15.6: Аналіз моделі I

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2890

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\(v\)Оскільки поширеність вакцинації серед населення, що покаже модель I про вакцинацію? У неінфікованої популяції поширеність інфекції буде нульовою\((p\,=\,0)\), тому кількість нових інфекцій, що виробляються на інфіковану особу за одиницю часу, буде\(\beta\,(1\,−\,v)\).

В середньому фракція\(\alpha\) загине за одиницю часу, тому середня тривалість зараження складе 1/\(\alpha\), припускаючи повну випадковість. Якщо 1/10 помирає на рік, наприклад, середня тривалість зараження складе 10 років.

Це робить\(R_0\,(v)\,=\,\beta\,(1\,−\,v)\,\times\,(1/\alpha)\,=\,(\beta/\alpha)\,(1\,−\,v)\). І хвороба знизиться до вимирання, якщо\(R_0\,(v)\,\lt\,1\) —тобто якщо\(R_0\,(v)\,=\,(\beta/\alpha)\,(1\,−\,v)\,\lt\,1\), що ви можете виробити алгебраїчно за кілька кроків до\(v\,\gt\,1\,−\,\alpha/\beta\).

Подивіться, що це означає. Хвороба, яка заражає 4 особи на рік у абсолютно незараженій популяції\(\beta\,=\,4), and which remains infectious for one year \(1/\alpha\,=\,1), will decline to extinction if \(v\,\gt\,1\,−\,1/4\,=\,3/4\). Якщо вакциновано лише трохи більше 3/4 населення, ця хвороба з часом зникне. Примітно, що хвороба може бути викорінена, навіть якщо все населення не може бути щеплено! Багато в чому завдяки цьому суспільство може розробляти програми, що прагнуть до завоювання хвороб.

Що показує\(I\) модель про еволюцію інфекційного захворювання? Збудник має набагато більше поколінь і тому може розвиватися біологічно швидше, ніж господар,\(\alpha\) і\(\beta\) може розвиватися на користь збудника.

Оскільки\(\beta\) входить у рівняння зі знаком плюс і\(\alpha\) входить зі знаком мінус, хвороба буде поширюватися швидше -\((1/p)\,(dp/dt)\) буде більшою - якщо\(\beta\) збільшиться і\(alpha\) зменшиться.

Це означає, що, якщо дозволяє генетика, успішне захворювання, що діє за цією або будь-якою подібною моделлю, з часом буде, як правило, ставати більш інфекційним (вищим\(\beta\)) і менш вірулентним (нижчим\(alpha\)). На межі, майже всі будуть заражені, але вплив на когось буде мінімальним. ^{Прикладами є поліомієліт у людей до 20 століття, а СИВ у мавп.}

У кінцевій межі хвороба може перетворитися на негативну вірулентність - тобто бути взаємністю з господарем. Прикладом можуть бути ризобіальні бактерії в бобових.

Як завжди, є уточнення цієї ідеї, частково тому, що інфекційність та вірулентність не є незалежними. Хвороби, які розвиваються, щоб бути більш інфекційними, можливо, доведеться використовувати більше обмінних ресурсів своїх жертв, і, отже, можуть стати більш вірулентними в процесі. Знову ж таки, до таких доопрацювань можна звернутися і в більш конкретних моделям.