12.3: Модель хижака-здобич
- Page ID
- 2948
Для наступних кількох глав ми розглянемо два види, починаючи з одного хижака і однієї видобутку. Малюнок\(\PageIndex{1}\) зображує цю ситуацію, причому одна лінія нахилена вниз, а інша вгору.
Графік зліва описує видобуток, оскільки її числа N 1 зменшуються при збільшенні чисельності хижака N 2. Аналогічно графік праворуч описує хижака, оскільки його числа, N 2, збільшуються з щільністю його здобичі, N 1. Рівняння зростання виявляються нахилами і перехопленнями двох ліній.
Оскільки це обидві прямі\(y\,=\,mx\,+\,b\), то рівняння можна записати просто з геометрії. Перехоплення ліворуч дорівнює +1, а нахил −1. Перехоплення праворуч дорівнює −1/2, а його нахил дорівнює +1/2. Під графіками відображаються еквівалентні рівняння двох рядків.
Ці конкретні рівняння можна узагальнити за допомогою символів замість фактичних чисел, записуючи r 1, s 1,2, r 2 та s 2,1 для перехоплення +1,0 та нахилу −1,0 ліворуч та перехоплення −0,5 та нахилу +0,5 праворуч, наступним чином.
\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\,\,\,\,\,\,\,with\,r_1\,=\,+\,1.0,\,\,\,s_{1,2}\,=\,-\,1.0\)
\(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\,\,\,\,\,\,\,with\,r_2\,=\,-\,0.5,\,\,\,s_{2,1}\,=\,+\,0.5\)
Просто записуючи форму цих геометричних графіків, з'явилися класичні рівняння Лотки — Вольтерра хижак-здобич:
\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\,\,\,\,\,\,\,with\,r_1\,>\,0,\,\,\,s_{1,2}\,<\,0\)
\(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\,\,\,\,\,\,\,with\,r_2\,<\,0,\,\,\,s_{2,1}\,>\,0\)
Ось як виглядають рівняння у багатьох підручниках, з V для щільності видобутку та P для щільності хижака:
\(\frac{dV}{dt}\,=\,rV\,-\alpha\,VP\)
\(\frac{dP}{dt}\,=\beta\,VP\,-\,qP\)
Вольтерра прибув до рівняння досить інакше, ніж ми, зі швидкістю росту r для здобичі, зменшеною на швидкість\(\alpha\) для кожної зустрічі між хижаком і здобиччю\(V\,\cdot\,P\), і з природною смертністю q для хижаків та компенсаторною швидкістю зростання\(\beta\) для кожного зіткнення\(V\,\cdot\,P\), між хижаком і здобиччю.
Щоб побачити еквівалентність, розділіть перше рівняння через V, а друге на P, потім встановіть\(V\,=\,N_1,\,\,P\,=\,N_2,\,\,r\,=\,r_1,\,\,q\,=\,-r_2,\,\,\alpha\,=\,-s_{1,2},\,\,\beta\,=\,s_{2,1}\). Формулювання Лотки-Вольтерри буде виявлено як лише замаскувані рівняння r + sN.
На малюнку\(\PageIndex{1}\) представлені основні рівняння хижака — здобич з геометрії, які розкривають єдність рівнянь екології, як ви бачили в главі 5. Цей аналіз виявив форму одновимірного рівняння, не розглянутого в екологічних підручниках - ортологістичне рівняння - і яке необхідне для розуміння людських та інших швидко зростаючих популяцій.
Тепер трохи розберемо ці рівняння. Припустимо, щільність хижака і видобутку обидві 1, скажімо, 1 особина на гектар (N 1 = N 2 = 1). Замініть 1 як на N 1, так і на N 2. Які темпи зростання?
\(\frac{1}{1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,1.0\,-\,1.0\,\times\,1\,=\,0\)
\(\frac{1}{1}\frac{dN_2}{dt}\,=\,-0.5\,+\,0.5\,\times\,1\,=\,0\)
Зростання популяції дорівнює нулю для обох видів, тому популяції не змінюються. Це рівновага.
Це можна побачити на графіках нижче. Те, що обидва темпи зростання, так\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\) і\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_2}{dt}\), перетинають горизонтальну вісь при N 1 = N 2 = 1 (положення точок) означає, що зростання зупиняється для обох. Це називається рівновагою, сталим станом або, іноді, фіксованою точкою.
Але що буде, якщо обидві популяції будуть по 2, скажімо, 2 особини на гектар?
Швидкість росту видобутку негативна при N 2 = 2 (лінія знаходиться нижче горизонтальної осі), а швидкість росту хижака,\ (\ frac {1} {N_1}\ frac {DN_2} {dt}, позитивна при N 1 = 2 (лінія вище горизонтальної осі).\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\) Так популяція видобутку зменшиться, а популяція хижака збільшиться. Саме те, як будуть розвиватися популяції з часом, можна розробити, ввівши ці параметри в програму в розділі 8. Ось це те, що він показує.
Для порівняння, ось що показали ранні експериментатори, такі як Гауз і Хаффакер для популяцій найпростіших, кліщів та інших дрібних систем в середині ХХ століття:
Динаміка тут набагато така ж, як і в розрахунковому варіанті рисунка\(\PageIndex{2}\) та експериментальної версії Рисунок\(\PageIndex{3}\), але зі стохастичністю, накладеною на експериментальну систему. Експериментатори, однак, мали труднощі з досягненням безперервної їзди на велосипеді. У простих умовах хижаки знаходили б здобич і з'їдали кожну останню, а потім самі хижаки все загинуть. Постійна їзда на велосипеді може бути досягнута шляхом надання здобичі місцями для втечі або ускладнення пересування хижаків навколо навколишнього середовища.