8.3: Три режими

Два режими простіше, ніж три. Тому ми спочатку вивчили цей випадок, щоб напрацювати досвід та виявити ідеї, які можна передавати. На щастя, навіть коли складна ситуація має три режими, можливі два спрощення. По-перше, режими книги часто легше, ніж середній режим (розділ 8.3.1). Потім вивчаємо закладки і, щоб передбачити поведінку посередині, інтерполювати між кінцями книг. Крім того, два ефекти змагаються і досягають нічиї в середньому режимі (розділ 8.3.2). Цей середній режим тоді є режимом, знайденим у природі.

8.3.1 Три режими, де кінці книг легше

У звичайній ситуації з легкими випадками безрозмірне число, що класифікує три режими, є співвідношенням між двома фізичними ефектами. Тоді два закладки є найпростішими режимами для аналізу, тому що в кожному кінці книги той чи інший ефект зникає. Ми будемо практикувати цей аналіз на прикладі з вступної механіки (Розділ 8.3.1.1); потім ми закінчимо перетягування (Розділ 8.3.1.2).

8.3.1.1 Перекочування по площині

Як наш вступний приклад, давайте переглянемо об'єкти, що котяться без ковзання по похилій площині. Мета полягатиме в тому, щоб передбачити прискорення об'єкта a вздовж площини. Розмірний аналіз із задачі 5.18 говорить нам, що найзагальніше безрозмірне твердження про a\(f\) - це де безрозмірна функція,\(\theta\) - кут нахилу, I - момент інерції об'єкта, m - його маса, а r - його радіус. Єдині величини, які впливають на прискорення, - це дві безрозмірні групи: кут нахилу\(\theta\) і безрозмірний розподіл маси\(I/mr^{2}\). Співвідношення\(I/mr^{2}\), а отже, і прискорення, є інваріантним при зміні маси або радіуса об'єкта (наприклад, створення більшого кільця або диска). Більш простою мовою, яка, однак, не так сильно з'єднується з міркуваннями симетрії, просто зміна маси або радіуса об'єкта без зміни його форми не змінює його прискорення.

\[\frac{a}{g} = f (\theta, \frac{I}{mr^{2}}),\]

Яка форма котиться швидше - кільце або диск?

У цьому порівнянні похила площина і, таким чином, кут нахилу\(\theta\) залишаються фіксованими. Однак безрозмірна група\(I/mr^{2}\) змінюється і може класифікувати режими простих випадків. Ця група зустрічається неодноразово в аналізі, тому ми часто символізуємо її як\(\beta\). Розуміючи поведінку в режимах\(\beta\), визначених, ми зможемо передбачити результат кільцево-дискової гонки.

Почнемо з першого режиму,\(I/mr^{2} =0\). Цей режим досягається шляхом внесення I нуля. Тоді прокатка, представлена I, стає неактуальною. Об'єкт рухається так, ніби він ковзає вниз по площині без тертя. Його прискорення - це то\(g sin \theta\), і\(a/g = sin \theta\).

За допомогою цього легкого результату ми можемо спростити невідому функцію\(f\), яка, на жаль, є функцією двох безрозмірних груп. Як розумна здогадка, залежність від кута, ймовірно, все ще гріх\(\theta\), навіть коли я не дорівнює нулю. Тоді безрозмірне твердження спрощує

\[\frac{a}{g} = h (\frac{I}{mr^{2}}) sin \theta,\]

де - безрозмірна функція тільки однієї групи.

Давайте здогадаємося h, використовуючи легкі випадки\(\beta = I/mr^{2}\). Три режими будуть\(\beta\) = 0 (особливий\(\beta\) випадок 1)\(\beta\), 1 і\(\beta\) 1. У першому режимі, коли\(\beta\) = 0, прокатка неважлива, як ми тільки що спостерігали. Тому\(a/g = sin \theta\) і безрозмірна функція (\(\beta\)) - це всього лише 1.

Середній\(\beta\) режим 1 важко проаналізувати без повного розрахунку. Проте мета аналізу простих випадків полягає в тому, щоб зробити ситуацію досить простою, щоб поведінку було легко побачити, і ми можемо пропустити повний розрахунок. Навіть найпростіше значення в рамках цього режиму,\(\beta\) = 1, не простіше інших значень. (Він описує кільце, де вся маса розподіляється по краю предмета, на відстані r від центру). Середній режим - це, як і обіцяли, складний режим. Ні рибу, ні птицю, вона змішує прокатку і ковзання в порівнянних кількостях.

Рішення полягає у вивченні третього режиму\(\beta\), де 1, а потім інтерполяції між першим і третім режимами з метою прогнозування поведінки в середньому режимі. (Ми неявно використовували цей підхід інтерполяції в розділі 6.4.3, коли ми оцінили час і відстань для падіння конуса, щоб досягти своєї кінцевої швидкості.)

