3.3: Прості кількісні генетичні моделі для броунівського руху

Броунівський рух під генетичним дрейфом

Найпростіший спосіб отримати броунівську еволюцію персонажів - це коли еволюційні зміни є нейтральними, а ознаки змінюються лише через генетичний дрейф (наприклад, Ланде 1976). Щоб показати це, створимо просту модель. Будемо вважати, що на персонажа впливає безліч генів, кожен з яких має невеликий ефект, і що значення характеру не впливає на фітнес. Нарешті, ми припускаємо, що мутації є випадковими і мають невеликий вплив на персонажа, як зазначено нижче. Ці припущення, ймовірно, здаються нереальними, особливо якщо ви думаєте про таку рису, як розмір тіла ящірки! Але пізніше ми побачимо, що ми також можемо вивести броунівський рух під іншими моделями, деякі з яких передбачають вибір.

Розглянемо середнє значення цієї ознаки $\ bar {z} $ в популяції з ефективною чисельністю населення N _e (це технічно дисперсія ефективної сукупності) ². Оскільки виділення немає, фенотипічний характер зміниться лише за рахунок мутацій і генетичного дрейфу. Ми можемо моделювати цей процес кількома способами, але найпростіший використовує модель «нескінченних алелей». За цією моделлю мутації відбуваються випадково і мають випадкові фенотипічні ефекти. Припускається, що мутації виконуються випадковим чином із розподілу із середнім значенням 0 та мутаційною дисперсією σ _m ². Дана модель передбачає, що кількість алелей настільки велике, що фактично немає шансів на те, що мутації відбуваються з одним і тим же алелем не один раз - отже, «нескінченні алелі». Потім алелі в популяції змінюються за частотою через час через генетичний дрейф. Дрейф і мутація разом визначають динаміку середньої ознаки через час.

Якби ми багато разів імітували цю нескінченну модель алелів, ми мали б набір еволюціонуючих популяцій. Ці популяції, в середньому, мали б однакове середнє значення ознак, але відрізнялися б один від одного. Спробуємо вивести, як саме розвиваються ці популяції ³.

Якщо розглядати популяцію, що розвивається за цією моделлю, неважко показати, що очікуваний фенотип популяції через будь-яку кількість часу дорівнює початковому фенотипу. Це пояснюється тим, що фенотипи не мають значення для виживання або відтворення, а мутації вважаються випадковими та симетричними. Таким чином,

\[ E[\bar{z}(t)] = \bar{z}(0) \label{3.1}\]

Зауважте, що це рівняння вже відповідає першій властивості броунівського руху.

Далі потрібно також розглянути дисперсію цих середніх фенотипів, яку ми будемо називати фенотипической дисперсією між популяціями (σ _B ²). Важливо, що σ _B ² - це та сама величина, яку ми раніше описали як «дисперсію» ознак з плином часу - тобто дисперсія середніх значень ознак у багатьох незалежних «пробігах» еволюційних змін протягом певного періоду часу.

Щоб обчислити σ _B ², ми повинні розглянути варіації в межах нашої моделі популяцій. Через наші спрощуючі припущення ми можемо зосередитися виключно на аддитивній генетичній дисперсії в межах кожної популяції в певний час t, яку ми можемо позначити як σ _a ². Аддитивна генетична дисперсія вимірює загальну кількість генетичної варіації, яка діє адитивно (тобто внески кожного аллеля складаються разом, щоб передбачити остаточний фенотип). Це виключає генетичні варіації, що включають взаємодію між алелями, такі як домінування та епістаз (див. Лінч і Уолш 1998 для більш детального обговорення). Аддитивна генетична дисперсія в популяції буде змінюватися з часом через генетичний дрейф (який має тенденцію до зменшення σ _a ²) та мутаційного введення (який має тенденцію до збільшення σ _a ²). Ми можемо моделювати очікуване значення σ _a ² від одного покоління до наступного як (Клейтон і Робертсон 1955; Ланде 1979, 1980):

\[ E[\sigma_a^2 (t+1)]=(1-\frac{1}{2 N_e})E[\sigma_a^2 (t)]+\sigma_m^2 \label{3.2}\]

де t - минулий час у поколіннях, N _e - ефективна чисельність населення, а σ _m ² - мутаційна дисперсія. Є дві частини цього рівняння. Перший\((1-\frac{1}{2 N_e})E[\sigma_a^2 (t)]\), показує зменшення аддитивної генетичної дисперсії кожного покоління через генетичний дрейф. Швидкість зменшення залежить від ефективної чисельності населення, N _e та поточного рівня аддитивної варіації. Друга частина рівняння описує, як збільшується адитивна генетична дисперсія за рахунок нових мутацій (σ _m ²) кожного покоління.

