15.8: Застосування до фактичного спалаху

Зловісний спалах Еболи в Західній Африці став широко відомий в 2014 році, при цьому рівень смертності неодноразово збільшувався і подвоювався. До осені того ж року випадки почали з'являтися на інших континентах.

Ебола, мабуть, потрапляє в людські популяції від диких тварин, таких як кажани, у яких вона не особливо вірулентна. Однак він не пристосувався до людського організму. Це стає такою страшною хворобою у людей, оскільки вона експлуатує майже всі портали виходу організму - не просто знаходячи обмежені проходи через них, але повністю знищуючи їх. Деякі захворювання можуть викликати блювоту або діарею, наприклад, як засіб для виходу збудника з аліментарного каналу, але при Еболі руйнуються цілі тканинні системи і шматки кишечника супроводжують вихід.

На момент спалаху двоє з нас (CL, SW) спільно викладали курси в Сполучених Штатах з кількісної екології та екології хвороб, використовуючи інструменти, проілюстровані до цього часу в цій книзі. У країні панував рівень страху, оскільки хвороба щойно дійшла до США, з кількома смертями в лікарнях США. Разом з нашими студентами ми вирішили зробити Еболу тематичним дослідженням для застосування рівнянь захворювання, застосовуючи принципи тиждень за тижнем у міру просування спалаху. Сотні тисяч смертей були передбачені організаціями охорони здоров'я. У цьому розділі описано, що ми зробили і що відкрили.

Дані в режимі реального часу. Дані Всесвітньої організації охорони здоров'я (ВООЗ) та інших офіційних джерел були зібрані на веб-сайті про Еболу в Західній Африці, і ви можете вибрати там дату, щоб точно побачити, які дані були доступні, коли ми почали відстежувати спалах або в будь-який наступний час. На сайті вказано як кількість осіб, заражених Еболою, так і кількість померлих, але в перші дні спалаху ми здогадалися, що кількість смертей буде більш надійною. Більше того, світ приділяв найбільшу увагу смертності, тому ми висунули гіпотезу, що ці цифри найбільше вплинуть на соціальні зусилля по боротьбі з хворобою.

Малюнок\(\PageIndex{1}\). Смерть від Еболи, зареєстрована в той час, коли Ебола почала з'являтися за межами Африки.

Таким чином, ми почали із загальної кількості смертей, будуючи їх, як на малюнку\(\PageIndex{1}\). Кількість смертей не тільки збільшувалася, але і прискорювалася, здавалося б, на експоненціальному курсі. Розрахований час подвоєння становив 31,5 дня, не зовсім те, що Американські Центри з контролю захворювань (CDC) виявили раніше, але в розумній відповідності. За оцінками, 15-20 днів подвоїться в одній країні і 30-40 в іншій (Meltzer et al., 2014).

Малюнок\(\PageIndex{2}\). Смерть від Еболи збільшилася відповідно до подвоєння разів, що спостерігалися на початку спалаху.

Розрахунок з цих разів подвоєння та продовження ще на кілька місяців призводить до кількості смертей, показаних на малюнку\(\PageIndex{2}\). До п'яти місяців з оцінками, які ми зробили під час занять (синя крива на малюнку) і до трьох місяців з більш ранніми оцінками (червона крива), кількість смертей прогнозувалося перевищити 100 000.

Але є і недолік в такому підході. Як показали розрахунки бактерій та розрахунки Дарвіна на слонів (глава 3), експоненціальні моделі росту не можуть бути розширені дуже далеко. Вони можуть бути досить точними обмежена кількість одиниць часу в майбутньому. Але при застосуванні до біологічних популяцій як експоненціальні, так і ортологістичні моделі неминуче виходять з ладу при розширенні невизначений час Насправді, одна думка полягає в тому, що вони насправді не виходять з ладу - вони просто попереджають, що якась інша модель зростання витіснить їх до того, як популяції стануть занадто великими.

Таблиця\(\PageIndex{1}\). Наслідки необмеженого подвоєння смертей від Еболи.

Дні	Років	Загальна кількість смертей
0	0.00	892
100	0,27	8 412
200	0,55	79 335
300	0.82	74 8267
400	1.10	7 057 440
500	1.37	66 563 800
600	1.64	627 811 000
700	1,92	5 921 330 000
710	1.94	7 411 030 000

Насправді, припускаючи, що нестримні подвоєння експоненціального зростання рівносильно припускають, що хвороба вб'є весь світ, з єдиним питанням, коли. Таблиця\(\PageIndex{1}\) показує результати подвоєння за ставкою, проілюстрованою синьою кривою на малюнку\(\PageIndex{2}\), розширеної далі. Такими темпами все людське населення буде погашено менш ніж за два роки!

