлетична. Для того, щоб зробити кожен із сполучників атомним реченням, нам потрібно замінити «вона» на «Барбара».
Тож ми можемо перефразувати речення 14 як: «Обидві Барбара енергійна, а Барбара не атлетична». Другий кон'юнкт містить заперечення, тому ми перефразовуємо далі: «Обидві Барбара енергійна, і це не так, що Барбара атлетична». Це перекладається як\(E\) &¬\(B\).
Речення 15 містить аналогічну контрастну структуру. Це не має значення для перекладу на SL, тому ми можемо перефразувати речення як «Обидві Барбара атлетична, а Адам більш атлетичний, ніж Барбара». (Зверніть увагу, що ми ще раз замінюємо займенник «вона» на її ім'я.) Як ми повинні перекласти другий кон'юнкт? У нас вже є лист речення,\(A\) який стосується атлетики Адама і\(B\) який стосується атлетики Барбари, але ні про те, що один з них не є більш спортивним, ніж інший. Нам потрібна нова буква пропозиції. Нехай\(R\) означатиме «Адам більш атлетичний, ніж Барбара». Тепер речення перекладається як\(B\) &\(R\).
Речення, які можна перефразувати «\(\mathcal{A}\), але\(\mathcal{B}\)» або «Хоча\(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\)» найкраще символізувати за допомогою сполучника:\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\) |
Важливо мати на увазі, що букви пропозиції\(A\)\(B\), і\(R\) є атомними реченнями. Вважаються символами SL, вони не мають ніякого значення, крім істинних чи хибних. Ми використовували їх для символізації різних речень англійської мови, які стосуються людей, які є спортивними, але ця схожість повністю втрачається, коли ми перекладаємо на SL. Жодна формальна мова не може охопити всю структуру англійської мови, але поки ця структура не важлива для аргументу, нічого не втрачено, залишивши її поза увагою.
Для будь-яких речень\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\),\(\mathcal{A}\) &\(\mathcal{B}\) true, якщо і тільки якщо обидва\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є істинними. Ми можемо узагальнити це в характерній таблиці істинності для кон'юнкції:
\(\mathcal{A}\) | \(\mathcal{B}\) | \(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\) |
Т | Т | Т |
Т | F | F |
F | Т | F |
F | F | F |
Кон'юнкція симетрична, тому що ми можемо поміняти місцями кон'юнкти, не змінюючи істинного значення речення. Незалежно від того, що\(\mathcal{B}\) і\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\) є,\(\mathcal{A}\) & логічно еквівалентно\(\mathcal{B}\) &\(\mathcal{A}\).
диз'юнкція
Розглянемо ці пропозиції:
16. Або Денісон буде грати зі мною в гольф, або він буде дивитися фільми.
17. Або Денісон, або Ellery буде грати зі мною в гольф.
Для цих речень ми можемо використовувати цей ключ символізації:
Д: Денісон буде грати зі мною в гольф.
E: Ellery буде грати зі мною в гольф.
М: Денісон буде дивитися фільми.
Речення 16 - «Або\(D\) або»\(M\). Щоб повністю символізувати це, вводимо новий символ. Речення стає\(D\) ₵\(M\). Сполучні «₵» називають диз'юнкцією,\(D\) і\(M\) називаються диз'юнктами.
Речення 17 лише трохи складніше. Є два суб'єкти, але англійське речення дає дієслово лише один раз. У перекладі ми можемо перефразувати це як. «Або Денісон буде грати в гольф зі мною, або Ellery буде грати в гольф зі мною». Тепер це, очевидно, перекладається як\(D\) ₵\(E\).
Речення може бути позначено\(\mathcal{A}\) як\(\mathcal{B}\) ₵, якщо його можна перефразувати англійською мовою як «Або\(\mathcal{A}\), або»\(\mathcal{B}\). Кожен з диз'юнктів повинен бути вирок. |
Іноді в англійській мові слово 'або' виключає можливість того, що обидва диз'юнкти є істинними. Це називається ексклюзивним або. Ексклюзивний або явно призначений, коли в меню ресторану написано: «Закуски приходять з супом або салатом». У вас може бути суп; у вас може бути салат; але, якщо ви хочете і суп, і салат, то вам доведеться доплатити.