Для об'єкта, що котиться вниз по площині, як\(\beta\) можна збільшити за межі 1?

Здається, немає можливості збільшити\(\beta\) за межі 1: Коли\(\beta\) = 1, вся маса вже розподілена по краю. На щастя, тонким моментом є те, що при розмірному аналізі r - радіус кочення, а не радіус об'єкта, оскільки радіус кочення визначає крутний момент і рух. Радіус об'єкта може бути більшим за радіус кочення. Така можливість дозволяє нам збільшуватися\(\beta\) стільки, скільки хочемо.

Як приклад уявіть штангу, яка використовується для підняття важких предметів: Тонка вісь радіусом r з'єднує два великих і масивних вуха радіусами R. Помістіть вісь на похилій площині, при цьому вуха виходять за площину. Радіус кочення - радіус r осі. Однак момент інерції I здебільшого обумовлений великими вухами, тому що

\[\textrm{moment of inertia} \propto (\textrm{distance from the axis rotation})^{2}.\]

Таким чином\(I \sim mR^{2}\), де m - об'єднана маса двох вух, яка майже не відрізняється від маси всього об'єкта. Вибравши R \r, ми можемо зробити «\(\beta\)1»:

\[\beta \equiv \frac{I}{mr^{2}} \sim (\frac{R}{r})^{2} >> 1.\]

Як швидко цей великий\(\beta\) об'єкт розганяється вниз по площині?

Цей екстремальний режим легше думати, ніж про проміжний режим\(\beta\) = 1. Кінцівка режиму «\(\beta\)1» підсилює нашу інтуїцію і кричить досить голосно, щоб наша кишка чула. Тоді відповідь нашої кишки досить голосна, щоб ми чули: штанга, котившись на своїй маленькій осі, поки вона не ковзає, буде повзати вниз по площині (курсив представляє крики моєї кишки). Швидкий рух буде, обертаючи вуха, вимагати набагато більше енергії, ніж гравітація може забезпечити. Таким чином, коли вуха стають все більшими і\(\beta\) йдуть до нескінченності, безрозмірний коефіцієнт прокатки (\(\beta\)) йде до нуля.

Просте припущення, яке припадає на два екстремальних режими, є

\[h(\beta) = \frac{1}{1 + \beta}.\]

З точки зору початкових величин, прискорення буде

\[a = \frac{g sin \theta}{1 + I/mr^{2}}.\]

Ця освічена здогадка виявляється правильною (Проблема 8.8). Тепер ми можемо відповісти на наше оригінальне питання про те, яка форма скочується швидше. Чим далі назовні розподілена маса,\(\beta\) тим більше, значить\(\beta_{ring} > \beta_{disc}\). Оскільки a зменшується зі\(\beta\) збільшенням, диск котиться швидше, ніж кільце.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Exact solution to rolling down the plane

Використовуйте збереження енергії, щоб знайти прискорення об'єкта вздовж площини, і підтвердити здогадки на основі легких випадків режимів.

Вправа\(\PageIndex{2}\): A pendulum with chewing gum

Маятник з диском як маятник боб коливається з періодом T. Потім ви наклеюєте невеликий шматочок жувальної гумки на центр диска. Як впливає ясна на період маятника: збільшення, відсутність ефекту або зменшення?

8.3.1.2 Перетягніть за допомогою простих випадків

Перетягнути, як і будь-яке явище, пов'язане з рідинами, є важкою проблемою. Зокрема, немає можливості обчислити коефіцієнт опору c _d як функції числа Рейнольдса Re —навіть для простих форм, таких як сфера або циліндр. Однак розмірний аналіз (розділ 5.3.2) сказав нам, що

\[\underbrace{\textrm{drag coefficient}}_{c_{d}} = f\underbrace{(\textrm{Reynold's number})}_{\textrm{Re}}.\]

Однак розмірний аналіз не міг сказати нам функцію\(f\). Це не шкода на вимірному аналізі; знаходження всієї функції виходить за рамки нашого сучасного розуміння математики. Однак ми можемо зрозуміти багато про\(f\) в двох простих випадках: режимах книжкового стенду Re 1 і Re 1. У важкому середньому режимі Re 1 функція\(f\) інтерполює між своєю поведінкою в двох крайнощах.

Низьке число Рейнольдса. Потоки при низькому числі Рейнольдса, хоча і не такі часті в повсякденному досвіді, як потоки при високому числі Рейнольдса, включають крапельку туману, що падає в повітрі (Проблема 8.13), бактерія, що плаває у воді (обговорюється в класичній роботі «Життя при низькому числі Рейнольдса» [39]), і іони, що проводять електрику в морській воді ( Завдання 8.10). Наша мета тут - знайти коефіцієнт опору в режимі Re 1.

