10.1: Якість та статистика

Цілі навчання

1. Визначте якість.
2. Визначте та поясніть статистичні терміни, що використовуються в контролі якості.
3. Оцініть ймовірність потрапляння зразків в межах одного, двох або трьох стандартних відхилень середнього за умови нормального розподілу, викликаного випадковими факторами.

Визначення якості та сорту

Якість - це відносний термін, який означає, що щось має високу або низьку якість порівняно з тим, що потрібно. За даними Міжнародної організації зі стандартизації (ISO), якість - це «ступінь, в якій набір властивих характеристик відповідає вимогам» (Міжнародна організація зі стандартизації, 2005; Інститут управління проектами, 2008). Вимоги до продукту або процесу можна класифікувати або дати оцінку. Якість визначається тим, наскільки якісно щось відповідає вимогам свого сорту. Розглянемо наступні приклади.

Якість марок бензину

Нафтопереробники забезпечують бензин декількох різних марок на основі октанового числа, оскільки більш високі октанові показники підходять для двигунів з вищим стисненням. Бензин не повинен бути забруднений брудом або водою, а фактичні показники палива повинні бути близькі до його октанового показника. Відвантаження низькосортного бензину, оціненого як октан 87, який не містить води або інших забруднень, буде високої якості, тоді як відвантаження високоякісного октанового газу 93, забрудненого брудом, буде низької якості.

Якість упаковки меблів в John's Move

Джон має антикварні меблі, яка знаходиться у відмінному стані, яку йому залишила бабуся. Шматки важливі для Джона з сентиментальних причин, і вони також цінні. Джон вирішує найняти вантажників (висококласних професіоналів), щоб завантажити свої меблі у вантажівку, використовуючи відповідні оббивки та обмежувачі, щоб запобігти вм'ятинам і подряпинам під час тривалої поїздки в Атланту, а потім розвантажити вантажівку в Атланті. Стандарт Джона для високої якості полягає в тому, що ніяких помітних пошкоджень не відбувається його великих предметів меблів, особливо антикваріату. Якщо меблі надійде в його нову квартиру без єдиної вм'ятини, подряпин або інших пошкоджень, діяльність буде якісною.

> Стандарт Джона для упаковки його кухні нижчий. Його посуд стара і дешева, тому він вирішує довіритися своїм недосвідченим друзям (низькосортним любителям), щоб допомогти йому упакувати свою кухню. Якщо кілька посуду або скляного посуду будуть відколи або зламані в процесі, економія витрат на робочу силу з лишком заповнить втрати, а посуд можна легко замінити. Якщо у Джона до моменту розпакування в Атланті є кілька сколів посуду і розбите скло або два, він вважатиме кухонну упаковку високою якістю.

Для більшості людей термін якість також означає хорошу цінність - отримання вартості ваших грошей. Наприклад, навіть низькосортні продукти все одно повинні працювати, як очікувалося, бути безпечними у використанні та тривати розумну кількість часу.

Статистика Термінологія

Визначення того, наскільки добре продукти відповідають вимогам класу, проводиться шляхом проведення вимірювань, а потім інтерпретації цих вимірювань. Статистика - математична інтерпретація числових даних - корисна при інтерпретації великої кількості вимірювань і використовується для визначення того, наскільки добре продукт відповідає специфікації, коли один і той же продукт виготовляється повторно. Вимірювання, зроблені на зразках продукту, повинні бути між контрольними межами - верхніми та нижніми крайніми границями допустимої варіації - і керівництво повинно розробити процес, який послідовно вироблятиме продукцію між цими межами.

Встановлення лімітів контролю при виробництві бензину

Нафтопереробний завод виробляє велику кількість палива в декількох сортах. Зразки палива видобуваються і вимірюються через рівні проміжки часу. Якщо паливо має 87-октанові показники, зразки палива повинні давати результати випробувань, близькі до цього значення. Багато з зразків матимуть бали, які відрізняються від 87. Відмінності обумовлені випадковими факторами, які важко або дорого контролювати. Більшість зразків повинні бути близькі до рейтингу 87, і жоден з них не повинен бути занадто далеко. Виробник має марки 85 і 89, тому вони вирішують, що жоден із зразків 87-го октанового палива не повинен бути менше 86 або вище 88.

Якщо процес призначений для отримання виробу певного розміру або іншої виміряної характеристики, неможливо контролювати всі дрібні фактори, які можуть призвести до того, що виріб трохи відрізняється від потрібного вимірювання. Деякі з цих факторів будуть виробляти продукти, які мають вимірювання, які більше, ніж бажано, а деякі матимуть протилежний ефект. Якщо на процес впливають кілька випадкових факторів, вони, як правило, компенсують один одного більшу частину часу, і найпоширеніші результати знаходяться поблизу середини діапазону. Ця ідея називається центральною граничною теоремою.

Якщо діапазон можливих значень вимірювань розділений порівну на підрозділи, звані бункерами, вимірювання можна сортувати, а кількість вимірювань, які потрапляють у кожен бункер, можна підрахувати. Результатом є розподіл частот, який показує, скільки вимірювань потрапляє в кожен бункер. Якщо ефекти, які викликають відмінності, є випадковими і мають тенденцію зміщувати один одного, розподіл частот називається нормальним розподілом, який нагадує форму дзвону з краями, які спалахують. Краї теоретичної нормальної кривої розподілу наближаються до нуля, але не досягають нуля.

