2.7: Умови

Поки що ми навчилися перекладати та будувати таблиці істинності для трьох істинно-функціональних зв'язків. Однак є ще одна істина функціональної сполучної, яку ми ще не вивчили: умовна. ² Англійська фраза, яка найчастіше використовується для вираження умовних висловлювань - «if... then». Наприклад,

Якщо йде дощ, то земля в ній мокра.

Як і сполучники і диз'юнкції, умовні зв'язують два атомні пропозиції. У вищезгаданому умовному є два атомні пропозиції:

Йде дощ.

Землю в ній мокрий.

Пропозиція, яка слідує за «якщо», називається попередником умовного, а пропозиція, яка слідує за «тоді», називається наслідком умовного. Умовний оператор вище не стверджує жодної з цих атомних пропозицій. Швидше, це говорить нам про взаємини між ними. Давайте символізуємо «йде дощ» як «R», а «земля мокра» як «G». Таким чином, наша символізація вищевказаного умовного буде такою:

Р, Т.

Символ «tLi» називається «підкова» і він являє собою те, що називається «матеріальним умовним». Матеріальний умовний визначається як істинний у кожному випадку, за винятком випадків, коли попередник є істинним, а наслідком є помилковим. Нижче наведена таблиця істинності для матеріалу умовного. Зверніть увагу, що, як тільки що було сказано, існує лише один сценарій, в якому ми вважаємо умовне брехня: коли попереднє є істинним, а наслідком помилковим.

р	q	р aLi q
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Давайте подивимося, як це відноситься до вищевказаного умовного, «якщо йде дощ, значить, земля волога». Як і раніше, ми можемо подумати про значення функціональних зв'язків істини, запитуючи, чи речення, що містять ці зв'язки, будуть істинними чи хибними у чотирьох можливих сценаріях. Перші два досить прості. Якщо я стверджую вище умовне «якщо йде дощ, то земля мокра», коли йде і дощ, і земля волога (тобто перший рядок таблиці істинності нижче), то умовний оператор буде вірним у цьому сценарії. Однак, якщо я стверджую це, і йде дощ, але земля не мокра (тобто другий рядок таблиці істини нижче), то моє твердження було показано помилковим. Чому? Тому що я стверджую, що кожного разу, коли йде дощ, земля мокра. Але якщо йде дощ, але земля не волога, то цей сценарій є контрприкладом моєї заяви - це показує, що моя заява помилкова. Тепер розглянемо сценарій, при якому не йде дощ, а земля волога. Чи покаже цей сценарій, що моє умовне твердження є помилковим? Ні, це не буде Причина в тому, що умовний оператор R tault G тільки стверджує щось про те, що є випадком, коли йде дощ. Таким чином, це умовне заяву не стверджуючи нічого про тих сценаріях, в яких не йде дощ. Я лише кажу, що коли йде дощ, земля мокра. Але це не означає, що земля не може бути вологою з інших причин (наприклад, спринклер, що поливає траву). Тож сенс матеріального умовного повинен вважати твердження істинним, коли його попередник є помилковим. Таким чином, в сценарії, при якому не йде ні дощ, ні земля мокра (тобто четвертий рядок таблиці істинності), умовне твердження все одно має бути істинним. Чи покаже факт сонячного дня та сухої землі, що умовний R, що G хибний? Звичайно, ні! Таким чином, як ми бачили, матеріальний умовний є помилковим лише тоді, коли попередник є істинним, а наслідком є помилковим.

Р	Г	Р, Т.
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Іноді корисно думати про матеріал умовний, як правило. Наприклад, припустимо, що я розповідаю своєму класу:

Якщо ви здасте всі іспити, ви пройдете курс.

Давайте символізуємо «ви здаєте всі іспити» як «Е», а «ви проходите курс» як «С». Тоді ми б символізували умовне як:

Е.

За яких умов моє твердження E | C буде показано помилковим? Можливі чотири сценарії:

Е	C	Е.
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Припустимо, що ви здаєте всі іспити і здаєте клас (перший ряд). Що б підтвердити моє умовне твердження E aC. припустимо, з іншого боку, що хоча ви здали всі іспити, ви не здали клас (другий ряд). Це було б, якщо моя заява буде помилковою (і у вас будуть законні підстави для скарги!). Як щодо того, якщо ви не здаєте всі іспити і все ж здаєте курс (третій ряд)? Моє твердження дозволяє це бути правдою, і важливо зрозуміти, чому. Коли я стверджую E, то C я нічого не стверджую про ситуацію, в
якій E є помилковим. Я просто кажу, що одним із способів проходження курсу є складання всіх іспитів; але це не означає, що немає інших способів проходження курсу. Нарешті, розглянемо випадок, коли ви не здаєте всі іспити і ви теж не здаєте курс (четвертий ряд). З тієї ж причини цей сценарій сумісний з моїм твердженням, що є правдою. Таким чином, знову ж таки, ми бачимо, що матеріальний умовний є хибним лише за однієї обставини: коли попереднє є істинним, а наслідком є помилковим.