Число Рейнольдса (на основі радіуса)\(v\) -\(r\) це\(vr/\nu\), де швидкість, радіус об'єкта, і\(\nu\) кінематична в'язкість рідини. Тому, щоб зменшити Re, або зробіть об'єкт маленьким, зробіть швидкість об'єкта низькою, або використовуйте рідину з високою в'язкістю. Метод не має значення, поки Re невеликий: коефіцієнт опору визначається не будь-яким з окремих параметрів\(r\), або\(v\), скоріше\(\nu\), абстракцією Re. Ми виберемо засоби, які призводять до найбільш прозорих фізичних міркувань: зробити в'язкість величезною. Уявіть, наприклад, крихітну намистинку, що сочиться крізь баночку холодного меду. (Тонкість бісеру ще більше зменшує Re.)

У цьому надзвичайно в'язкому потоці сила опору, як і слід було очікувати, виробляється безпосередньо в'язкими силами. Як ви міркували в задачі 7.25, в'язкі сили, пропорційні кінематичній в'язкості\(nu\), задаються

\[F_{viscous} \sim \rho \nu \times \textrm{velocity gradient} \times \textrm{area}.\]

Площа - це площа поверхні об'єкта. Градієнт швидкості - це швидкість, з якою швидкість змінюється з відстанню; він аналогічний градієнту концентрації\(\Delta n/ \Delta x\) в аналізі закону Фіка Розділу 7.4.2 або градієнту температури\(\Delta T/ \Delta x\) в аналізі теплового потоку Розділу 7.4.4.

Оскільки сила опору обумовлена в'язкими силами безпосередньо, вона повинна бути пропорційною\(\nu\). Це обмеження визначає форму функції\(f\) і, отже, силу перетягування. Випишемо результат розмірного аналізу, що з'єднує коефіцієнт опору і число Рейнольдса:

\[c_{d} \equiv \frac{F_{d}}{\frac{1}{2} \rho A_{cs} v^{2}} = f \underbrace{(\frac{vr}{\nu})}_{\textrm{Re}},\]

де F _d - сила перетягування, а A _cs - площа поперечного перерізу об'єкта. За радіусом\(A_{cs} \sim r^{2}\), так

\[\underbrace{\frac{F_{d}}{\rho r^{2} v^{2}}}_{\sim c_{d}} \sim f \underbrace{(\frac{vr}{\nu})}_{\textrm{Re}}.\]

В'язкість\(\nu\) з'являється тільки в числі Рейнольдса, де вона фігурує в знаменнику. Щоб зробити F _d пропорційним,\(\nu\) потрібно зробити коефіцієнт опору пропорційним 1/Re. Аналогічно, функція\(f\), коли Re 1, задається\(f(x) \sim 1/x\). Тоді

\[\frac{F_{d}}{\rho r^{2} v^{2}} \sim \frac{\nu}{vr}.\]

Для самої сили перетягування наслідком є (як ви знайшли в Задача 7.26)

\ [F_ {d}\ сім\ rho r^ {2} v^ {2}\ frac {\ nu} {vr} =\ рхо\ ню в р.\)

Цей результат справедливий майже для всіх форм; змінюється лише безрозмірний префактор. Для сфери британський математик Джордж Стоукс показав, що відсутнім безрозмірним префактором є\(6 \pi\):

\[F_{d} = 6 \pi \rho \nu v r.\]

Відповідно, цей результат називається Stokes drag.

Високе число Рейнольдса. Оскільки число Рейнольдса\(rv/\nu\) містить три величини, межа високого числа Рейнольдса також може бути досягнута трьома способами, всі з яких виробляють однакову поведінку. Ми виберемо метод, який найлегше відчути, який полягає в скороченні в'язкості\(\nu\) до 0. У цій межі, яка називається перетягуванням форми, в'язкість зникає з проблеми, і сила опору не повинна залежати від в'язкості. Це міркування містить кілька неправди, але вони тонкі, і висновок здебільшого правильний. (Уточнення тонкощів, необхідних століттями прогресу в математиці, кульмінацією якої є теорія сингулярних збурень і граничних шарів, предмет розділу 7.3.4 і обговорюється набагато більше в динаміці фізичної рідини [46].)

Без в'язкості і, таким чином, без числа Рейнольдса, щоб залежати від, безрозмірна функція\(f\) повинна бути постійною! Його значення залежить від форми об'єкта і зазвичай коливається від 0,5 до 2 Оскільки коефіцієнт опору є\(F_{d}/\frac{1}{2} \rho v^{2} A_{cs}\), сила перетягування дорівнює

\[F_{d} \sim \rho v^{2} A_{cs}.\]

Цей результат узгоджується з нашим аналізом у розділі 3.5.1 на основі енергозбереження. У цьому аналізі ми неявно припустили високе число Рейнольдса, не знаючи цього.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Conductivity of seawater

Оцініть провідність морської води, припускаючи, що струмопровідні іони (Na ⁺ або Cl ⁻) рухаються з оболонкою товщиною один шар молекул води навколо них.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Drag coefficient resulting from Stokes drag

При низькому числі Рейнольдса сила опору на сфері дорівнює\(F = 6 \pi \rho \nu v r\) (Stokes drag). Знайти коефіцієнт опору c _d як функцію числа Рейнольдса, базуючи число Рейнольдса на діаметрі сфери, а не її радіусі.

