13.2: Свідомо контрольоване хижацтво

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2927

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо хижацтво людьми, яке не піддається циклічній динаміці природних взаємодій хижак-здобич, але натомість свідомо контролюється, щоб забезпечити стабільну, надійну віддачу - наприклад, від світового рибальства. Як робиться така спроба?

Нагадаємо логістичне зростання населення, де екологічний термін\(s\) негативний. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показані індивідуальні темпи зростання на вертикальній осі і щільність населення на горизонтальній осі, як ви бачили раніше. Індивідуальний ріст означає те саме, що і зростання на душу населення, або відносне зростання, або процентне зростання, якщо помножити на 100. Намір полягає в тому, щоб застосувати це до логістично зростаючих популяцій видобутку.

13 111.jpg — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Логістичний приріст населення, індивідуальний темп.

Однак саме темпи зростання всього населення представляють інтерес для контрольованого хижацтва, а не темпів зростання на душу населення - оскільки це частка всього населення, яка повинна бути прийнята. Таким чином, вертикальна вісь повинна показувати,\(dN/dt\) а не\(1/N\,dN/dt\). Почніть з індивідуального темпу зростання, який досягає свого максимуму при\(r\)\(N\) наближенні до 0. Тут популяція виробляє дуже мало особин, тому що сама популяція практично відсутня.

\[\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,=\,r\,+\,sN\]

Мета полягає в тому, щоб максимізувати темпи приросту популяції, щоб можна було взяти найбільшу кількість здобичі. Щоб знайти це число, помножте обидві сторони рівняння вище на кількість особин\(N\), щоб отримати швидкість зростання всього населення - іншими словами, щоб визначити, скільки особин додається до популяції за одиницю часу. Результат -

\[\frac{dN}{dt}\,=\,rN\,+\,sN^2\]

Зростання всієї популяції\(dN/dt\), має форму перевернутої параболи, показаної на малюнку\(\PageIndex{2}\), оскільки\(s\) є негативним. Зростання населення найнижчий, коли населення дуже мало, близько 0, або коли воно високе, поблизу його вантажопідйомності,\(−r/s\). Він досягає максимальної швидкості зростання посередині, на половині вантажопідйомності,\((−r/s)\,/\,2\). Так що якщо населення буде утримуватися на половині своєї вантажопідйомності, воно буде рости швидше і найбільшу кількість можна буде «збирати» щороку.

13 2 .jpg — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Логістичне зростання населення, темп населення.

Що це за максимальна ставка? Щоб його знайти, підставляємо половину вантажопідйомності\(−r/(2s)\), бо\(N\) в рівнянні вище, даючи

\[ \begin{align*} \frac{dN}{dt}\Biggr\vert_{max} &= r\left(-\frac{r}{2s}\right)\,+\,s\left(-\frac{r}{2s}\right)^2 \\[4pt] &= -\frac{r^2}{2s}\,+\,s\frac{r^2}{4s^2} \\[4pt] &=\,-\frac{r^2}{4s} \end{align*}\]

Таким чином, в цій теорії популяція зростає найстрімкішими темпами\(−r^2/(4s)\), виробляючи найбільшу кількість нових особин, якщо зменшити до половини своєї пропускної здатності. Це було названо «максимальною стійкою врожайністю».

13 222.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\) *Риболовля тоді і зараз.*

13 333.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\) *Риболовля тоді і зараз.*

Введемо інтенсивність збирання врожаю,\(H\). Коли\(H\) дорівнює нулю, то немає жнив, а коли\(H\) 1, збір врожаю здійснюється на максимально стійкому темпі. У проміжках вона пропорційна.

\[\frac{dN}{dt}\,=\,(rN\,+\,sN^2)\,+\,H\frac{r^2}{4s}\]

\(\frac{dN}{dt}\,\Rightarrow\)Чистий темп приросту населення: кількість особин на одиницю часу з урахуванням народжень, смертей та полювання

\((rN\,+\,sN^2)\,\Rightarrow\)Норма додавання: кількість особин, народжених за одиницю часу мінус тих, хто помирає від інших причин, крім полювання

\(H\frac{r^2}{4s}\,\Rightarrow\)Швидкість вивезення: кількість особин, спійманих за одиницю часу

Якщо переважають окремі рибалки (рис.\(\PageIndex{3}\), зліва),\(H\) буде мало. Це тягне криву вниз, як на малюнку\(\PageIndex{4}\), трохи знижуючи вантажопідйомність і залишаючи трохи менше риби в морі. Він також вводить точку Allee, хоча ця точка набагато нижче рівноваги і, отже, не становить значної небезпеки.

Але при все більш цілеспрямованої і механізованої риболовлі (рис.\(\PageIndex{3}\), праворуч) Н наближається до 1 і крива тягнеться далі вниз (рис.\(\PageIndex{5}\)). Пропускна здатність помітно знижується і популяція виробляє нових особин великими темпами. А точка Аллі підтягується впритул до вантажопідйомності, представляючи небезпеку, що непередбачені коливання чисельності населення можуть підштовхнути населення нижче точки Аллі і зруйнувати промисел.

Нарешті, при полюванні або риболовлі при максимальному стійкому врожайності точка Аллі збігається з вантажопідйомністю і фактично знищує її (рис.\(\PageIndex{6}\)). Це вводить динамічний конфлікт, оскільки праворуч є стабільна ситуація, але нестабільна ліворуч, що робить неминучим, що населення опуститься нижче точки Аллі та впаде. Максимальна врожайність не є стійкою!