Очікувана модерація. Звичайно, вся людська популяція не буде погашена керованою хворобою. Драконівські заходи будуть введені задовго до - ізоляції заражених, закриття кордонів тощо. Фактично, темпи зростання\(r\) будуть стримуватися сильним негативним соціальним тиском, терміном\(s\).

Коли такий негативний тиск з'явиться в даних? Чи можна було це побачити на початку спалаху Еболи, коли ми з студентами почали спостерігати? Оскільки основне рівняння захворювання еквівалентно\(rsN\) моделі, ми думали, що ранні тенденції можуть з'явитися, якщо ми вивчимо дані з точки зору\(r\) і\(s\). Індивідуальний рівень зростання смертності\((1/N)dN/dt\), може бути вивчений і намічений на основі загальної кількості смертей,\(N\). Це Фігура\(\PageIndex{3}\), з тими ж даними, що і Рисунок\(\PageIndex{1}\), тільки що переформульована.

Малюнок\(\PageIndex{3}\). Дані малюнка\(\PageIndex{1}\) перетворюються на індивідуальну зміну смертності в залежності від кількості смертей.

Дані показують досить багато шуму, але з чіткою тенденцією до зниження, при цьому рівень загальної кількості нових смертей зменшується у міру збільшення смертності. Як верхній, так і нижній діапазони точок зменшуються (сірі лінії). Зелена лінія через середні (найменш квадратна лінія регресії, суцільна, з\(r\) і\(s\) як показано на малюнку) проектує вперед (пунктирну) до приблизно 12,000 смертей до того, як спалах закінчиться - велика людська трагедія, але набагато нижче прямих прогнозів малюнка\(\PageIndex{2}\).

Якщо це зниження рівня смертності було реальним, воно, ймовірно, розвивалося від все більшої уваги до стримування захворювання - медичні працівники розширюють лікарні, населення, які практикують більш ретельні поховання, уряди попереджали лише виправдані подорожі тощо. Коли ми зробили прогноз на 12 000 восени 2014 року, ми не мали впевненості в тому, що станеться; ми просто дивилися на дані, які показали не нестримне експоненціальне зростання, а помірне зростання натомість.

Наступним кроком було підключити\(r\) і\(s\) вивести з підігнаної кривої і проеціювати вперед шість місяців або рік. Ця проекція показана на малюнку\(\PageIndex{4}\). Зелена крива - це проекція від\(r\,=\,0.028\) і\(s\,=\,−0.0024\). Він помітно відрізняється від двох інших кривих, вирівнюючи рано і досягаючи близько 12 000 смертей. Також на малюнку є три додаткові точки фактичних даних, жовтого кольору, недостатньо просунуті, щоб сказати, яка з трьох кривих - червона, зелена або синя - буде реальною.

Малюнок\(\PageIndex{4}\). Смерть від Еболи, прогнозована рівнянням 5.2 з використанням параметрів рис\(\PageIndex{3}\).

Однак лише через кілька тижнів стало очевидним, що\(r+sN\) крива була найбільш точною. До кінця зимового семестру (приблизно 140 день на графіках) було зрозуміло, що спалах переходить під контроль, і що кількість смертей була досить близькою до нашого початкового прогнозу. Відстежуючи спалах з нашими студентами протягом зимового та весняного семестрів, ми могли побачити, наскільки чудовою була ця рання проекція (Рисунок\(\PageIndex{5}\)). Ретельне читання даних на початку кризи дало точний прогноз результату, з простої моделі справді!

Подвоєння разів. Цей приклад дає нам гарне місце для перегляду подвоєння разів, введеного з експоненціальним зростанням. Нагадаємо, що експоненціальне зростання є нескінченно тонкою розділовою лінією між логістичним і ортологістичним зростанням і має властивість фіксованого «часу подвоєння». Іншими словами, існує певний часовий інтервал - називайте його tau (\(\tau\)) —протягом якого населення точно подвоюється. У логістичному зростанні час подвоєння постійно зменшується, а при ортологістичному зростанні постійно збільшується. Раніше час подвоєння показаний як натуральний логарифм 2, поділений на r—\((ln2)/r\), або приблизно\(0.693/r\). Це в роках, якщо\(r\) вимірюється на рік, днів, якщо в день, і так далі.

Таким чином, час подвоєння для експоненціальної кривої фігури\(\PageIndex{1}\), з\(r\,=\,0.022\), становить\(0.693/0.022\,=\,31.5\) дні. Логістичне зростання Figure не\(\PageIndex{3}\) має фіксованого часу подвоєння. Однак у всі часи буде «миттєве подвоєння часу», яке буде триматися приблизно недовго. Зокрема, біля самого початку спалаху — коли\(N\) близький до 0 — темп зростання є\(r+sN\,=\,r+s\,\cdot\,0\,=\,r\). Для даних про Еболу на початку спалаху ми виявили\(r\,=\,0.028\) і\(s\,=\,0.0024\). Час подвоєння Еболи, усереднений по країнах, в яких вона поширилася, тому почалася\(0.693/r\,=\,0.693/0.028\,=\,25\) днями. Це узгоджується з ранніми оцінками, зробленими організаціями охорони здоров'я.

