11.1: Державні простори
- Page ID
- 2973
Тісно пов'язані з «фазовими просторами» є «державні простори». У той час як фазові простори зазвичай використовуються з неперервними системами, описаними диференціальними рівняннями, простори станів використовуються з дискретно-часовими системами, описаними різницевими рівняннями. Тут природна система наближається стрибками з одного стану в інше, як описано в главі 7, а не плавними переходами. Хоча два види просторів схожі, вони відрізняються важливими способами.
Натхненна складнощами екології та частково викликана роботами Роберта Мей 1976 року, армія математиків працювала протягом останньої чверті ХХ століття, щоб зрозуміти ці складнощі, зосередившись на дискретних системах часу та державних просторах. Одним нескінченно цікавим простором стану є уповільнене логістичне рівняння (Aronson et al. 1982), зростання дискретно-часового логістичного рівняння, описаного в главі 7.
Для біологічної інтерпретації уповільненого логістичного рівняння розглянемо приклад біомаси живих пасовищ у поєднанні з торішнім листковим послідом. Біомаса наступного року (N t+1) позитивно пов'язана з біомасою цього року (N t), але негативно пов'язана з біомасою попереднього року (N t−1). Чим більше біомаси в попередньому році, тим більше сміття в цьому році і тим більше гальмівне затінення зростання наступного року. Найпростіше наближення тут полягає в тому, що вся біомаса перетворюється на підстилку, фіксована частина посліду розпадається щороку, а гальмування від посліду лінійне. Це не зовсім реально, але воно має істотні властивості для прикладу. Польові дані та моделі зафіксували такий вид гальмування (Tilman and Wedin, Nature 1991).
Програма\(\PageIndex{1}\). Програма для обчислення послідовних точок у просторі стану затриманого логістичного рівняння.
Основне рівняння має N 1 як живу біомасу і N 2 як накопичений листовий послід. N 1 і N 2, таким чином, не два різних види, а два різних вікових класи одного виду.
\(N_1\,(t\,+\,1)\,=\,rN_1(t)\,(1\,-\,N_2(t))\)
\(N_2\,(t\,+\,1)\,=\,N_1\,(t)\,+\,pN_2\,(t)\)
Вище є поширеним способом запису різницевих рівнянь, але віднімання N i з кожної сторони, ділення на N i, і створення p = 0 для простоти дає стандартну форму, яку ми використовували.
\(\frac{1}{N_1}\frac{∆N_1}{∆t}\,=\,(r\,-\,1)\,-\,rN_2\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\)
\(\frac{1}{N_2}\frac{∆N_2}{∆t}\,=\,-1\,+\frac{1}{N_2}\,N_1\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\)
Зверніть увагу на щось нове. Один з коефіцієнтів, s 2,1, зовсім не є постійною, а є зворотним динамічної змінної. Ви побачите подібну річ знову в кінці глави хижака — здобич, і насправді це цілком нормальний результат при змішуванні функцій (глава 18) для досягнення загальної форми Коломогорова. Отже, затримка логістичного рівняння виглядає наступним чином:
\(\frac{1}{N_1}\frac{∆N_1}{∆t}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\)
\(\frac{1}{N_2}\frac{∆N_2}{∆t}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\)
де r 1 = r −1, r 2 = −1, s 1,2 = − r, а s 2,1 = 1/ N 1. Зверніть увагу також, що r i з індексом відрізняється від r без нижнього індексу.
При малих значеннях r, біомаси і посліду голова до рівноваги, як на спіралеподібному шляху рис\(\PageIndex{2}\). Тут система починається зі знака плюс, за часом t = 0, з живою біомасою N 1 =0,5 та біомасою посліду N 2 =0,1. На наступний рік, при t =1, жива біомаса збільшується до N 1 = 0,85, а послід до N 2 = 0,5. На третій рік, t = 2, жива біомаса трохи пригнічується до N 1 = 0,81, а послід накопичується до N 2 = 0,85. Далі під важким шаром підстилки біомаса різко падає до N 1 = 0,22, і так далі про цикл. Рівновагу називають «атрактором», оскільки в нього втягуються популяції.
При більших значеннях r рівновага втрачає стабільність і два значення біомаси, новий ріст і старий послід, постійно коливаються навколо державного простору, як на спіралеподібному шляху малюнка\(\PageIndex{3}\). Найпотаємніший шлях - атрактор, званий «граничним циклом». Популяції, що починаються поза його спіраллю всередину, а популяції, що починаються всередині нього, спірально назовні - за винятком популяцій, збалансованих нестабільно точно в самій точці нестабільної рівноваги.
Для ще більших значень r система рухається і виходить з хаосу таким чином, що сама по собі здається хаотичною. За r = 2,15 на малюнку\(\PageIndex{4}\) граничний цикл стає трохи деформованим у нижній лівій частині. За r = 2.27 це стало абсолютно таким, і сталося щось дуже дивне. Опуклість з'явилася між 0 і приблизно 0,5 на вертикальній осі, і ця опуклість заплуталася з усім граничним циклом, складеним назад на себе знову і знову. Те, що відбувається, показано збільшувальною областю 1, всередині червоного квадрата.
\(\PageIndex{5}\)На малюнку зображений червоний квадрат малюнка\(\PageIndex{4}\) збільшений на 50 діаметрів. Нахилена П-подібна крива є першим заплутанням опуклості, і основна частина граничного циклу виявляється не кривою, а двома або, можливо, більше паралельними кривими. Послідовні зображення цієї опуклості, поступово витягнуті в одному напрямку і стиснуті в іншому, показують, що цей граничний цикл є нескінченно складним. Це, по суті, навіть не одновимірна крива, а «фрактал», ця більша за одновимірну, але менше двовимірної!
Малюнок\(\PageIndex{6}\) збільшує червоний квадрат малюнка\(\PageIndex{5}\), додаткові 40 діаметрів, на загальну суму 2000 діаметрів. Верхня лінія виглядає одинарною, але нижня товстіша лінія з малюнка\(\PageIndex{5}\) вирішена на дві лінії, а може і більше. Насправді кожна з цих ліній, збільшена в достатній мірі, стає декількома лініями, виявляючи більш тонкі деталі аж до нескінченності! З місця на місце пари ліній складаються в U-образні форми, утворюючи нескінченно глибші зображення оригінальної опуклості. У математичній літературі цей дивний вид атрактора, по суті, називають «дивним атрактором».
Така дивна динаміка популяцій, що відбуваються в природі, з нескінченно складними закономірностями, не може виникнути у фазових просторах динамічних систем для одного або двох видів, що протікають у безперервному часі, але може виникати для трьох і більше видів у безперервному часі. І як розглянуто в главі 7, вони можуть виникати навіть для одного виду, наближеного за дискретний час.
Те, що ми проілюстрували в цьому розділі, - це, мабуть, найпростіша екологічна система з дивним атрактором, який можна візуалізувати у двовимірному просторі стану.