Вправа\(\PageIndex{5}\): Choosing the high- or low-Reynolds-number regime

Щоб оцінити кінцеву швидкість краплі дощу (Задача 3.37), ви неявно використовували режим високого числа Рейнольдса. Тепер, коли ви знаєте інший режим, як ви можете вибрати, який режим використовувати? Не знаючи, який режим, ви не зможете знайти швидкість терміналу. Без швидкості терміналу, як знайти число Рейнольдса, який потрібно вибрати режим? Відповідь полягає в тому, щоб вибрати режим і подивитися, чи є результат самоузгодженим. Якщо його немає, вибирайте інший режим.

Як практика з цим міркуванням, припустимо, що число Рейнольдса для падаючої краплі дощу невелике, і тому сила опору F _d задається перетягуванням Стокса:

\[F_{d} \sim \rho_{air} \nu vr.\]

Оцініть отриману швидкість терміналу\(v\) для краплі дощу (діаметр близько 0,5 сантиметра). Потім перевірте припущення, що Re 1.

Вправа\(\PageIndex{6}\): Terminal speed of fog droplets

1. Оцініть кінцеву швидкість крапель туману (\(r \sim 10 \mu m\)). Оцінюючи силу опору, використовуйте або межу низьких або високих чисел Рейнольдса - залежно від того, яка межа ви здогадуєтеся, швидше за все, буде дійсною. (Завдання 8.12 вводить це міркування.)
2. Використовуйте швидкість, щоб оцінити число Рейнольдса і перевірити, чи використовували ви правильну межу для сили перетягування. Якщо ні, спробуйте інший ліміт!
3. Туман - це низинне хмара. Скільки часу потрібно крапельці туману, щоб впасти на 1 кілометр (типова висота хмари)? Який повсякденний ефект від цього часу заселення?

Інтерполяція. Тепер ми знаємо силу опору в двох екстремальних режимах: в'язкий опір (низьке число Рейнольдса) і форма опору (високе число Рейнольдса). Інтерполяція між цими режимами найпростіше в безрозмірній формі, тобто з точки зору коефіцієнта опору, а не сили опору.

При Re 1 коефіцієнт опору c _d дорівнює приблизно 0,5 (для сфери). На осях журналу — колода поведінка Re ⟩ 1 є прямою лінією з нульовим нахилом. У режимі Re 1 ви повинні були знайти в Задача 8.11, що коефіцієнт опору (для сфери) становить 24/Re, де число Рейнольдса базується на діаметрі, а не радіусі: масштабування 1/Re відбувається тому, що, як ми щойно вивели,\(f(\textrm{Re}) \sim 1/\textrm{Re}\) зробити перетягування сила, пропорційна в'язкості\(\nu\); безрозмірний префактор 24 - це те, що вам довелося обчислити. На осях журналу — журнал поведінка Re 1 також є прямою лінією, але з нахилом −1.

Пунктирна лінія інтерполюється між крайностями. Остаточний поворот полягає в тому, що при Re 3 × 10 ⁵ прикордонний шар стає турбулентним (Задача 7.23), а коефіцієнт опору значно падає. З цим застереженням ми пояснили основні риси перетягування, всюдисущої сили в живому світі.

Вправа\(\PageIndex{7}\): Q as an easy-cases parameter

Система демпфірованої пружини - маса має безрозмірну міру демпфування, відому як коефіцієнт якості Q, який ви вивчали в Задачі 5.53. Виберіть Q 0.5, Q = 0.5, або Q 0.5, щоб описати кожен з трьох режимів: (a) недопалений, (b) критично затухаючий і (c) завищений

Вправа\(\PageIndex{8}\): Floating on water

Деякі комахи можуть плавати на воді завдяки поверхневому натягу води. Розширити аналіз цього ефекту від задачі 5.52 шляхом оцінки безрозмірного співвідношення

\[R \equiv \frac{\textrm{force due to surface tension}}{\textrm{weight of the bug}}\]

як функція розміру помилки l (як довжина). Інтерпретувати режими R 1 і R 1 і знайти критичний розмір помилки l ₀ для плавання на воді

Вправа\(\PageIndex{9}\): Energy loss in highway versus city driving

Поясніть, чому наступне безрозмірне співвідношення вимірює важливість перетягування:

\[\frac{\textrm{mass of fluid swept out}}{\textrm{mass of object}}.\]

Еквівалентним обчисленням, крім безрозмірного коефіцієнта одиниці порядку, є

\[\frac{\textrm{fluid density}}{\textrm{object density}} \times \frac{\textrm{distance traveled}}{\textrm{size of object}}\]

де розмір предмета - його лінійний розмір в напрямку руху. Коли це співвідношення можна порівняти з одиницею, опір значно впливає на траєкторію.