В інший час слово «або» дозволяє можливість того, що обидва диз'юнкти можуть бути правдивими. Ймовірно, це справа з реченням 17, вище. Я міг би грати з Денісоном, з Ellery, або як з Денісон, так і з Ellery. Речення 17 просто говорить про те, що я буду грати хоча б з одним з них. Це називається інклюзивним або.
Символ '₵' являє собою інклюзивне або. Таким\(D\) чином,\(E\) ⠀ істина, якщо\(D\) істина, якщо\(E\) правда, або якщо обидва\(D\) і\(E\) є істинними. Це помилково, тільки якщо обидва\(D\) і\(E\) є помилковими. Ми можемо підсумувати це за допомогою характерної таблиці істинності для диз'юнкції:
\(\mathcal{A}\) | \(\mathcal{B}\) | \(\mathcal{A}\)∨\(\mathcal{B}\) |
Т | Т | Т |
Т | F | Т |
F | Т | Т |
F | F | F |
Як і кон'юнкція, диз'юнкція симетрична. \(\mathcal{A}\)₵\(\mathcal{B}\) логічно еквівалентний\(\mathcal{B}\) ₵\(\mathcal{A}\). Ці речення дещо складніше:
18. Або у вас не буде супу, або салату у вас не буде.
19. У вас не буде ні супу, ні салату.
20. У вас виходить або суп, або салат, але не обидва.
Ми дозволяємо\(S\) 1 означає, що у вас виходить суп і\(S\) 2 означає, що ви отримаєте салат.
Речення 18 можна перефразувати таким чином: «Або це не так, що ви отримуєте суп, або це не так, що ви отримуєте салат». Переклад цього вимагає як диз'юнкції, так і заперечення. Вона стає ¬\(S\) 1 ¬\(S\) 2.
Вирок 19 також вимагає заперечення. Це можна перефразувати як: «Це не так, що або ви отримуєте суп, або що ви отримуєте салат». Нам потрібен якийсь спосіб вказати, що заперечення не просто заперечує правий або лівий диз'юнкт, а скоріше зводить нанівець всю диз'юнкцію. Для цього ми ставимо круглі дужки навколо диз'юнкції: 'Це не так (\(S1\)⠀\(S2\)) '. Це стає просто ¬ (\(S1\)₵\(S2\)). Зверніть увагу, що дужки роблять важливу роботу тут.
Речення ¬\(S\) 1₵\(S\) 2 означало б «Або у вас не буде супу, або у вас буде салат».
Речення 20 є ексклюзивним або. Ми можемо розбити пропозицію на дві частини. Перша частина говорить про те, що ви отримуєте те чи інше. Переводимо це як (\(S\)1 ₵\(S\) 2). Друга частина говорить про те, що у вас не виходить і те, і інше. Ми можемо перефразувати це як: «Це не так, що ви отримуєте суп і салат». Використовуючи як заперечення, так і кон'юнкцію, ми переводимо це як ¬ (\(S\)1 &\(S\) 2). Тепер нам просто потрібно скласти дві частини разом. Як ми бачили вище, «але» зазвичай можна перекласти як сполучник. Таким чином, речення 20 можна перекласти як (\(S\)1\(S\) ₵2) &¬ (\(S\)1 &\(S\) 2). Хоча '₵' є інклюзивним або, ми можемо символізувати ексклюзив або в SL. Нам просто потрібно більше одного сполучного з'єднання, щоб зробити це.
Умовні
Для наступних речень нехай\(R\) означають «Ви переріжете червоний дріт» і\(B\) означають «бомба вибухне».
21. Якщо перерізати червоний дріт, то бомба вибухне.
22. Бомба вибухне тільки в тому випадку, якщо перерізати червоний дріт.
