18.2: Приклад одного виду

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2964

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Щоб побачити основну ідею, почніть з окремого виду. При змінних параметрах приріст популяції для одного виду можна записати наступним чином, зі швидкістю зростання\(r\) та терміном залежності щільності\(s\) залежно від рівня популяції\(N\) та необов'язково від часу\(t\).

\[\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,=\,r(N,t)\,+\,s(N,t)N\]

Оскільки все може бути вбудовано у термін або у відповідний\(r(N,t)\)\(s(N,t)\), рівняння є абсолютно загальним і може охоплювати будь-яку екологічну ситуацію для одного виду, змодельованого диференціальним рівнянням. Основний приклад, який ви вже бачили для зростання людської популяції, - це те, де параметри приблизно постійні протягом тривалих періодів, але змінюються при певних подіях «біфуркації». Параметри зростання людської популяції різко змінилися на початку сучасної епохи, що призвело до загальної динаміки населення, яка не була ні ортологістичною, ні логістичною, а кусковою комбінацією цих двох. У цьому випадку вони були змішані, змінюючи параметри наступним чином.

\(\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,=\begin{cases}-&0.001185\,&+\,0.00684N,\,&\text{when}\,N\leq\,3.28\,\text{billion}\\&0.03077\,&-\,0.00289N,\,&\text{when}\,N\gt\,3.28\,\text{billion}\end{cases}\)

Це призвело до кривої зростання населення на малюнку 6.3, яка добре моделювала зростання людської популяції протягом століть.

Зростання людської популяції викликало кускове змішування параметрів, оскільки параметри змінювалися досить різко від однієї постійної множини до іншої. Параметри також можна безперервно змішувати для параметрів, які змінюються поступово.

Наприклад, візьмемо ортологістичне\(1/N\,dN/dt\,=\,−2+2N\) рівняння та логістичне рівняння\(1/N\,dN/dt\,=\,4−2N\), і розглянемо,\(N\) як воно коливається від 0 до 1. Ортологістичне рівняння застосовується точно так само, як\(N\) підходи 0, а логістичне рівняння застосовується саме тоді, коли N досягає 1. Тоді нехай рівномірно\(r\) змінюються від −2 до +4 і рівномірно\(s\) змінюються від +2 до −2, як\(N\) переходить від 0 до 1, наступним чином.

\(r(N,t)\,=6N-2\\s(N,t)\,=-4N+2\)

Підключення цього до рівняння 18.1 дає

\[\begin{align}\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}&=\,(6N-2)\,+\,(-4N+2)N\\&\,=\,-2\,+\,8N\,-4N^2\\&\,=\,r\,+\,sN\,=s_2N^2\end{align}\]

Цей вид змішування між ортологістикою та логістикою просто додав ще один термін до рівняння зростання населення,\(N^2\) термін - один із термінів, запропонованих Хатчінсоном (Рівняння 4.2). Результат зображений на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Ортологістичний і логістичний equations.JPG — Малюнок\(\PageIndex{1}\). Ортологістичні та логістичні рівняння плавно змішуються.

Це плавно поєднує ортологістику, яка має точку Allee, але не вантажопідйомність, з логістикою, яка має вантажопідйомність без точки Allee, забезпечуючи обидва в змішаній кривій фігури\(\PageIndex{1}\). Крива має точку Allee приблизно\(N\,=\,0.3\) і вантажопідйомність приблизно\(N\,=\,1.7\). Порівняйте це з кусковим змішуванням, зображеним раніше на малюнку 4.4.