8.2: Два режими

Після розігріву з прикладами в розділі 8.1 давайте тепер систематично розглянемо, як користуватися методом легких випадків. Насамперед необхідно визначити безрозмірну величину. Як тільки ви це дізнаєтеся - давайте\(\beta\) назвемо це - поведінка системи майже завжди ділиться на три\(\beta\) режими: 1\(\beta\), ⟩ 1 (або\(\beta\) = 1), і\(\beta\) ⟩ 1. При загальному спрощенні, яке є предметом даного розділу, один режим неможливий, тому залишаються два режими. (У розділі 8.3 ми обговоримо, що робити, коли залишаються всі три режими.) Це спрощення може статися через те, що симетрія робить режими\(\beta\) bookend 1\(\beta\) і ⟩ 1 еквівалентними (Розділ 8.2.1) або тому, що геометричне або фізичне обмеження виключає один режим (Розділ 8.2.2).

8.2.1 Тільки два режими через симетрію

Режими\(\beta\) підставки 1 і\(\beta\) ⟩ 1 часто пов'язані симетрією. Тоді аналіз на одній книзі може бути використаний як аналіз для іншого стенду, і дійсно є два режими: симетричний букенд і середній режим.

8.2.1.1 Чому множення важливіше додавання

Як приклад, ось пояснення простих випадків, чому при оцінці множення є більш важливою операцією, ніж додавання. Скажімо, ми оцінюємо вартість, силу або споживання енергії, яке розбивається на дві частини A і B, щоб скласти разом - наприклад, енергію для опалення та транспортування. Оцінка A + B, здається, вимагає додавання.

Потреба зникає після того, як ми вивчимо режими легких випадків. Режими визначаються безрозмірною величиною. Оскільки A і B мають однакові розміри, їх співвідношення A/B є безрозмірним, і воно класифікує три режими простих випадків.

При першому режимі сума A + B дорівнює приблизно B. У симетричному третьому режимі сума дорівнює приблизно А. Загальна риса першого і третього режимів - їх інваріантний - полягає в тому, що один внесок домінує над іншим. Тільки другий режим, де A B відрізняється. Щоб впоратися з цим, просто зробіть наближення, що A = B; потім A + B ≈ 2 A.

Отже, при оцінці A + B додавання нам не потрібно. У першому і третьому режимах ми просто вибираємо більший внесок, A або B. У другому режимі просто множимо на 2.

8.2.1.2 Площа еліпса

Математичний приклад такого роду симетрії буває при вгадуванні площі еліпса. Безрозмірна величина - це його співвідношення сторін a/b, де a - половина горизонтального діаметра, а b - половина вертикального діаметра. Ось режими.

^{Перший і третій режими ідентичні через симетрію: Interchanging a і b повертає еліпс на 90 (і відображає його через свою вертикальну вісь), не змінюючи його площі.} Тому будь-яка запропонована формула для місцевості повинна працювати в першому режимі, повинна задовольняти вимогу симетрії, щоб перемикання a і b не впливало на площу (тим самим піклуючись про третій режим), і повинні працювати на коло (другий режим).

Через вимогу симетрії прості, але асиметричні модифікації площі кола, а саме,\(\pi a^{2}\) і\(\pi b^{2}\) - не можуть бути площею еліпса. Правдоподібною, симетричною альтернативою є\(\pi (a^{2} + b^{2})/2\). У другому режимі, де\(a=b\), він правильно прогнозує площу кола. Однак це не вдається в першому режимі: Площа не дорівнює нулю, навіть якщо a = 0.

Чи є альтернатива, яка проходить всі три тести?

Вдалою альтернативою є\(\pi a b\). Він прогнозує нульову площу, коли a = 0; вона симетрична; і вона працює, коли a = b. Це також правильна площа.

8.2.1.3 Верстат для дерева

У попередніх прикладах ми мали готову безрозмірну групу і використовували її для класифікації трьох режимів простих випадків. Наступний приклад показує, що ви робите, коли немає групи під рукою: Використовуйте аналіз розмірів, щоб зробити її. Потім використовуйте групу, щоб класифікувати режими і зрозуміти поведінку системи. Легкі випадки та аналіз розмірів працюють разом.

Прикладом є машина Етвуда, основна частина навчальної програми вступної механіки. Дві маси, м ₁ і м ₂, з'єднані безмасовою, що не тертя струною і вільні рухатися вгору-вниз через шківа. Ця машина, винайдена преподобним Джорджем Етвудом, зменшує ефективне гравітаційне прискорення на відому фракцію і полегшує вивчення руху з постійним прискоренням. (Історичне обговорення машини Етвуда дається Томасом Грінслейдом в [27].) Сьогодні його принцип використовується в ліфтах: кабіна ліфта - м ₁, а зустрічна вага - м ₂.

Що таке прискорення мас?