Речення 21 можна частково перекласти як «Якщо\(R\), то»\(B\). Ми будемо використовувати символ '→' для представлення логічного залучення. Речення стає\(R\) →\(B\). Сполучна називається умовною. Речення з лівого боку умовного (\(R\)в даному прикладі) називається попередником. Речення з правого боку (\(B\)) називається наслідком.
Речення 22 також є умовним. Оскільки слово «if» з'являється у другій половині речення, можливо, буде спокусливо символізувати це так само, як речення 21. Це було б помилкою.
Умовний\(R\) →\(B\) говорить, що якби\(R\) були правдою, то також\(B\) було б правдою. Це не говорить про те, що ваше різання червоного дроту є єдиним способом, щоб бомба могла вибухнути. Хтось інший може перерізати дріт, або бомба може бути на таймері. Речення\(R\) → нічого\(B\) не говорить про те, чого очікувати, якщо\(R\) помилково. Речення 22 відрізняється. Він говорить, що єдині умови, за яких бомба вибухне, пов'язані з тим, що ви перерізали червоний дріт; тобто, якщо бомба вибухає, то ви повинні були перерізати дріт. Таким чином, речення 22 має бути символізовано як\(B\) →\(R\).
Важливо пам'ятати, що сполучна «→» говорить лише про те, що, якщо попередник істинний, то наслідок істинний. Це нічого не говорить про причинно-наслідковий зв'язок між двома подіями. Переклад речення 22 як\(B\) → не\(R\) означає, що вибух бомби якось спричинив би ваше різання дроту. Обидва речення 21 і 22 припускають, що якщо ви переріжете червоний дріт, ваше різання червоного дроту буде причиною вибуху бомби. Вони розрізняються логічним зв'язком. Якби речення 22 були правдою, то вибух сказав би us— ті з нас безпечно від bomb— що ви перерізали червоний дріт. Без вибуху вирок 22 нам нічого не говорить.
Перефразоване речення '\(\mathcal{A}\)тільки якщо\(\mathcal{B}\)' логічно еквівалентно 'Якщо\(\mathcal{A}\), то '\(\mathcal{B}\). |
«Якщо\(\mathcal{A}\) тоді\(\mathcal{B}\)» означає, що якщо\(\mathcal{A}\) істинно, то так і є\(\mathcal{B}\). Отже, ми знаємо, що якщо попередній\(\mathcal{A}\) істинний, але наслідком\(\mathcal{B}\) є помилковим, то умовний «Якщо\(\mathcal{A}\) тоді\(\mathcal{B}\)» є помилковим. Яка істинна цінність «Якщо\(\mathcal{A}\) тоді\(\mathcal{B}\)» за інших обставин? Припустимо, наприклад, що попередник\(\mathcal{A}\) виявився помилковим. «Якщо\(\mathcal{A}\) тоді\(\mathcal{B}\)» тоді не розповість нам нічого про фактичну істинну цінність наслідку\(\mathcal{B}\), і незрозуміло, якою була б істинна цінність «Якщо\(\mathcal{A}\) тоді\(\mathcal{B}\)».
В англійській мові правда умовних часто залежить від того, що було б, якби попередник був правдою - навіть якщо, власне, попередник є помилковим. Це створює проблему для перекладу умовних на SL. Розглядаються як пропозиції SL,\(R\) і\(B\) в наведених вище прикладах не мають нічого спільного один з одним. Для того, щоб розглянути, яким би був світ,\(R\) якби був правдою, нам потрібно було б проаналізувати те, що\(R\) говорить про світ. Оскільки\(R\) є атомним символом SL, однак, немає подальшої структури для аналізу. Коли ми замінюємо речення літерою речення, ми розглядаємо його лише як якесь атомне речення, яке може бути істинним чи хибним.