Якщо припустити, що нам відомо початкове значення в момент 0, σ _{a S t a r t} ², ми можемо обчислити очікувану адитивну генетичну дисперсію в будь-який час t як:

\[ E[\sigma_a^2 (t)]={(1-\frac{1}{2 N_e})}^t [\sigma_{aStart}^2 - 2 N_e \sigma_m^2 ]+ 2 N_e \sigma_m^2 \label{3.3}\]

Зверніть увагу, що перший член у вищенаведеному рівнянні\({(1-\frac{1}{2 N_e})}^t\), йде до нуля, оскільки t стає великим. Це означає, що адитивні генетичні варіації в популяціях, що розвиваються, врешті-решт досягне рівноваги між генетичним дрейфом і новими мутаціями, так що адитивні генетичні варіації перестають змінюватися від одного покоління до наступного. Ми можемо знайти цю рівновагу, взявши межу Рівняння\ ref {3.3}, коли t стає великим.

\[\lim_{t → ∞}E[σ_a^2(t)] = 2N_eσ_m^2 \label{3.4}\]

Таким чином, рівноважна генетична дисперсія залежить як від чисельності популяції, так і від мутаційного введення.

Тепер ми можемо вивести фенотипічну дисперсію між популяціями за час t, σ _B ² (t). Будемо вважати, що σ _a ² знаходиться в рівновазі і, отже, постійному (рівняння 3.4). Середні значення ознак у незалежно розвиваються популяціях будуть розходитися один від одного. Пропустивши деяке обчислення, після закінчення деякого періоду часу, очікувана дисперсія серед населення становитиме (від Lande 1976):

\[ \sigma_B^2 (t)=\frac{t \sigma_a^2}{N_e} \label{3.5} \]

Підставляючи значення рівноваги σ _a ² з рівняння 3.4 в рівняння 3.5 дає (Ланде 1979, 1980):

\[ \sigma_B^2 (t)=\frac{t \sigma_a^2}{N_e} = \frac{t \cdot 2 N_e \sigma_m^2}{N_e} = 2 t \sigma_m^2 \label{3.6}\]

Це рівняння стверджує, що варіація між двома розбіжними популяціями залежить від удвічі більше часу, оскільки вони розійшлися, і швидкості мутаційного введення. Зверніть увагу, що для цієї моделі кількість варіацій серед популяцій не залежить як від початкового стану популяцій, так і від їх ефективної чисельності населення. Тоді ця модель прогнозує, що довгострокові темпи еволюції переважають постачання нових мутацій для населення.

Незважаючи на те, що нам довелося робити конкретні припущення для цієї деривації, Лінч і Хілл (1986) показують, що Equation\ ref {3.6} є загальним результатом, який тримається під низкою моделей, навіть тих, які включають домінування, зв'язок, невипадкове спаровування та інші процеси. Рівняння\ ref {3.6} є дещо корисним, але ми не можемо часто виміряти мутаційну дисперсію σ _m ² для будь-яких природних популяцій (але див. Turelli 1984). На відміну від цього, ми іноді знаємо спадковість певної риси. Успадкованість описує частку загальної фенотипічної варіації в популяції (σ _w ²), що обумовлено адитивними генетичними ефектами (σ _a ²):

\[h^2=\frac{\sigma_a^2}{\sigma_w^2}.\]

Обчислити очікувану спадковість ознак для моделі нескінченних алелей при мутаційній рівновазі. Підставляючи рівняння\ ref {3.4}, ми знаходимо, що:

\[ h^2 = \frac{2 N_e \sigma_m^2}{\sigma_w^2} \label{3.7}\]

Так що:

\[ \sigma_m^2 = \frac{h^2 \sigma_w^2}{2 N_e} \label{3.8} \]

Тут h ² - спадковість, N _e ефективна чисельність популяції, а σ _w ² - фенотипова дисперсія всередині популяції, яка відрізняється від σ _a 2 оскільки він включає всі джерела варіацій у популяціях, включаючи як неадитивні генетичні ефекти, так і вплив на навколишнє середовище. Підставивши цей вираз для σ _w ² в рівняння\ ref {3.6}, ми маємо:

\[ \sigma_B^2 (t) = 2 \sigma_m^2 t = \frac{h^2 \sigma_w^2 t}{N_e} \label{3.9}\]

Отже, через деякий часовий інтервал t середній фенотип популяції має очікуване значення, рівне початковому значенню, і дисперсію, яка позитивно залежить від часу, спадковості та дисперсії ознак, і негативно від ефективної чисельності населення.