Нормальний розподіл зразків бензину

Менеджер з контролю якості НПЗ вимірює багато зразків 87-октанового бензину, сортує вимірювання за їх октановим числом в бункери шириною 0,1 октану, а потім підраховує кількість вимірювань у кожному бункері. Потім вона створює частотну схему розподілу даних, як показано на малюнку 10.1 «Нормальний розподіл вимірювань зразків бензину».

Якщо вимірювання зразків продукції розподіляються порівну вище і нижче центру розподілу, як вони є на малюнку 10.1 «Нормальний розподіл вимірювань зразків бензину», середнє значення цих вимірювань також є центральним значенням, яке називається середнім. і представлений у формулах малої грецької літерою μ (вимовляється mu). Величина різниці вимірювань від центрального значення називається зразком стандартного відхилення або просто стандартним відхиленням. Першим кроком розрахунку стандартного відхилення є віднімання кожного вимірювання від центрального значення, а потім квадратичне значення цієї різниці. (Згадайте зі своїх курсів математики, що квадрат числа множить його саме по собі і що результат завжди позитивний.) Наступний крок полягає в тому, щоб підсумувати ці квадратні значення і ділити на кількість значень мінус одиниця. Останній крок - взяти квадратний корінь. Результат можна розглядати як середню різницю. (Якби ви використовували звичайний метод взяття середнього, позитивні і негативні числа підсумовувалися б до нуля.) Математики представляють стандартне відхилення малої грецької буквою σ (вимовляється сигма). Якщо вимірюються всі елементи групи, то це називається стандартним відхиленням популяції і на другому ступені не використовується мінус.

Малюнок 10.1 Нормальний розподіл вимірювань зразків бензину

> Діаграма показує, що найпоширеніші вимірювання октанового числа близькі до 87, а інші вимірювання розподіляються порівну вище і нижче 87. Форма діаграми розподілу підтримує припущення центральної граничної теореми про те, що фактори, що впливають на октановий показник, є випадковими і мають тенденцію зміщувати один одного, що позначається симетричною формою. Цей розподіл є класичним прикладом нормального розподілу. Менеджер з контролю якості зауважує, що жодне з вимірювань не перевищує 88 або нижче 86, тому вони знаходяться в межах контролю, і робить висновок, що процес працює задовільно.

Стандартне відхилення зразків бензину

Менеджер з контролю якості НПЗ використовує функцію стандартного відхилення в своїй програмі електронних таблиць, щоб знайти стандартне відхилення вимірювань зразка і виявляє, що для його даних стандартне відхилення становить 0,3 октан. Вона позначає діапазон на графіку розподілу частоти, щоб показати значення, які потрапляють в межах однієї сигми (стандартне відхилення) по обидва боки середнього. Див. Малюнок нижче.

Малюнок 10.2

> Більшість вимірювань знаходяться в межах 0,3 октану 87.

Для нормальних розподілів близько 68,3 відсотка вимірювань потрапляють в межах одного стандартного відхилення по обидва боки середнього. Це корисне правило для аналізу деяких типів даних. Якщо різниця між вимірами викликана випадковими факторами, які призводять до нормального розподілу, і хтось повідомляє вам середнє значення та стандартне відхилення, ви знаєте, що трохи більше двох третин вимірювань знаходяться в межах стандартного відхилення по обидві сторони від середнього. Через форму кривої кількість вимірювань в межах двох стандартних відхилень становить 95,4 відсотка, а кількість вимірювань в межах трьох стандартних відхилень становить 99,7 відсотка. Наприклад, якщо хтось сказав, що середній (середній) зріст для дорослих чоловіків у Сполучених Штатах становить 5 футів 10 дюймів (70 дюймів), а стандартне відхилення становить близько 3 дюймів, ви б знали, що 68 відсотків чоловіків у Сполучених Штатах знаходяться між п'ятьма футами сім дюймів (67 дюймів) і шістьма футами один дюйм (73 дюйми) в висота. Ви також знаєте, що близько 95 відсотків дорослих чоловіків у Сполучених Штатах були між п'ятьма футами чотири дюйми і шість футів чотири дюйми заввишки, і що майже всі вони (99,7 відсотка) мають від п'яти футів один дюйм і шість футів сім дюймів заввишки. Ці цифри іменуються правилом 68-95-99.7.

Майже всі зразки бензину знаходяться в межах трьох STD

Менеджер з контролю якості НПЗ позначає діапазони, включені в межах двох і трьох стандартних відхилень, як показано нижче.