Наш другий крок - визначити режими простих випадків, але наш перший крок - знайти безрозмірну групу, яка їх класифікує. Тому складаємо наш список відповідних величин і їх розмірів. Мета - прискорення мас. Оскільки вони з'єднані струною, їх прискорення мають однакову величину, але протилежні напрямки. Дозвольте a бути спадним прискорення маси зліва - незалежно від того, маркується вона m ₁ або m ₂ (планування застосування симетрії). Оскільки a - це наша цільна кількість, це перша кількість у списку. Рух викликається гравітацією, тому список включає г. Нарешті, маси впливають на прискорення, тому в список входять m ₁ і m ₂. І ось і весь список.

a	ЛТ ^-2	прискорення
г	ЛТ ^-2	гравітація
м 1	М	маса лівого блоку
м 2	М	маса правого блоку

Чи не впливає напруга також на прискорення?

Напруга має важливий ефект: без напруги не було б проблем вирішити, тому що кожна маса прискорилася б вниз при g. Однак напруга є наслідком m ₁, m ₂, а g —величин, які вже є у списку. Таким чином, напруга є надмірною; додавання його лише заплутає аналіз розмірів.

Цей список містить лише два незалежних виміри: маса (M) та прискорення (LT ⁻²). Чотири величини, побудовані з двох незалежних розмірів, створюють дві незалежні безрозмірні групи. Найбільш природним вибором є коефіцієнт прискорення a/ g і співвідношення маси m _{1/m 2}. Тоді найзагальнішим безрозмірним твердженням є

\[\frac{a}{g} = f (\frac{m_{1}}{m_{2}}),\]

де\(f\) безрозмірна функція.

Хоча наступним кроком є використання простих випадків, щоб вгадати безрозмірну функцію, спочатку зробіть паузу на мить. Чим більше ми думаємо зараз, щоб вибрати відповідне уявлення, тим менше алгебри нам доведеться зробити пізніше. Тут співвідношення m _{1/m 2} не дотримується симетрії задачі. Переміщення мас m ₁ і m ₂ перетворює м ₁/м ₂ в свою зворотну: піднімає відношення до потужності −1. Тим часом, оскільки ліва маса тепер m ₂, яка має протилежне прискорення m ₁, ця операція симетрії змінює знак прискорення a (який вимірює прискорення лівої маси вниз): вона примножує прискорення на −1. Функція\(f\) повинна буде включити цю зміну в характер симетрії і доведеться наполегливо попрацювати, щоб перетворити m _{1/m 2} в прискорення. Тому\(f\) буде складно і важко здогадатися. (Ви можете знайти його в будь-якому випадку в Задачі 8.3.)

_{Більш симетричною альтернативою співвідношенню m 1/m 2 є різниця m 1 − m 2.} Тепер перемикання m ₁ і m ₂ заперечує m ₁ − m ₂, так само, як це заперечує прискорення. На жаль, m ₁ − m ₂ не безрозмірний! Має розміри маси. Щоб зробити його безрозмірним, нам потрібно розділити його на іншу масу, скажімо m ₁, щоб зробити (m ₁ − m ₂)/m ₁. На жаль, цей вибір відмовляється від нашої улюбленої симетрії. Поділ замість цього симетричною комбінацією m ₁ + m ₂ вирішує всі завдання. Назвемо результат x:

\[x \equiv \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}.\]

Це співвідношення є безрозмірним і поважає симетрію проблеми. З нею, як безрозмірною групою, найбільш загальним безрозмірним твердженням є

\[\frac{a}{g} = h(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1}+m_{2}}),\]

де - безрозмірна функція (відмінна від\(f\)). (Ця комбінація m ₁ і m ₂ не задовольняє визначенню групи, наведеної в розділі 5.1.1, як безрозмірного добутку величин, підвищених до різних ступенів. Однак варто розширити поняття, включивши такі комбінації.)

Щоб здогадатися, вивчіть режими легких випадків відповідно до х. Їх три: х = −1 (уявіть, що m ₁ = 0), x = 0 (коли m ₁ = m ₂), і x = +1 (уявіть, що m ₂ = 0). Тут ви бачите, як нам допомагають легкі кейси. Кінцівка першого і третього режимів і простота другого режиму підсилюють нашу фізичну інтуїцію і допомагають нашій кишці передбачити поведінку.

При першому режимі m ₂ падає так, ніби на іншому кінці струни не було маси. Таким чином, m ₁ піднімається з прискоренням + г. Оскільки a вимірює низхідне прискорення лівої маси, a = − g. У третьому, симетричному режимі m ₁ розганяється вниз так, ніби на іншому кінці немає маси, тому a = + г. У другому режимі, де x = 0 або m ₁ = m ₂, маси знаходяться в рівновазі, а а = 0.

Ось три простих випадки, побудовані на графіку безрозмірного прискорення a/g проти параметра безрозмірної маси x. Виходячи з цього графіка, найпростіша гіпотеза, освічена здогадка, полягає в тому, що повний графік (x) - це пряма лінія одиничного нахилу, що проходить через три точки. Таким чином, його рівняння a/g = х. З точки зору мас рівняння

\[\frac{a}{g} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}.\]

У задачі 8.4 (d) ви вирішуєте для прискорення, використовуючи закони Ньютона, щоб знайти напругу в струні. Тоді ви підтвердите нашу розумну здогадку, засновану на міркуваннях простих випадків.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Using the less symmetric dimensionless group

Знайдіть безрозмірну функцію на\(f\) основі більш простої, але менш симетричної безрозмірної групи\(m_{1}/m_{2}\):

\[\frac{a}{g} = f(\frac{m_{1}}{m_{2}}).\]

Порівняйте його з безрозмірною функцією, яка є результатом вибору симетричної форми\((m_{1}-m_{2})/(m_{1} + m_{2})\) як незалежної змінної.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Tension in the string in Atwood's machine

У цій задачі ви використовуєте легкі випадки, щоб вгадати натяг в сполучній струні.

