15.2: Блок-схема SIR

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2896

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Стандартною відправною точкою для вивчення теорії захворювання є «модель SIR» (рис.\(\PageIndex{1}\)). У цій моделі особини народжуються «сприйнятливими», в поле,\(S\) зазначеному зліва. Вони можуть залишатися там все життя, залишаючи коробку лише після своєї кінцевої смерті - позначеної червоною стрілкою, спрямованою вниз від коробки. Мітка\(\delta\,s\) на цій стрілці представляє швидкість потоку з коробки - швидкість смерті людей, які ніколи не хворіли на хворобу. Модель передбачає смертність на душу населення на\(\delta\) людину на одиницю часу. Якщо\(\delta\) = 1/50, то щорічно буде вмирати одна п'ятдесята частина населення. Помножуючись на кількість особин в коробці\(S\), дає потік з коробки,\(\delta\,S\) особин на рік.

Єдиний інший вихід з\(S\) коробки - уздовж червоної стрілки, що вказує вправо, вказуючи сприйнятливих осіб, які заражаються і рухаються з лівого ящика в середню коробку. (Синя стрілка, спрямована вгору, вказує на нових особин, створених народженнями, а не існуючих особин, що рухаються в іншу коробку.) Ця швидкість потоку праворуч є більш складною, залежно не тільки від кількості сприйнятливих осіб у лівій коробці, але і від кількості заражених осіб\(I\) у середній коробці. На етикетці на стрілці праворуч з\(S\) коробки вказано коефіцієнт зараженості, кількість сприйнятливих особин\(\beta\), перетворених кожною інфікованою особою за одиницю часу, якщо всі особини у всій популяції сприйнятливі. Це множиться на кількість особин, які можуть зробити зараження\(I\), потім на ймовірність того, що «поширення інфекції» досягне і заразить того, хто сприйнятливий,\(S\,/\,(S\,+\,I\,+\,R)\). Це якраз відношення числа в\(S\) коробці до кількості у всіх коробках разом узятих, а по суті «знижки» максимальна ставка\(\beta\). Весь термін вказує кількість осіб за одиницю часу, залишаючи\(S\) поле зліва і\(I\) вводячи поле посередині.

Всі інші потоки на малюнку\(\PageIndex{1}\) аналогічні. Вірулентність, яку символізує,\(\alpha\) - це швидкість смерті від інфікованих осіб - тих, хто знаходиться в\(I\) коробці. Це призводить до\(\alpha\,I\) смертей на рік серед заражених осіб, переходячи з синього\(I\) ящика на сіру скриньку під нею. Зверніть увагу, що якщо заражені особи також можуть померти від інших причин, фактична вірулентність може бути більш схожою\(\alpha\,-\delta\), хоча ситуація ускладнюється деталями захворювання. Наприклад, якщо хвороба робить своїх жертв прикутими до ліжка, рівень їх смертності від інших причин, таких як нещасні випадки, наприклад, потрапляння поїзда, може бути знижена. Такі уточнення можуть бути розглянуті в докладних моделями конкретних захворювань, але краще не розглядати у вступній моделі, як ця.

Інший вихід з синього\(I\) ящика в середині малюнка\(PageIndex{1}\) - відновлення, уздовж червоної стрілки, що веде до синього\(R\) ящика праворуч. У цій вступній моделі одужали особи постійно несприйнятливі до захворювання, тому єдиний вихід із\(R\) коробки - смерть - вниз червона стрілка - з\(\delta\,R\) відновленими особами, які помирають на рік. Зверніть увагу, що відновлені особи, як вважають, повністю одужали і не страждають більшою смертністю, ніж сприйнятливі особи в\(S\) коробці (обидва мають однаковий рівень смертності)\(\delta\). Знову ж таки, уточнення цього припущення можуть бути розглянуті в більш детальних моделями конкретних захворювань. Сині стрілки представляють потомство, народжене і вижило, а не особин, які залишають один ящик за іншим. У цій вступній моделі всі люди мають однаковий рівень народжуваності b, так що зараження або одужання не впливає на рівень. Таким чином, загальна кількість народжених і вижилих потомства є\(b\,(S\,+\,I\,+\,R)\). Це завершальна червона стрілка на малюнку\(\PageIndex{1}\), що поміщає новонароджених відразу в коробку сприйнятливих особин.