Для того щоб перевести умовні на SL, ми не будемо намагатися відобразити всі тонкощі англійської мови «Якщо... то...» Замість цього символ '→' буде матеріальним умовним. Це означає, що коли\(\mathcal{A}\) є false,\(\mathcal{B}\) умовне\(\mathcal{A}\) → автоматично істинно, незалежно від значення істинності\(\mathcal{B}\). Якщо обидва\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є істинними, то\(\mathcal{B}\) умовне\(\mathcal{A}\) → має значення true.
Коротше кажучи,\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) є помилковим, якщо і тільки якщо\(\mathcal{A}\) є true і\(\mathcal{B}\) є false. Ми можемо підсумувати це характерною таблицею істинності для умовного.
\(\mathcal{A}\) | \(\mathcal{B}\) | \(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\) |
Т | Т | Т |
Т | F | F |
F | Т | Т |
F | F | Т |
Умовна - асиметрична. Ви не можете поміняти місцями попереднє і подальше, не змінюючи значення речення, тому що\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) і\(\mathcal{B}\) →\(\mathcal{A}\) логічно не еквівалентні.
Не всі речення форми «Якщо... то...» є умовними. Розглянемо це речення:
23. Якщо хтось захоче мене бачити, то я буду на ганку.
Якщо я скажу це, це означає, що я буду на ганку, незалежно від того, чи хоче хтось бачити мене чи ні - але якщо хтось хотів бачити мене, то вони повинні шукати мене там. Якщо ми дозволимо\(P\) означати «Я буду на ганку», то речення 23 можна перекласти просто як\(P\).
Біумовні
Розглянемо ці пропозиції:
24. Фігура на дошці являє собою трикутник, тільки якщо він має рівно три сторони.
25. Фігура на дошці являє собою трикутник, якщо він має рівно три сторони.
26. Фігура на дошці являє собою трикутник тоді і тільки тоді, коли він має рівно три сторони.
Нехай\(T\) означатиме «Фігура - трикутник» і\(S\) означатиме «Фігура має три сторони».
Речення 24, з причин, розглянутих вище, можна перекласти як\(T\) →\(S\).
Речення 25 є важливим іншим. Це можна перефразувати так: «Якщо фігура має три сторони, то це трикутник». Таким чином, його можна перекласти як\(S\) →\(T\).
Речення 26 говорить, що\(T\) це правда, якщо і тільки якщо\(S\) це правда; ми можемо\(S\) зробити висновок\(T\), і ми можемо зробити висновок\(T\) з\(S\). Це називається двозастережним, оскільки воно тягне за собою два умовні\(S\) →\(T\) і\(T\) →\(S\). Ми будемо використовувати '↔' для представлення біумовного; речення 26 можна перекласти як\(S\) ↔\(T\).
Ми могли б залишитися без нового символу для біумовного. Оскільки речення 26 означає «\(T\)→\(S\) і\(S\) →»\(T\), ми можемо перекласти його як (\(T\)→\(S\)) & (\(S\)→\(T\)). Нам потрібні дужки, щоб вказати, що (\(T\)→\(S\)) і (\(S\)→\(T\)) є окремими сполучниками; вираз\(T\) →\(S\) &\(S\) →\(T\) буде неоднозначним.
Оскільки ми завжди могли писати (\(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\)) & (\(\mathcal{B}\)→\(\mathcal{A}\)) замість\(\mathcal{A}\) ↔\(\mathcal{B}\), нам не потрібно, строго кажучи, вводити новий символ для біумовного. Проте, логічні мови зазвичай мають такий символ. SL матиме такий, що полегшує переклад фраз на кшталт «якщо і тільки якщо».
\(\mathcal{A}\)↔\(\mathcal{B}\) є істинним тоді і тільки тоді,\(\mathcal{A}\) коли і\(\mathcal{B}\) мають однакове значення істини. Це характерна таблиця істинності для біумовних:
\(\mathcal{A}\) | \(\mathcal{B}\) | \(\mathcal{A}\)↔\(\mathcal{B}\) |
Т | Т | Т |
Т | F | F |
F | Т | F |
F | F | Т |