Застосуйте будь-яку форму відношення до автомобіля під час їзди по місту, і знайдіть відстань d, при якому відношення стає значним (скажімо, приблизно 1). Як відстань порівнюється з відстанню між знаками зупинки абосвітлофорами на міських вулицях? У чому полягає основний механізм втрати енергії при водінні міста? Як змінюється цей аналіз для водіння по шосе?

Вправа\(\PageIndex{10}\): Gain of an RC circuit

Низькочастотний RC-ланцюг розділу 2.4.4 піддається аналізу простих випадків. З абстракцією ємнісного імпедансу (Розділ 2.4.4) поясніть одиницю посилення на низькій частоті і чому коефіцієнт посилення йде до нуля на високій частоті. Що таке безрозмірний спосіб сказати «висока частота»?

Вправа\(\PageIndex{11}\): Bode magnitude sketch for an RC circuit

Графік величини Боде - це графік журналу gainпроти частоти. У згорнутому ескізі Боде, який часто дає найбільше розуміння поведінки системи, сегменти ділянки є прямими лініями. Зробіть ескіз величини Боде для низькочастотного RC-ланцюга задачі 8.17, позначивши ухили та точки перетину.

8.3.2 Три режими, де конкурують два ефекти

У заключній групі трирежимних прикладів три режими знову засновані на відносному розмірі двох фізичних ефектів. Однак, на відміну від прикладів у розділі 8.3.1, де ми вибрали режим - наприклад, вибравши швидкість потоку і, отже, число Рейнольдса - тут вибирає природа. Природа вибирає середній режим, де два конкуруючі фізичні ефекти досягають нічиї. Метод легких випадків показує, як робиться цей вибір.

8.3.2.1 Висота атмосфери

Конкуренція між фізичними ефектами - це тема чудових газів, рідин і твердих речовин та інших станів речовини [43, стор. xiii], де ми дізнаємося, як «три первинні стани речовини є результатом конкуренції між тепловою енергією та міжмолекулярними силами». Наступний приклад, оцінюючи висоту нашої атмосфери, ілюструє аналогічну конкуренцію: між тепловою енергією і гравітацією. Ось як ці два фізичні ефекти визначають висоту атмосфери.

1. Теплова енергія. Теплова енергія дає молекулам швидкість. Не обмежуючись гравітацією, молекули повітря та атмосфера розійшлися б у просторі. Тому теплова енергія відповідає за збільшення висоти атмосфери.
2. Гравітація. Гравітація тягне молекули повітря вниз. Якщо гравітація є єдиним ефектом, тобто тепловий рух відсутній (атмосфера знаходиться на абсолютному нулі), то гравітація тягне молекули аж до землі. Гравітація, отже, зменшує висоту атмосфери.

Безрозмірною мірою відносного розміру двох ефектів є порівняння типової гравітаційної енергії з тепловою енергією однієї молекули. Типова теплова енергія - k _B T. З m для маси молекули і H для характерної або типової або масштабної висоти атмосфери, типовою гравітаційною потенційною енергією є mGH. Коефіцієнт енергії тоді

\[\beta \equiv \frac{mgH}{k_{B}T}.\]

Це співвідношення класифікує три режими простих випадків\(\beta\): 1,\(\beta\) ÷ 1,\(\beta\) і 1.

При першому режимі атмосфера розширюється: молекули мають стільки теплової енергії, що вони тікають далі від Землі. У третьому режимі атмосфера скорочується: молекули не мають достатньої теплової енергії, щоб протистояти гравітації, оскільки вона тягне їх назад на Землю. Щасливим середовищем, де атмосфера стабільна, є середній режим.

Тому режим вибирається не нами, а природою. Висота атмосфери визначається вимогою, щоб два ефекти конкурували і досягали нічиї-коли два ефекти можна порівняти за силою. У цьому режимі\(mgH \sim k_{B}T\), тому висота шкали атмосфери

\[H \sim \frac{k_{B}T}{mg}.\]

Для атмосфери Землі, де T ≈ 300 K, а молекулярна маса m - приблизно маса молекули азоту, ця висота становить приблизно 8 кілометрів - як ми передбачали в розділі 5.4.1 за допомогою розмірного аналізу. Прості міркування доповнюють розмірний аналіз, надаючи фізичну модель.