Щоб отримати цей результат, нам довелося зробити конкретні припущення щодо нормальності нових мутацій, які можуть здатися цілком нереальними. Варто зазначити, що якщо на фенотипи впливає достатня кількість мутацій, центральна гранична теорема гарантує, що розподіл фенотипів всередині популяцій буде нормальним - незалежно від того, яким може бути основний розподіл цих мутацій. Ми також повинні були припустити, що риси є нейтральними, більш сумнівне припущення, що ми розслабляємося нижче - де ми також покажемо, що існують інші способи отримати еволюцію броунівського руху, ніж просто генетичний дрейф!

Зауважте, нарешті, що ця кількісна генетична модель передбачає, що риси будуть розвиватися під броунівською моделлю руху. Таким чином, наша кількісна генетична модель має такі ж статистичні властивості броунівського руху. Нам потрібно лише перевести один параметр: σ ² = h ² σ _w ²/N _e ⁴.

Броунівський рух під відбором

Показано, що можна пов'язати броунівську модель руху безпосередньо з кількісною генетичною моделлю дрейфу. Насправді існує деяка спокуса прирівняти їх і зробити висновок, що риси, які розвиваються, як броунівський рух, не піддаються відбору. Однак це невірно. Більш конкретно, спостереження про те, що риса розвивається, як очікувалося, під броунівським рухом, не є рівнозначним тому, що ця риса не перебуває під відбором. Це пов'язано з тим, що персонажі також можуть розвиватися як броунівська прогулянка, навіть якщо є сильний вибір - доки вибір діє особливими способами, які підтримують властивості броунівської моделі руху.

Загалом, шлях, за яким слідують середні значення ознак популяції при мутації, відборі та дрейфі, залежать від конкретного способу, в якому ці процеси відбуваються. Різноманітністю таких моделей вважають Hansen і Martins (1996). Вони визначають три дуже різні моделі, які включають вибір, де середні риси все ще розвиваються під приблизно броунівською моделлю. Тут я представляю уніваріативні версії моделей Hansen-Martins, для простоти; зверніться до оригінального паперу для багатоваріантних версій. Зверніть увагу, що всі ці моделі вимагають, щоб сила відбору була відносно слабкою, інакше генетична варіація характеру буде виснажена відбором з часом і динаміка еволюції ознак зміниться.

Одна модель передбачає, що популяції розвиваються завдяки спрямованому відбору, але сила і напрямок відбору варіюються випадковим чином від одного покоління до наступного. Ми моделюємо вибір кожного покоління як витягнутого з нормального розподілу із середнім значенням 0 та дисперсією σ _s ². Подібно до нашої моделі дрейфу, популяції знову розвиватимуться під броунівським рухом. Однак в цьому випадку броунівські параметри руху мають інше тлумачення:

\[ \sigma_B^2=(\frac{h^2 \sigma_W^2}{N_e} +\sigma_s^2)t \label{3.10}\]

У конкретному випадку, коли варіація у виборі набагато більше, ніж варіація через дрейф, то:

\[σ_B^2 ≈ σ_s^2 \label{3.11}\]

Тобто, коли відбір (в середньому) набагато сильніше дрейфу, в швидкості еволюції повністю переважає термін відбору. Це не так вже й далеко, оскільки багато досліджень показали вибір у дикій природі, який є сильнішим за дрейф і зазвичай змінюється як у напрямку, так і за величиною від одного покоління до наступного.

У другій моделі Хансен і Мартінс (1996) розглядають популяцію, яка підлягає сильному стабілізуючому відбору для конкретного оптимального значення, але де положення оптимуму само змінюється випадковим чином відповідно до броунівського процесу руху. При цьому засоби популяції знову можуть бути описані броунівським рухом, але тепер параметр швидкості відображає рух оптимального, а не дії мутації і дрейфу. Зокрема, якщо описати рух оптимума броунівським параметром швидкості σ _E ², то:

\[σ_B^2 ≈ σ_E^2 \label{3.12}\]

Для отримання цього результату треба припустити, що існує хоча б трохи стабілізуючого відбору (принаймні, на порядку 1/ t i j, де t _{i j} - кількість поколінь, що розділяють пари популяцій; Хансен і Мартінс (1996).

