15.5: Рівняння I

Спростимо модель СІ далі до моделі «Я», найосновнішої епідеміологічної формулювання. Це можна зробити, враховуючи постійне населення, при цьому народження завжди збігаються зі смертю. Для цього термін народження\(b(S +I)\), може бути зроблений рівним терміну смерті\(\delta\,(S + I)\), даючи

\[ \begin{align*} \frac{dS}{dt}\, &=\delta\,(S+I)\,-\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\delta\,S \\[4pt] \frac{dI}{dt}\, &=\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\alpha\,I \end{align*}\]

Однак, оскільки загальна чисельність населення - називайте її\(N\) - постійна,\(S\) вона взагалі не потрібна в рівняннях. Вона завжди дорівнює загальній чисельності населення\(N\) мінус кількість заражених:\(S\,=\,N\,−\,I\). Можна забути про\(S\) рівняння і підставити\(S\,=\,N\,−\,I\) в\(I\) рівняння. Це дає

\[ \begin{align} \frac{dI}{dt} &=\beta\,I\frac{N-1}{(N-1)+I}\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{dI}{dt} &=\beta\,I\frac{N-I}{N}\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{dI}{dt} &=\beta\,I(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{1}{I}\frac{dI}{dt} &=\beta\,(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha \end{align}\]

Це початок I моделі. Потрібно трохи більше попрацювати, перш ніж приступити до її аналізу, але спочатку якась додаткова термінологія:

• Інфекція: Термін, що застосовується, як тільки збудник захопився у господаря.
• Хвороба: Термін, який часто застосовується, коли інфекція починає виробляти симптоми у господаря.
• Захворюваність: Кількість нових інфекцій або випадків захворювання, що з'являються у популяції за одиницю часу. Часто виражається як частка від загальної чисельності населення.
• Поширеність: Загальна кількість інфекцій або випадків захворювання, що існують у популяції. Часто виражається як частка від загальної чисельності населення.

Маючи на увазі цю термінологію, давайте поставимо модель I у форму поширеності, як частку всього населення. В даному випадку поширеність становить якраз р = I/N. Почніть там, де ми зупинилися, з

\[\frac{1}{I}\frac{dI}{dt}\,=\beta\,(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\]

множити наскрізь на\(I\),

\[\frac{dI}{dt}\,=\beta\,I(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\,I\]

розділити наскрізь на\(N\),

\[\frac{d \frac{I}{N}}{dt} = \beta I(1-\frac{I}{N}) -\alpha I\]

замінник поширеності

\[\frac{dp}{dt}\,=\beta\,p(1-p)\,-\alpha\,p\]

і, нарешті, розділити через\(p\),

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta\,p(1-p)\,-\alpha\]

Тепер подумайте над\((1−p)\) терміном. Цей «один мінус поширеності» представляє ту частку населення, яка сприйнятлива до захворювання. Але деяка частина населення може мати природний імунітет до захворювання, а інша, можливо, була успішно вакцинована проти хвороби. Назвемо цей дріб v і віднімемо його теж з тієї фракції, яка сприйнятлива, нарешті даючи

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

Ух, це остаточна модель I - відправне місце для аналізу!

У наступному розділі ви побачите, що Equation\ ref {15.5.12} ідентично моделі руйнування середовища проживання, в якій рослини ізоморфні до «інфекцій» ландшафту, і що руйнування середовища проживання, яке «захищає» ландшафт від зараження рослинами, є ізоморфним до вакцинації.

Ось рівняння з терміновими поясненнями:

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

\(\frac{dp}{dt}\Rightarrow\,\,\)Відносне зростання поширеності в умовах, що переважають у часі\(t\)

\(\beta\Rightarrow\,\,\)Кількість нових інфекцій, викликаних кожною інфікованою особою в кожній одиниці часу в повністю незараженій популяції.

\(v\Rightarrow\,\,\)Імовірність зіткнення з особою, яка не може бути заражена.

\(p\Rightarrow\,\,\)Імовірність зіткнення з інфікованою особиною.

\(\alpha\Rightarrow\,\,\)Частка заражених особин втрачається за одиницю часу.

Майте на увазі, що це наближення постійної популяції. Всякий раз, коли людина помирає від захворювання, в популяції потрапляє нова сприйнятлива особина.