Як бонус, ця загальна модель конкуренції пояснює, чому ми припускаємо, що невідоме безрозмірне число порівнянне з 1 - наприклад, коли ми оцінили енергію атомного вибуху в розділі 5.2.2. Найчастіше безрозмірне число являє собою співвідношення між двома фізичними ефектами. Тоді «можна порівняти з 1» означає «ефекти досягли нічиєї». Згадуючи, що невідомі безрозмірні числа можна порівняти з 1, ми віщували легкі міркування, які ми використовуємо для цих прикладів конкуренції.

8.3.2.2 Енергія зв'язування водню

Наступним нашим прикладом, перш ніж ми звернемося до гігантських лусочок зірок, є наш старий друг атом водню. У розділі 5.5.1 ми передбачили його розмір, радіус Бора a ₀, використовуючи розмірний аналіз. Прогнозування було правильним, але, як і при розмірному аналізі висоти атмосфери, розмірний аналіз не дав нам фізичної моделі. Прості міркування допоможуть нам зробити наші мовчазні фізичні знання про водень явними і тим самим побудувати фізичну модель.

Як ми виявили в розділі 6.5.2 за допомогою комкування, конкурують два фізичні ефекти:

1. Електростатика. Електростатичне тяжіння між протоном і електроном скорочує атом.
2. Квантова механіка. За принципом невизначеності квантова механіка дає електрону, обмеженому невеликою областю, невизначеність високого імпульсу і, отже, високу кінетичну енергію. За допомогою цієї енергії обмеження, аналогічної тепловій енергії молекули повітря, електрон може протистояти внутрішньому потягу електростатики. Тому квантова механіка розширює атом.

Безрозмірне відношення, яке вимірює відносний розмір двох ефектів, - це коефіцієнт енергії.

\[\beta \equiv \frac{\vert \textrm{electrostatic potential energy} \vert}{\textrm{confinement energy}},\]

де бруски абсолютного значення говорять про те, що, хоча енергія електростатичного потенціалу негативна, ми дбаємо лише про її величину.

В атомі водню радіусом r електростатична енергія дорівнює\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0}r\). Енергія ув'язнення, яку ми оцінили в розділі 6.5.2 за допомогою грудок, порівнянна з\(\hbar^{2}/m_{e}r^{2}\). Тому

\[\beta \sim \frac{e^{2} 4 \pi \epsilon_{0} r}{\hbar ^{2}/m_{e}r^{2}}.\]

У першому режимі, 1,\(beta\) квантова механіка набагато сильніше, ніж електростатика, і величезна кінетична енергія від квантової механіки (енергії ув'язнення) розширює атом. У третьому режимі,\(\beta\) 1, електростатика, тепер набагато сильніше квантової механіки, скорочує атом.

Радіус водню, як і висота атмосфери, визначається вимогою, щоб два фізичні ефекти конкурували і досягали нічиї. Це перемир'я відбувається при середньому режимі. Там\(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0} r \sim \hbar^{2}/m_{e}r^{2}\), так

\[r \sim \frac{\hbar^{2}}{m_{e}(e^{2}/4 \pi \epsilon_{0})},\]

який є радіусом Бора a ₀, який ми знайшли за допомогою розмірного аналізу (Розділ 5.5.1) та комкування (Розділ 6.5.2).

Альтернативний підхід, який також використовує прості випадки, але дає різні уявлення, полягає в тому, щоб базувати безрозмірне співвідношення безпосередньо на розмірі r. Виготовлення r безрозмірний вимагає іншого розміру. На щастя, у нас є один, тому що дві енергії, електростатична і ув'язнення, мають різні показники масштабування. Електростатична енергія пропорційна r ⁻¹. Енергія ув'язнення пропорційна r ⁻².

На осях колод—колоди вони є прямими лініями, але з різними нахилами: −2 для лінії ув'язнення та −1 для лінії електростатичної енергії. Тому вони перетинаються. Розмір, при якому вони перетинаються - особливий розмір. Давайте назвемо його r ₀. Тоді наше безрозмірне співвідношення є\(\beta \equiv r/r_{0}\), а три режими наведені в таблиці.

електростатичні та обмежувальні енергії, саме так ми знайшли радіус Бора a ₀ в розділі 6.5.2. Таким чином, радіус водню є радіусом Бора і є результатом конкуренції між електростатикою та квантовою механікою.

Наш наступний проект полягає у використанні простих режимів розміру, щоб зрозуміти теплове розширення - чому речовини розширюються при нагріванні. Першим кроком є ескіз загальної енергії Е, яка є сумою ув'язнення і електростатичних енергій.

