Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.6: Імітація броунівського руху на деревах

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    4617

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для моделювання еволюції броунівського руху на деревах ми використовуємо три властивості описаної вище моделі. Для кожної гілки на дереві ми можемо зробити з нормального розподілу (для однієї ознаки) або багатовимірного нормального розподілу (для більш ніж однієї ознаки), щоб визначити еволюцію, що відбувається на цій гілці. Потім ми можемо додати ці еволюційні зміни разом, щоб отримати стани символів у кожному вузлі та кінчику дерева.

    Я проілюструю одну таку симуляцію для простого дерева, зображеного на малюнку 3.4б. Спочатку ми встановимо стан родового символу $\ bar {z} (0) $, який потім буде очікуваним значенням для всіх вершин і кінчиків у дереві. Це дерево має три гілки, тому ми малюємо три значення з нормальних розподілів. Ці нормальні розподіли мають середнє значення нуля та дисперсії, які задаються швидкістю еволюції та довжиною гілки дерева, як зазначено в рівнянні 3.1. Зауважте, що ми моделюємо зміни на цих гілках, тому навіть якщо $\ bar {z} (0)\ neq 0$ значення змін на гілках черпаються з розподілу із середнім нулем. У випадку з деревом на малюнку 3.1, x 1 N (0, σ 2 t 1). Аналогічно, х 2 N (0, σ 2 т 2) і х 3 N (0, σ 2 t 3). Якщо я встановив σ 2 = 1 для цілей цього прикладу, я міг би отримати x 1 = −1,6, x 2 = 0,1, а x 3 = −0,3. Ці значення представляють еволюційні зміни, які відбуваються уздовж гілок в моделюванні. Для обчислення значень ознак для видів додамо: x a = θ + x 1 + x 2 = 0 − 1,6 + 0,1 = −1,5, а x b = θ + x 1 + x 3 = 0 − 1,6 + −0,3 = −1,9.

    Цей алгоритм моделювання працює чудово, але насправді складніший, ніж потрібно, особливо для великих дерев. Ми вже знаємо, що x a і x b походять від багатовимірного нормального розподілу з відомим середнім вектором і матрицею дисперсії-коваріації. Отже, як проста альтернатива, ми можемо просто намалювати вектор з цього розподілу, і наші значення кінчиків матимуть точно такі ж статистичні властивості, як якщо б вони були змодельовані на філогенетичному дереві. Ці два методи моделювання еволюції характеру на деревах точно еквівалентні один одному. У нашому невеликому прикладі ця альтернатива не надто простіша, ніж просто додавання гілок - але в деяких обставин набагато простіше витягнути з багатоваріантного нормального розподілу.