Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

16.6: Одноресурсний фазовий простір

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    2996

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Деякі аспекти конкуренції за ресурс з'ясовуються шляхом розгляду фазового простору, як це введено в главі 10. Поєднання рівнянь 16.3.1 і 16.3.2 дає наступне в якості відправної точки:

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,m_1(R_{max}\,-\,R_1^{\ast})\,-\,u_1m_1N_1\,-\,u_2m_2N_2\]

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,m_2(R_{max}\,-\,R_2^{\ast})\,-\,u_2m_2N_2\,-\,u_1m_1N_1\]

    Як і раніше,\(m_i\) це темпи зростання Види\(i\) для кожного рівня ресурсу вище його мінімальної ресурсної потреби\(R_i^{\ast}\), і\(u_i\) це обсяг ресурсу, прив'язаний до кожної особини Виду\(i\). Для довідки тут наведено присвоєння параметрів в плані\(r_i\) і\(s_{i,j}\).

    \[r_1\,=\,m_1(R_{max}\,−\,R_1^{\ast}),\,\,\,s_{1,1}\,=\,−u_1m_1,\,\,\,s_{1,2}\,=\,−u_2m_2\]

    \[r_2\,=\,m_2(R_{max}\,−\,R_2^{\ast}),\,\,\,s_{2,1}\,=\,−u_1m_1,\,\,\,s_{2,2}\,=\,−u_2m_2\]

    Де в фазовому просторі швидкість росту буде дорівнює 0 для кожного виду? Для Виду 1 це буде де

    \(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,0\,=\,r_1\,+\,s_{1,1}N_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

    Рішення для\(N_2\) дарує

    \[N_2\,=\,−\frac{r_1}{s_{1,2}}\,-\frac{s_{1,1}}{s_{1,2}}N_1\,\,\,\,\,\leftarrow\,Species\,1\,isocline\]

    Види 1 increase.JPG

    Малюнок\(\PageIndex{1}\). Вид 1 збільшується нижче свого ізокліна, затіненого сірими копіями цифри 1.

    У будь-якому місці уздовж цієї лінії популяція Виду 1 не зміниться, але по обидва боки лінії вона буде (рис.\(\PageIndex{1}\)). Формули для чотирьох можливих рівноваг та їх стійкості наведені в таблиці 10.1. Вертикальний перехоплення ізокліна, де, є\(N_1\,=\,0\)\(-r_1/s_{1,2}\), і горизонтальний перехоплення, де\(N_2\,=\,0\), є\(-r_1/s_{1,1}\). Ухил є\(-s_{1,1}/s_{1,2})\,=\,(u_1m_1)/(u_2m_2)\).

    Аналогічно, зростання Виду 2 буде 0, де

    \(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,0\,=\,r_2\,+\,s_{2,2}N_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

    Види 2 increase.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\). Вид 2 збільшується нижче свого ізокліна, затіненого сірими копіями цифри 2.

    Рішення для\(N_2\) дарує

    \[N_2\,=\,-\frac{r_2}{s_{2,2}}\,-\frac{s_{2,1}}{s_{2,2}}N_1\,\,\,\,\,\,\leftarrow\,Species\,2\,isocline\]

    Знову ж таки, в будь-якому місці уздовж цієї лінії популяція Виду 2 не зміниться, але по обидва боки лінії це буде (рис.\(\PageIndex{2}\)). Вертикальний перехоплення тієї лінії, де\(N_1\,=\,0\), є\(-r_2/s_{2,2}\), горизонтальний перехоплення, де\(N_2\,=\,0\), є -\(r_2/s_{2,1}\), а нахил є\(-s_{2,1}/s_{2,2}\,=\,(u_1m_1)/(u_2m_2)\).

    Паралельний isoclines.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\). Однотипні паралельні ізоклін. Кожен вид збільшується лише нижче відповідного ізокліна, затіненого сірим кольором з номером виду, 1 або 2.

    Зверніть увагу на це: Що стосується ресурсу, нахил ізокліна для Видів 2 ідентичний нахилу для Видів 1 - обидва рівні (\(u_1m_1)/(u_2m_2\)). Що це означає? Це означає, що дві ізокліни паралельні. А це, в свою чергу, означає, що два види не можуть постійно співіснувати.

    Популяції можуть потрапляти лише в одну з трьох областей малюнка\(\PageIndex{3}\). Якщо вони починаються у верхній області, вони зменшуються, поки не увійдуть в середню область. Якщо вони починаються в нижній області, вони збільшуються, поки також не потрапляють в середню область. Потрапивши в середній регіон, тільки вид 2 збільшується. Це означає, що популяція Виду 1 рухається вліво, до нижчих значень\(N_1\), тоді як популяція видів 2 рухається вгору, до більш високих значень\(N_2\).

    потік через фазу space.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\). Потік через фазовий простір, як пояснюється в главі 10, сходиться на стабільній рівновазі, де Вид 2 виключає види 1. \((r_1\,=\,0.75,\,r_2\,=\,0.52,\,s_{12}\,=\,−1.875,\,s_{21}\,=\,−0.533,\,s_{11}=s_{22}=−1)\).

    Ці динаміки відображаються на діаграмі потоку Рисунок\(\PageIndex{4}\). Походження (0,0) - нестійка рівновага. У цій одноресурсній системі будь-які популяції, близькі до вимирання, але не повністю вимерлі, збільшуються до тих пір, поки не потрапили в середній регіон. Горизонтальна вісь має ще одну нестабільну рівновагу, де Вид 1 знаходиться на своїй вантажопідйомності, а Види 2 вимерли (\((−r_1/s_{1,1},\)0). Будь-які популяції поблизу цієї нестабільної рівноваги незабаром прибувають у середній регіон. Всі популяції не точно на одному з цих двох нестабільних рівноваг сходяться на червоному диску на вертикальній осі, де Вид 2 має свою несучу здатність\(K_2\,=\,−r_2/s_{2,2}\), а Вид 1 вимерлий (0,\(−r_2/s_{2,2}\)). Ця рівновага називається «глобальним атрактором».

    Таким чином, фазові простори дають інший погляд на конкурентне виключення, теорія якого застосовується принаймні до двох видів, що конкурують за один ресурс в рівновазі.