Цей ескіз найпростіше в книжкових режимах. У першому режимі, де r r ₀, атом занадто малий, а квантова механіка сильніша: його кінетико-енергетичний внесок є домінуючим терміном в енергії, оскільки його масштабування 1/ r ² переповнює масштабування потенціалу 1/ r енергія. У третьому режимі, де r r ₀, атом занадто великий, а електростатика є домінуючим терміном в енергії: його масштабування 1/ r йде до нуля повільніше, ніж масштабування кінетичної енергії 1/ r ². Тому в крайності (закладки) загальна енергія має два різних масштабування:

\[ E \propto \left \{ \begin{array}{ll} 1/r^{2} (\textrm{regime 1}: r << r_{0}) \\ -1/r (\textrm{regime 3}: r >> r_{0}) \end{array} \right. \]

Для завершення ескізу проводимо інтерполяцію між режимами bookend.

Схили в двох режимах мають протилежні знаки, тому немає плавного способу з'єднання двох крайніх відрізків без введення точки, де ухил дорівнює нулю. Ця точка, де енергія мінімальна, є вибором природи для основного стану водню.

За допомогою цього ескізу ми можемо пояснити теплове розширення. Теплове розширення вперше з'явилося в задачі 5.38, де ви використовували розмірний аналіз для оцінки типового коефіцієнта теплового розширення. Однак проблема ковзала над принциповим питанням: знаком коефіцієнта. Нічого не знаючи про тепловому розширенні, можна здогадатися, що позитивні і негативні коефіцієнти однаково вірогідні. Аналогічно, речовини з однаковою ймовірністю розширюються, коли вони скорочуються при нагріванні: деякі речовини можуть розширюватися, а інші можуть скорочуватися. Однак це міркування про симетрію не вдається емпірично: майже всі речовини розширюються, а не стискаються при нагріванні. Симетрія між позитивними і негативними коефіцієнтами теплового розширення, або між розширенням і стисненням, повинна десь порушитися.

Крива енергії проти розміру для водню показує, де симетрія порушується. У своїй загальній формі крива застосовується до всіх зв'язків, будь то внутрішньоатомні (такі як електрон-протонний зв'язок у водні), міжатомні (наприклад, водень - кисневі зв'язки в молекулі води), або навіть міжмолекулярні (наприклад, водневі зв'язки між молекулами води). Зв'язки є результатом конкуренції між (1) тяжінням, яке важливо на великих відстанях і яке виглядає як електростатичний шматок загальної кривої, і (2) відштовхуванням, яке важливо на невеликих відстанях і яке виглядає як ув'язнений шматок загальної кривої. (Навіть гравітаційний зв'язок між Сонцем і планетою, представлений кривою, яку ви намалювали в Задачі 5.55c, має однакову форму.)

Тому крива енергії зв'язку проти поділу не може бути симетричною. На кінці r r ₀, який є першим режимом, r має мінімально можливе значення, а саме нуль. Однак на кінці r r ₀, який є третім режимом, r необмежений. Таким чином, два книжкових режими не симетричні, а крива енергії зв'язку перекошується в бік більшого r.

Щоб побачити, як ця асиметрія призводить до теплового розширення, подивіться, як теплова енергія впливає на середню довжину зв'язку. По-перше, подумайте про зв'язок як про пружину (модель, про яку ми поговоримо далі в розділі 9.1). Коли зв'язок вібрує навколо своєї рівноважної довжини r ₀, теплова енергія, яка є кінетичною енергією, перетворюється в і виходить з потенційної енергії в зв'язку. Мінімальна довжина зв'язку r _min і максимальна довжина зв'язку r _max визначаються тим, де швидкість вібрації дорівнює нулю - де зв'язок знищив всю кінетичну енергію (теплову енергію) і перетворив її на потенційну енергію.

Графічно проводимо горизонтальну лінію на висоті Е _{теплової} вище мінімальної енергії. Ця лінія двічі перетинає потенційно-енергетичну криву, при r = r _min і при r = r _max. Оскільки крива потенційної енергії перекошується вправо, у напрямку r r ₀, середня довжина зв'язку r _avg = (r _min + r _max) /2 більша за r ₀. У міру зростання E _{теплового} перекіс впливає на середнє значення більше, а різниця між r _avg і r ₀ зростає: додавання теплової енергії збільшує довжину зв'язку. Тому речовини при нагріванні розширюються.