Є й інші англійські фрази, які зазвичай використовуються для вираження умовних висловлювань. Ось кілька рівнозначних способів вираження умовного, «якщо йде дощ, то земля волога»:

Дощ йде тільки в тому випадку, якщо земля волога

Земля волога, якщо йде дощ

Тільки якщо земля волога, йде дощ.

Те, що йде дощ, означає, що земля волога.

Те, що йде дощ, тягне за собою те, що земля волога

Поки йде дощ, земля буде вологою

Поки йде дощ, земля буде вологою

Грунт вологий, за умови, що йде дощ

Всякий раз, коли йде дощ, земля волога

Якщо йде дощ, земля волога

Всі ці умовні твердження символізуються однаково, а саме R | R. Передній умовний оператор завжди закладає те, що логіки називають достатньою умовою. Достатня умова - це умова, якого вистачає для отримання якоїсь іншої умови. Сказати, що х є достатньою умовою для y - це сказати, що будь-який час x присутній, y тим самим буде присутній. Наприклад, достатньою умовою для смерті є обезголовлення; достатня умова для того, щоб бути громадянином США народжується в США. Внаслідок умовного твердження завжди закладається необхідна умова. Необхідною умовою є умова, яке повинно бути присутнім для того, щоб отримати якусь іншу умову. Сказати, що х є необхідною умовою для y - це сказати, що якби х не були присутні, у також не було б. Наприклад, необхідною умовою для того, щоб бути президентом США є громадянин США; необхідною умовою для того, щоб мати брата є братом. Зверніть увагу, однак, що бути громадянином США не є достатньою умовою для того, щоб бути президентом, і наявність брата не є достатньою умовою для того, щоб мати брата. Так само, народження в США не є необхідною умовою для того, щоб бути громадянином США (люди можуть стати «натуралізованими громадянами»), і обезголовлення не є необхідною умовою для смерті (можна померти, не будучи обезголовлені).

Вправа

Перекладіть наступні англійські речення в символічні логічні речення, використовуючи зазначені константи. Переконайтеся, що ви виписуєте, що таке атомні пропозиції. У деяких випадках це буде просто, але не в кожному випадку. Пам'ятайте: атомні пропозиції ніколи не містять жодних істинних функціональних зв'язків - і це включає заперечення! Примітка: хоча багато з цих речень можна перекласти, використовуючи лише підкову, інші вимагають істинно функціональних зв'язків, крім підкови.

1. «Тигри» виграють тільки в тому випадку, якщо індіанці втратять свого зоряного глечика. (Т, І)
2. Том пройде заняття за умови, що виконає всі домашні завдання. (П, Н)
3. Автомобіль буде працювати тільки в тому випадку, якщо в ньому є газ. (Р, Г)
4. Той факт, що ви запитуєте мене про ваш клас означає, що ви дбаєте про свій сорт. (А, С)
5. Хоча Жаба буде плавати без купального костюма, Жаба буде плавати тільки в тому випадку, якщо він одягнений в купальний костюм. (Ф, Т, Б)
6. Якщо Обама не громадянин США, то я дядько мавпи. (О, М)
7. Якщо Жаба носить купальний костюм, він не хоче, щоб Жаба бачила його в ньому. (Т, Ф)
8. Якщо Том не здасть іспит, то він або дурний, або ледачий. (П, С, Л)
9. Бекеле виграє гонку до тих пір, поки він залишається здоровим. (Ш, В)
10. Якщо Бекеле або хворий, або поранений, він не виграє гонку. (S, I, W)
11. Боб стане президентом тільки в тому випадку, якщо він проведе хорошу кампанію і не скаже нічого дурного. (П, С, С)
12. Якщо ця рослина має три листя, то вона отруйна. (Т, П)
13. Те, що рослина отруйна, означає, що у нього три листочка. (Т, П)
14. Рослина отруйна тільки в тому випадку, якщо має три листочка. (Т, П)
15. Рослина має три листочка, якщо воно отруйне. (Т, П)
16. Ольга буде плавати у відкритій воді до тих пір, поки присутня акуляча сітка. (О, Н)
17. Ольга буде плавати у відкритій воді тільки в тому випадку, якщо є акуляча сітка. (О, Н)
18. Те, що Ольга плаває, означає, що вона одягнена в купальний костюм. (О, Б)
19. Якщо Ольга в Ніцці, вона не носить купальний костюм. (Н, Б)
20. Якщо Терренс потягне за палець Філіпа, трапиться щось погане. (Т, Б)

---

² Насправді, існує ще одна істина функціональна сполучна, яку ми не будемо вивчати, і це те, що називається «біумовною» або «матеріальною еквівалентністю». Однак, оскільки біумовна еквівалентна поєднанню двох різних умовних, ми насправді не потребуємо цього. Хоча я буду обговорювати еквівалентність матеріалу в розділі 2.9, ми не будемо регулярно використовувати його.