Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.4: Фазовий простір

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    2941

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Циклічність можна зрозуміти краще у фазовому просторі, де щільності двох видів представлені у вигляді двовимірних точок.

    ПП фаза Space.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\). Хижак — видобуток фазового простору. Коло позначає рівновагу, де зупиняється зростання як хижака, так і видобутку. Знак плюса позначає значення популяції N 1 = 1,5, N 2 = 0,5.

    Наприклад, як пояснено в главі 10, якщо популяція здобичі становить 1,5, а популяція хижака - 0,5, популяція складе 1,5 одиниці праворуч на горизонтальній осі і 0,5 одиниці вгору по вертикальній осі, при розташуванні синього знака плюс на графіку.

    Де перестає рости популяція хижака? У рівнянні

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\]

    вона перестає рости де\(0\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\), або\(N_1\,=\frac{-r_2}{s_{2,1}}\). З\(r_2\) = −0,5 і\(s_{2,1}\) = 0,5, це вертикальна лінія - ізоклін хижака - при N 1 = 1, як на рис\(\PageIndex{2}\).

    Хижак isocline.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\). Хижак ізоклін, при якому перестає рости популяція хижака.

    Зліва від ізокліна видобуток рідкісні, а хижаки спадають, на що вказують стрілки вниз. Праворуч від ізокліна, навпаки, видобуток рясніє і хижаки можуть збільшуватися, на що вказують стрілки вгору.

    Так само, де перестає рости популяція видобутку? У рівнянні

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\]

    він перестає рости там, де 0 =\(r_1\,+\,s_{1,2}N_2\), що означає\(N_2\,=\,\frac{-r_1}{s_{1,2}}\). З\(r_1\) = 1 і\(s_{1,2}\) = −1, це горизонтальна лінія - ізоклін видобутку - при N 2 = 1.

    Видобуток isocline.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\). Видобуток ізоклін, при якому перестає рости популяція видобутку.

    Нижче ізокліна хижаки рідкісні, тому видобуток може збільшуватися, про що вказують стрілки, що вказують вправо. Над ізокліном, навпаки, хижаки рясні, а видобуток зменшується, на що вказують стрілки, спрямовані вліво. Складання фігур\(\PageIndex{2}\) і\(\PageIndex{3}\) разом дає малюнок\(\PageIndex{4}\), на якому показано обертання в об'єднаних стрілках.

    ПП isocline.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\). Обидва ізокліна, з обома наборами стрілок об'єднані, показуючи велосипедний рух.

    Тут обертання можна вивести, подумавши про динаміку хижака і видобутку. Обертання підтверджується за допомогою таблиці 10.2.1 для обчислення власних значень. Власні значення внутрішньої рівноваги виходять 0 ± 0,707\(i\), число з дійсною і уявною частинами. Існування уявної частини, ±0,707\(i\), має на увазі їзду на велосипеді. Реальна частина, 0, означає, що власні значення не можуть визначити стабільність - вона може бути стабільною, нестабільною або нейтральною. Насправді, для цього конкретного випадку без самообмеження, більш глибоке математичне дослідження показує, що стабільність нейтральна. Динаміка буде обертатися нескінченно довго, підтримуючи будь-який цикл, на якому вона почалася.

    cycle.JPG
    Малюнок 12.3.2.

    Беручи всі дані з малюнка 12.3.2 та побудова графіка N 1 проти N 2 дає малюнок\(\PageIndex{5}\). Процес починається в день 0 з N 1 = N 2 = 2. Через добу видобуток опустився до N 1 ≈ 0,5, а хижаки збільшилися до N 2 ≈ 2,2, позначеного червоною цифрою 1 на циклі. (Під символом '≈' ми маємо на увазі «приблизно дорівнює».) Через два дні видобуток опустився до N 1 ≈ 0,2, а хижаки опустилися до N 2 ≈ 1.0, позначеного цифрою 3. У хижаків на відносно низьких рівнях видобуток потім починає збільшуватися і через чотири дні досягла N 1 ≈ 1,0, тоді як хижаки опустилися далі до N 2 ≈ 0,3, позначеного цифрою 7. Через два дні видобуток збільшився до N 1 ≈ 3.0, а хижаки збільшилися до N 2 ≈ 1,0, позначеного цифрою 9. Нарешті, через день цикл починає повторюватися, як зазначено числівником 10. Це ще один спосіб показу циклічності на малюнку 12.3.2.

    Flow.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\). Витік через фазовий простір.

    На малюнку\(\PageIndex{6}\) —діаграмі потоку весь фазовий простір може бути заповнений стрілками, щоб показати, як велосипедне рух відбувається скрізь. Шляхи малюнка 12.3.2, показані на малюнку\(\PageIndex{5}\), накладається синім кольором.