8.3.2.3 Температура ядра Сонця

Як наш останній приклад, ми оцінимо температуру ядра Сонця. Сонце, як і атмосфера, є результатом конкуренції між тепловим рухом і гравітацією: тепловий рух розширює Сонце; гравітація стискає Сонце. Безрозмірною мірою відносної сили двох ефектів є

\[\beta \equiv \frac{\textrm{thermal energy}}{\vert \textrm{gravitational potential energy} \vert}.\]

Чисельник, теплова енергія для однієї частинки, становить всього k _B T. Для знаменника нам потрібно знати масу частки. Саме Сонце зроблено з водню, але в ядрі Сонця теплової енергії більш ніж достатньо, щоб зняти електрон з протона (як ви переконалися в Задачі 8.19). Кожен протон отримує гравітаційну потенційну енергію від решти Сонця, яке має масу М _Сонця. Решта Сонця, якщо зімкнутися в масивну частинку, була б на відстані, порівнянній з R _Sun, де R _Sun - радіус Сонця. Отже, типова гравітаційна потенційна енергія (на частинку) становить

\[E_{gravitational} \sim \frac{GM_{Sun}m_{p}}{R_{Sun}},\]

де містить знак мінус в потенційній енергії. Відношення енергій, отже,

\[\beta \sim \frac{k_{B}T}{GM_{Sun}m_{p}/R_{Sun}},\]

і він виробляє наступні три режими.

При першому режимі Сонце занадто холодно для своїх розмірів, тому гравітація виграє конкуренцію і стискає сонце. Це скорочення показує різницю між теплогравітаційною конкуренцією на Сонці та в атмосфері Землі (Розділ 8.3.2.1). Температура атмосфери визначається температурою чорноготіла Землі, приблизно 300 К (Задача 5.43). Таким чином, в нашому аналізі висоти атмосфери ми утримували температуру фіксованою і дозволяли лише висоті змінюватися, поки вона не виробляє гравітаційну енергію, щоб відповідати фіксованій тепловій енергії. Однак на Сонці температура визначається швидкістю реакцій плавлення, яка залежить від температури та щільності: вища щільність означає більш часті зіткнення, які можуть призвести до плавлення, а більш висока температура (швидший тепловий рух) означає, що кожне зіткнення має більший шанс в результаті чого відбувається злиття. Таким чином, у міру скорочення Сонця щільність збільшується, як і температура і швидкість реакції. Скорочення припиняється, коли температура досить висока для теплового руху, щоб врівноважити гравітацію.

(Є нюанс. Якщо зірка стискається дуже швидко, її ядро може нагріватися швидше, ніж процес негативного зворотного зв'язку може протистояти зміні. Потім ядро запалюється, як гігантська воднева бомба, і зірка стає надновою.)

При третьому режимі Сонце занадто жарко для своїх розмірів, тому тепловий рух виграє конкуренцію і розширює Сонце. Коли Сонце розширюється, швидкість реакції, температура та теплова енергія падають - поки тепловий рух знову не врівноважує гравітацію. В результаті виходить середній режим. У середньому режимі Сонце має тільки правильну температуру - визначається умовою\(k_{B}T \sim GM_{Sun} m_{p}/R_{Sun},\), тому

\[T \sim \frac{GM_{Sun}m_{p}}{k_{B}R_{Sun}}.\]

Протонна маса m _p в чисельнику та константа Больцмана k _B у знаменнику легше обробляти, якщо помножити кожну константу на число Авогадро N _A. Твір N _A k _B - універсальна газова постійна R. Продукт m _p N _A - молярна маса протонів, яка приблизно дорівнює молярній масі водню: 1 грам на моль. Тоді

\[T \sim \frac{\overbrace{6.7 \times 10^{-11} kg^{-1} m^{3} s^{-2}}^{G} \times \overbrace{2 \times 10^{30} kg}^{M_{Sun}} \times \overbrace{10^{-3} kg mol^{-1}}^{N_{A}m_{p}}}{\underbrace{8Jmol^{-1}K^{-1}}_{N_{A}k_{B}} \times \underbrace{0.7 \times 10^{9} m}_{R_{Sun}}}.\]

Щоб оцінити T, почніть з найважливішого твору.

1. Одиниці. Обернені родимки в чисельнику і знаменнику скасовують. Потім чисельник вносить kg m ³ s ⁻², що дорівнює J m. Знаменник сприяє J K ⁻¹ m. Отже, J m у чисельнику та знаменнику скасовуються, а обернені кельвіни у знаменнику стають кельвінами температури ядра Сонця.
2. Повноваження десять. Чисельник вносить 16 степенів з десяти; знаменник вносить 9. В результаті виходить 7 ступенів з десяти. Таким чином, температура буде порівнянна з 10 ⁷ К.
3. Чисельний префактор. 6.7 в чисельнику в основному скасовується на 8 × 0,7 в знаменнику, залишаючи лише 2 в чисельнику. Таким чином, температура становить приблизно 2×10 ⁷ К.

Ніхто не вимірював внутрішню температуру безпосередньо, але поточна найкраща оцінка температури ядра становить 1,5 × 10 ⁷ К. Наша модель конкуренції між гравітацією та тепловим рухом напрочуд точна.

Вправа\(\PageIndex{12}\): Thermal versus electronic energy

Порівняйте теплову енергію (на частку) в ядрі Сонця з енергією зв'язування водню. Чи були ми виправдані, припускаючи, що електрони позбавляються від протонів?