9.5: Поргові моделі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 4498

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нещодавно Джо Фельзенштейн (2005, 2012) представив модель від кількісної генетики, порогову модель, до порівняльних методів. Порогові моделі працюють шляхом моделювання дискретного характеру, що лежить в основі якоїсь іншої, неспостережуваної, безперервної риси (званої відповідальності). Якщо відповідальність перетинає певне порогове значення, то змінюється дискретний стан. Більш конкретно, ми можемо розглянути одну рису, y, з двома станами, 0 і 1, яка, в свою чергу, визначається деякою базовою безперервною змінною, x, яка називається відповідальність. Якщо x більше порога, t, то y дорівнює 1; в іншому випадку y дорівнює 0. Фельзенштейн (2005) припускає, що x розвивається під броунівською моделлю руху, хоча інші моделі, такі як OU, в принципі, можливі.

Ми можемо знайти ймовірність цієї моделі, розглянувши спостереження за станами характеру на кінчиках дерева. Спостерігаємо за станом кожного виду, y _i. Ми не знаємо значень відповідальності за ці види. Однак ми розглядаємо ці зобов'язання як неспостережувані і розглядаємо їх розподіли. За броунівською моделлю руху ми знаємо, що зобов'язання будуть слідувати за багатовимірним нормальним розподілом (див. Розділ 3). Ми можемо обчислити ймовірність спостереження даних (y _i), знайшовши інтеграл розподілів пасивів на стороні порога, який відповідає даним. Отже, якщо розподіл відповідальності за види i становить p _i (x), то:

\[ p(y_i = 0) = {\int\limits_{-\infty}^{t} p_i (x) dx} \label{9.1}\]

\[ p(y_i = 1) = {\int\limits_{t}^{\infty} p_i (x) dx} \]

(Див. Рис. 9.3 для ілюстрації цього розрахунку, що простіше, ніж здається, оскільки існують стандартні формули знаходження площі при нормальному розподілі).

Малюнок 9.3. Ілюстрація інтеграла в рівнянні\ ref {9.1}. Для ознаки зі спостережуваним станом нуль обчислюється площа під кривою від негативної нескінченності до порогу t Зображення автора, може бути використано повторно за ліцензією CC-BY-4.0.

Можна підійти до цієї моделі за допомогою стандартних ML або байєсівських методів. Поточні реалізації включають алгоритм очікування-максимізації (EM) (Felsenstein 2005, 2012) і Байєсівський MCMC (Revell 2014).

Порогова модель відрізняється деякими ключовими способами від стандартних моделей типу МК. Перш за все, порогові символи еволюціонують інакше, ніж непорогові символи через їх основну відповідальність. Зокрема, ефективна швидкість зміни дискретного характеру залежить від кількості часу, який родовід перебував у цьому характерному стані. Символи, які тільки що змінилися (скажімо, з 0 на 1), швидше за все, зміниться назад (від 1 до 0), так як відповідальність, швидше за все, буде близько порогу. Навпаки, символи, які тривалий час перебували в тій чи іншій державі, як правило, більш малоймовірні зміни (оскільки відповідальність, швидше за все, дуже далека від порогу). Ця різниця відповідає біологічній інтуїції для деяких персонажів, де мільйони років в одному стані означають, що зміна в інший стан може бути малоймовірною. Така поведінка порогової моделі потенційно може враховувати зміну швидкості переходу між кладами без додавання додаткових параметрів моделі. По-друге, порогова модель масштабується, щоб охопити більше одного символу легше, ніж моделі Mk. Нарешті, у пороговій структурі просто розширити модель, включивши суміш як дискретних, так і неперервних символів - в основному, можна припустити, що неперервні символи схожі на «спостережувані зобов'язання» і можуть бути змодельовані разом з дискретними символами.