Коли ми почали після спалаху, сталося близько 4,5 тисяч смертей, що означає, що темпи зростання були\(r+sN\,=\,0.028−0.0024\,\cdot\,4.5\,=\,0.0172\), а час подвоєння становив\(0.693/0.0172\,=\,40\) дні.

Час подвоєння продовжував зменшуватися, поки спалах не був завойований і всі випадки смерті від Еболи не припинилися.

Малюнок\(\PageIndex{5}\). Фактичний розвиток спалаху (жовті точки), що падають по проекції з жовтня 2014 року (зелена крива).

Застереження та міркування. Була певна випадковість у часі нашої початкової проекції. Незабаром після того, як ми почали смертність знизилася, можливо, від збільшення зусиль після інтенсивної уваги у всьому світі. Якби ми зробили проекцію через кілька тижнів, ми побачили б два схили і повинні були б здогадатися, які б переважали. Виходить, що перший схил переважав, повернувшись приблизно через 40 днів після нашої початкової проекції. Але у нас не було можливості дізнатися про це за даними на той час.

Наш підхід також можна критикувати, оскільки\(r+sN\) рівняння, яке ми використовували, є гібридом - єдиним рівнянням, яке намагається представити дві різні речі, в даному випадку інфекції та смерть. Тут розумно базувати параметр покращення s на загальній кількості смертей, оскільки смерть була параметром світового занепокоєння. Смерть впливає на соціальну увагу до хвороби та зусилля щодо її боротьби. Однак який сенс говорити про те, що смертність зростає темпами\(r\), виходячи із загальної кількості смертей на сьогоднішній день? Ебола може передаватися іншим незабаром після смерті, але загалом смерть не спричиняє нових смертей. Інфекції викликають нові інфекції, які, в свою чергу, спричиняють нові випадки смерті. Якщо\(N\) являє собою загальну смертність, здається, рівняння також повинні\(I\) представляти інфекції, і деяка частка інфекцій повинна призвести до смертей - як у цій двовимірній системі рівнянь.

\[\frac{dI}{dt}\,=\,\beta\,I\,-\,\gamma\,I\,-\,\alpha\,I\,-\,sNI\]

\[\frac{dN}{dt}\,=\,\alpha\,I\]

Два виміри - це\(I\) кількість існуючих інфекцій та\(N\) сукупна кількість смертей. Інфекційність - це\(\beta\), швидкість одужання від інфекції є\(\gamma\), а швидкість смерті від хвороби -\(\alpha\). Вони відповідають позначенням на малюнку 15.2.1. Крім того, цей\(sN\) термін стримує зростання інфекції, представляючи всі застереження та інфраструктуру, створені проти захворювання, оскільки кількість смертей збільшується.

Жоден фактор\(1−v−p\), подібний до того, що представляє частку сприйнятливих осіб, не потрібен для множення\(\beta\) терміну тут, оскільки як на ранній стадії, так і на спалаху поширеність була низькою, і вакцини не було, тому майже всі були сприйнятливі. І при цьому швидко прогресуючому захворюванні населення залишалося майже постійним, тому пологи можна було вважати мізерно малими. Таким чином, рівняння все ще є спрощеним рівнянням.

Однак, як це спрощено, Рівняння несе більше параметрів, ніж може сприйматися в необроблених даних. Смертність від захворювання\(\alpha\), рівень одужання\(\gamma\), інфекційність\(\beta\) і навіть кількість\(I\) інфекцій можуть бути виявлені тільки за допомогою використання спеціальних дослідницьких програм. Але навіть на початку спалаху, і навіть для погано вивченого захворювання, може бути достатньо даних, щоб визначити час подвоєння смертей від хвороби, і як змінюється час подвоєння - достатньо даних, щоб визначити\(r\) і\(s\), навіть якщо трохи більше.

Це пощастило, тому що рівняння можна зменшити в розмірності і наблизити\(r+sN\) формою. Без терміну\(sNI\) меліорації два виміри є незалежними і зростання кожного є\(N\) експоненціальним, з інтегралом\(I\). Оскільки інтеграл експоненціальної все ще експоненціальний, два можуть бути наближені одним рівнянням однієї меншої розмірності, з\(sNI\) відновленим терміном меліорації. Таким чином, загальна смертність стає законним сурогатом для інфекцій у спалахах низької поширеності, як у нинішньому прикладі Ебола.

І як ми зазначили, це дало точну проекцію на перебіг страшної хвороби, з дуже простої моделі дійсно!