Знову ж таки, в цьому випадку популяція знаходиться під сильним відбором в будь-якому поколінні, але довгострокові закономірності зміни рис можна описати броунівським рухом. Швидкість випадкової ходьби повністю визначається дією відбору, а не дрейфом.

Важливою точкою повернення з обох цих моделей є те, що модель еволюції рис у часі за цією моделлю все ще слідує броунівській моделі руху, хоча зміни переважають за вибором, а не дрейфом. Іншими словами, еволюція броунівського руху не означає, що персонажі не перебувають під відбором!

Нарешті, Хансен і Мартінс (1996) розглядають ситуацію, коли населення розвивається відповідно до тенденції. У цьому випадку ми отримуємо еволюцію, яка відрізняється від броунівського руху, але має деякі ключові атрибути. Розглянемо популяцію під постійним спрямованим відбором, s, щоб:

\[ E[\bar{z}(t+1)]=\bar{z}(t) + h^2 s \label{3.13}\]

Дисперсія між популяціями через генетичний дрейф після одного покоління становить:

\[ \sigma_B^2 = \frac{h^2 \sigma_w^2}{N_e} \label{3.14}\]

Протягом деякого більш тривалого періоду часу риси будуть розвиватися так, що вони очікували середнє значення ознаки, яке є нормальним із середнім:

\[ E[\bar{z}(t)]=t \cdot (h^2 s) \label{3.15}\]

Ми також можемо обчислити дисперсію серед видів як:

\[ \sigma_B^2(t) = \frac{h^2 \sigma_w^2 t}{N_e} \label{3.16}\]

Зауважте, що дисперсія цього процесу точно ідентична дисперсії між популяціями в моделі чистого дрейфу (рівняння 3.9). Вибір лише змінює очікування середнього виду (звичайно, ми припускаємо, що зміни в популяціях та спадковість є постійними, що буде вірним лише в тому випадку, якщо відбір досить слабкий). Крім того, за допомогою порівняльних методів ми часто розглядаємо набір видів та їх риси в наші дні, і в цьому випадку всі вони пережили однакову кількість еволюційного часу (t) і матимуть однакове очікуване значення ознак. Насправді рівняння\ ref {3.14} і\ ref {3.16} точно такі ж, як і ми очікували при чистій моделі дрейфу в тій самій сукупності, але починаючи з значення ознаки, рівного\(\bar{z}(0) = t \cdot (h^2 s)\). Тобто з точки зору даних тільки про живих видах ці дві моделі чистого дрейфу і лінійного відбору статистично не відрізняються. Наслідки цього вражають: ми ніколи не можемо знайти доказів тенденцій еволюції, вивчаючи лише живі види (Slater et al. 2012).

Підсумовуючи, ми можемо описати три дуже різні способи розвитку риси під броунівським рухом - чистий дрейф, випадково мінливий відбір та мінливий стабілізуючий відбір - і одну модель, постійний спрямований відбір, яка створює закономірності серед існуючих видів, які не відрізняються від броунівських рух. І є більше можливих моделей, які передбачають однакові закономірності. Ніколи не можна розрізнити ці моделі, оцінюючи якісну модель еволюції різних видів - всі вони пророкують однакову закономірність еволюції броунівського руху. Деталі відрізняються тим, що моделі мають броунівські параметри швидкості руху, які відрізняються один від одного і стосуються вимірюваних величин, таких як чисельність населення і сила вибору. Тільки знаючи щось про ці параметри, ми можемо виділити серед цих можливих сценаріїв.

Ви можете помітити, що жодна з цих «броунівських» моделей не є особливо детальною, особливо для моделювання еволюції протягом тривалого часу. Ви навіть можете поскаржитися, що ці моделі нереальні. Важко уявити випадок, коли на рису можуть впливати лише випадкові мутації малого ефекту над багатьма алелями, або де відбір діяв би по-справжньому випадковим чином від одного покоління до наступного протягом мільйонів років. І ви б мали рацію! Однак є величезні статистичні переваги використання броунівських моделей для порівняльного аналізу. Багато результатів, отриманих у цій книзі, наприклад, прості під броунівським рухом, але набагато складніші та відрізняються від інших моделей. І це також так, що деякі (але не всі) методи стійкі до скромних порушень броунівського руху, так само, як багато стандартних статистичних аналізів є стійкими до незначних варіацій припущень про нормальність. У будь-якому випадку ми перейдемо до моделей, заснованих на броунівському русі, маючи на увазі ці важливі застереження.