Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

16.8: Лотка-Вольтерра рецептура

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    2989

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівняння конкуренції зазвичай представлені в підручниках як модель конкуренції Лотки-Вольтерри. Це вперше з'явилося в екологічній літературі в 1920-х роках і визначається не лише з точки зору взаємодії між видами, але й з точки зору несучої здатності виду, наступним чином.

    Знімок екрана 2019-11-09 в 3.52.27 PM.png

    Малюнок\(\PageIndex{1}\). Випадок 1: Вид 2 виключає види 1. Випадок 2: Вид 1 виключає вид 2. Випадок 3: один виключає інший, в залежності від пускових умов. Випадок 4: обидва види співіснують.

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1(1-\frac{N_1+a_{1,2}N_2}{K_1})\]

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2(1-\frac{N_2+a_{2,1}N_1}{K_2})\]

    \(K_1\)і\(K_2\) є вантажопідйомністю для Видів 1 і 2 відповідно. Параметри\(a_{1,2}\) і\(a_{2,1}\) представляють собою перешкоди кожного виду на інший. Якщо\(a_{1,2}=2\), наприклад, кожна особина Виду 2 заважає зростанню Виду 1 так, ніби це дві особини Виду 1. Якщо, з іншого боку\(a_{1,2}=1/2\), потрібно дві особини Виду 2, щоб мати такий же негативний вплив на ріст Виду 1, як одна особина самого Виду 1.

    Щоб порівняти це з формулюванням RSN, представляємо Рівняння 16.7.1 та 16.7.2 з\(i\) та\(j\) індексами

    \(\frac{1}{N_i}\frac{dN_i}{dt}\,=\,r_i(1-\frac{N_i+a_{i,j}N_j}{K_i})\)

    і помножити праву частину через на\(r_i\),

    \(\frac{1}{N_i}\frac{dN_i}{dt}\,=\,r_i\,-\frac{r_i}{K_i}N_i\,-\frac{a_{i,j}r_i}{K_i}N_j\)

    Це показує, що рецептура Лотки-Вольтерри є ізоморфною до формулювання RSN. Усі висновки щодо розглянутих до цього часу конкурентних систем стосуються і формулювання Лотка-Вольтерри з відповідним перекладом параметрів. Параметр\(r_i\) однаковий як у формулюванні Лотки-Вольтерри, так і в формулюванні RSN, але\(s_{i,i}= −r_i/K_i\) і\(s_{i,j}=−a_{i,j}r_i/K_i\).

    Однак остерігайтеся широко цитуваного твердження, отриманого з цієї формулювання, яке з'являється у всій екологічній літературі та підручниках. Твердження на кшталт «Співіснування вимагає, щоб кожен вид пригнічував себе більше, ніж гальмує інші види», рясні в підручниках та в екологічній літературі. На жаль, ці твердження не вірні.

    коробка\(\PageIndex{2}\)

    Співіснування в моделі Лотка-Вольтерра вимагає, щоб кожен вид міг збільшуватися від низької щільності, коли інший вид знаходиться в одновидовій рівновазі.

    Щоб переконатися в цьому, вивчіть малюнок 16.21. Тут Вид 1 пригнічує себе s 11 =−1, тоді як інші види сильніше пригнічують s 12 =−1,153. Але існує глобальне співіснування. Очевидно, співіснування не вимагає, щоб кожен вид пригнічував себе більше, ніж гальмує інший, як у звичайній мудрості. Плутанина в літературі, мабуть, виникла через наявність термінів вантажопідйомності, K 1 та K 2, у формулюванні Лотка-Вольтерра. Ці терміни затьмарюють наслідки термінів взаємодії, a 1,2 і a 2,1, коли вантажопідйомність відрізняється між видами.

    Що ж таке правильне твердження про співіснування? Його можна поставити з точки зору збільшення від низької щільності, як показано в коробці\(\PageIndex{2}\). Потрібна кваліфікаційна фраза «з низької щільності», оскільки види, які не присутні, можуть збільшуватися від високої щільності в бістабільній системі, як на малюнку 16.20, і перевернути її в інший стан, хоча співіснування не може відбутися.

    Іншим способом пояснення співіснування є Vandermeer (1981 Bioscience), що з'єднує співіснування з певним видом «overyielding», де дві культури вимагають менше землі для однакової річної продуктивності при зростанні разом, ніж при зростанні один від одного.

    Знімок екрана 2019-11-09 в 3.53.43 PM.png

    Малюнок\(\PageIndex{3}\). Співіснування з точки зору свого роду overyielding (Вандермеєр 1981, Bioscience).

    Тест полягає в тому, чи знаходиться рівновага суглоба вище лінії, що з'єднує одновидові рівноваги (пунктирно-сірий\(\PageIndex{3}\) на малюнку А) або нижче лінії (рис.\(\PageIndex{3}\) B).

    Цей погляд є правильним для розглянутих нами моделей з прямолінійними ізоклінами, але некоректно для більш загальних моделей з вигнутими ізоклінами (рис.\(\PageIndex{3}\) С, D). Однак твердження в Box\(\PageIndex{2}\) справедливо в кожному з цих випадків.

    Всі розглянуті речі, замість того, щоб покладатися на емпіричні правила, краще оцінити систему безпосередньо, наприклад, за допомогою методів власних векторів та власних значень, описаних у Главі 10.