Малюнок 10.3 Правило 68-95-99.7

Деякі продукти повинні мати меншу мінливість, ніж інші, щоб відповідати своєму призначенню. Наприклад, якщо одна машина свердлить отвір, а інша машина формує стрижень, який буде ковзати через отвір, це може бути дуже важливо, щоб бути впевненим, що якщо найменший отвір коли-небудь було узгоджено з найширшим стрижнем, що стрижень все ще буде відповідати. Три стандартні відхилення від контрольних меж можуть бути нормальними для деяких продуктів, але не для інших. Загалом, якщо середнє значення становить шість стандартних відхилень від обох контрольних меж, ймовірність того, що частина перевищує контрольні межі від випадкового коливання практично дорівнює нулю (2 в 1 000 000 000). Зверніться до малюнка 10.4 «Значення рівнів сигми».

Малюнок 10.4 Значення рівнів сигми

Стандартні відхилення між середнім та будь-яким контрольним лімітом	Рівень сигми	Відсоток всередині обмеження контролю	Відсоток за межами контролю меж	Частини поза межами контролю (приблизні)
1	1	68,3%	31,7%	32 на 100
2	2	95,4%	4,6%	5 на 100
3	3	99,7%	.3%	3 на 1000
4	4	99,9937%	0.0063%	4 на 100 000
5	5	99.99994%	.00006%	6 на 10 мільйонів
6	6	99,99998%	.0000002%	2 на мільярд

>

Крок проекту покращує якість бензину

Встановлено новий процес переробки, який виробляє паливо з меншою мінливістю. Менеджер з контролю якості НПЗ приймає новий набір зразків і графіки нової діаграми частотного розподілу, як показано нижче.

Малюнок 10.5 Менше стандартне відхилення

>

> Менеджер з контролю якості НПЗ розраховує, що нове стандартне відхилення становить 0,2 октану. Виходячи з цього, він може використовувати правило 68-95-99.7, щоб оцінити, що 68,3 відсотка виробленого палива становитиме між 86,8 і 87,2, а 99,7 відсотка становитиме від 86,4 до 87,6 октану. Скорочений спосіб опису цієї величини контролю полягає в тому, щоб сказати, що це система виробництва з п'ятьма сигмами, яка посилається на п'ять стандартних відхилень між середнім і контрольним лімітом з кожного боку.

Ключові виноси

• Якість - це ступінь, в якій товар або послуга відповідає вимогам і забезпечує цінність своєї ціни.
• Статистика - це математична інтерпретація числових даних, а в контролі якості використовується кілька статистичних термінів. Межі контролю - це межі допустимої варіації.
• Якщо випадкові фактори викликають варіації, вони, як правило, скасовуватимуть один одного - теорема центральної межі. Центральною точкою в розподілі є середнє, яке представлено грецькою літерою mu, μ. Якщо вибрати інтервали, які називаються бункерами, і підрахувати кількість зразків, які потрапляють в кожен інтервал, результатом буде розподіл частот. Якщо ви діаграмуєте розподіл та фактори, що викликають варіації, є випадковими, розподіл частоти є нормальним розподілом, який виглядає у формі дзвоника.
• Центр нормального розподілу називається середнім, а середня варіація розраховується особливим способом, який знаходить середнє значення квадратів відмінностей між зразками і середнім, а потім приймає квадратний корінь. Ця середня різниця називається стандартним відхиленням, яке представлено грецькою літерою sigma, σ.
• Близько 68 відсотків зразків знаходяться в межах одного стандартного відхилення, 95,4 відсотка - в межах двох, а 99,7 відсотка - в межах трьох.

вправи

1. Відповідно до ISO, якість - це ступінь, до якої відповідає набір властивих йому характеристик ___________.
2. Верхні і нижні крайності допустимого відхилення від середнього називаються межею __________.
3. Шанси на те, що вимірювання вибірки буде знаходитися в межах одного стандартного відхилення від середнього значення, становить ____ відсотків.
4. Як якість пов'язана з сортом?
5. Якщо вимірювання в діаграмі розподілу частот згруповані поблизу середнього значення при нормальному розподілі, що це означає про причини зміни?
6. Якщо у вас є набір даних вибірки і вам довелося обчислити стандартне відхилення, які кроки?
7. Якщо набір вимірювань зразка має середнє значення 100, нормальний розподіл, стандартне відхилення 2 та контрольні межі 94 та 106, який відсоток зразків, як очікується, буде між 94 та 106? Поясніть свою відповідь.

Використання статистичних заходів

> Виберіть дві групи людей або предмети, які мають вимірну характеристику, яку можна порівняти, наприклад, зріст дорослих чоловіків і жінок. Опишіть розподіл вимірювань, вказавши, чи вважаєте ви, що групи мають відносно невелике або велике стандартне відхилення, і чи перекриваються розподіли (наприклад, деякі жінки вище, ніж деякі чоловіки, хоча середній зріст для чоловіків більше, ніж середній зріст для жінок). Продемонструйте, що ви знаєте, як правильно використовувати наступні терміни в контексті:

• Нормальний розподіл
• Стандартне відхилення
• Середнє

Посилання

Міжнародна організація зі стандартизації, систем менеджменту якості - основи та лексика (Женева: ISO Press, 2005).

Інститут управління проектами, Inc., Посібник із Зведення знань з управління проектами (PMBOK Guide), 4-е видання. (Ньютаун Сквер, Пенсильванія: Інститут управління проектами, Inc., 2008), 190.