15.7:15.7 Знову модель rSn

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2884

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Повернемося до коротших часових рамок без еволюції. Зверніть увагу, що поширеність\(p\) змінюється з часом, коли епідемія поширюється\(\beta\), але\(\alpha\), і\(v\) залишається постійною. Отже, починаючи з

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

перестановка термінів,

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=(\beta(1-v)-\alpha)-\beta\,p\]

і замінюючи\(r\,=\,\beta(1\,-\,v)\,−\,\alpha,\,s\,=\,−\beta\,,\,and\,N\,=\,p\),

\[\frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt}\,=\,r\,+\,sN\]

Вуаля, епідеміологічна модель I виявляється лише стандартною моделлю екології в іншій маскуванні! Але зараз з включеними механізмами (інфекційність, вірулентність, вакцинація) можна зробити більш глибокі висновки.

Наприклад, при отриманні цієї стандартної моделі ми встановлюємо s рівним −\(\beta\). Оскільки\(\beta\) позитивний, термін залежності щільності\(s\) негативний, негативний\(s\) передбачає логістичне зростання (позитивне\(s\) - ортологістичне), тобто\(N\) досягне вантажопідйомності - рівноваги, стійкого стану. Але щоб прийти до стандартної моделі, ми встановимо\(N\) рівну\(p\), так як\(N\) досягає рівноваги в стандартній моделі,\(p\) то поширеність досягне рівноваги в\(I\) моделі.

Таким чином, без подальшого аналізу ви можете зробити висновок, що хвороба не обов'язково заразить цілу популяцію, але що її поширеність вирівняється, коли вона досягне пропускної здатності, в еквіваленті -\(r/s\). Підставте назад,\((r\,=\,\beta\,(1\,−\,v)\,−\,\alpha\,and\,s\,=\,−\beta\,)\) і ви знайдете несучу здатність захворювання:

\[\hat{p} = 1 − \frac{α}{b} − v \]

Маленький капелюх на вершині\(p\) - це лише нагадування про те, що це не змінна поширеність\(p\), а скоріше фіксована величина рівноважної поширеності\(\hat{p}\).

Подумайте про підхід в 15.6, який використовував\(R_0\). Ось ще один спосіб отримати результат. Оскільки\(v\), частка населення, вакцинованого, фігурує в рівнянні зі знаком мінус, це означає, що чим більше частка вакцинованих, тим нижче рівноважна поширеність\(\hat{p}\). Фактично, встановлення\(\hat{p}\,=\,0\) та вирішення для того\(v\), коли\(v\,=\,1\,−\,\alpha\,/\beta\), поширеність\(p\) буде нульовою і хвороба буде викорінена. (Власне, для похибки, коли\(v\,\ge\,1\,−\,\alpha\,/\beta\).