а. напруга Т, як і прискорення, залежить від м ₁, м ₂ і г. Поясніть, чому ці чотири величини утворюють дві незалежні безрозмірні групи.

б. вибрати дві відповідні незалежні безрозмірні групи, щоб можна було записати рівняння для натягу в такому вигляді:

\[\textrm{group proportional to } T = f(\textrm{(group without } T \textrm{).}\]

c Використовуйте легкі випадки, щоб здогадатися\(f\); потім ескіз\(f\).

d Вирішити для T, використовуючи діаграми вільного тіла та закони Ньютона. Потім порівняйте цей результат з вашим здогадкою в частині (c), і використовуйте T, щоб знайти, прискорення вниз m ₁.

8.2.2 Тільки два режими через обмеження

У попередніх прикладах існували три режими безрозмірної величини, але два режими книги були пов'язані операцією симетрії і тому були однаковою ситуацією. Тому якісно різних режимів було всього два. У наступній групі прикладів існує лише два режими з різних причин: Геометричне або фізичне обмеження виключає один режим книги.

8.2.2.1 Дальність дії снарядів

У розділі 4.2.3 ми використовували пропорційні міркування, щоб показати, що дальність дії снаряда повинна мати вигляд\(R \sim v^{2}/g\), де\(v\) його швидкість запуску. Однак ми не визначили, як кут запуску\(\theta\) впливає на дальність. Ми можемо зробити це за допомогою простих випадків, за допомогою аналізу розмірів.

Тепер задача містить чотири величини: R\(v\), g, і\(\theta\). Чотири величини, що містять дві незалежні розміри (наприклад, L і T), утворюють дві незалежні безрозмірні групи. Розумною парою є кут запуску\(\theta\) - який вже є безрозмірним - і, виходячи з результатів пропорційного міркування,\(Rg/v^{2}\). Тоді найзагальнішим безрозмірним твердженням є

\[\frac{Rg}{v^{2}}= f(\theta),\]

де\(f\) безрозмірна функція. Рішення для R,

\[R = \frac{v^{2}}{g} \times f(\theta).\]

Розмірний аналіз не говорить нам про форму\(f\), але ми можемо здогадатися, вивчивши легкі випадки. Легкі міркування - це спосіб введення фізичних знань.

Оскільки кути безрозмірні,\(\theta\) можна класифікувати режими простих випадків. Природні легкі випадки будь-якої кількості - це його крайності\(\theta\): 1 (наш звичайний перший режим) і\(\theta\) ⟩ 1 (наш звичайний третій режим). Режим\(\theta\) 1 включає найменший кут запуску\(\theta\) = ⁰. Тоді дальність дорівнює нулю: снаряд запускається на рівні землі, запускається горизонтально і відразу б'є об землю. Однак протилежна крайність\(\theta\) ⟩ 1 не корисна, оскільки кути періодичні. Будь-який кут за 2\(\pi\) вже обробляється кутом менше 2\(\pi\). Таким чином, наш звичайний третій режим геометрично виключається.

Наш звичайний другий режим\(\theta\) - 1. Тут легкий кут, порівнянний з 1 (в радіанах)\(\theta\) дорівнює 90 ⁽\(\pi\)/2 радіани). Цей кут описує вертикальний запуск, який не створює жодного діапазону. Таким чином, R в цьому режимі також дорівнює 0.

Отже, два режими є\(\theta\) = 0 (\(\theta\)приклад 1) і\(\theta\) =\(\pi\) /2 (\(\theta\)приклад 1).

Які розумні функції задовольняють два обмеження простих випадків\(f(\theta)\)?

Однією з таких функцій є добуток двох прямих ліній, кожна з яких забезпечує виконання одного з обмежень:

\[f(\theta) = \theta (\frac{\pi}{2} - \theta).\]

Однак така функціональна форма виглядає забавно. \(\pi\)2 у другому факторі з'являється за допомогою магії, без очевидного походження в рівняннях вільного падіння. Гірше того, ворожіння не періодичне. Збільшення\(\theta\) на 2 не\(\pi\) повинно змінювати діапазон, але це змінює це запропоноване\(f\). Таким чином, нам потрібно продовжувати шукати.

Подібною, але менш магічною формою, також добутком двох факторів, є

\[f(\theta) \sim sin \theta cos \theta.\]

\(\theta\)Коефіцієнт cos гарантує це\(f (\pi/2) = 0\). \(\theta\)Фактор гріха гарантує це\(f(0) = 0\). Ця функціональна форма також носить періодичний характер. І це має фізичне обгрунтування: гріх\(\theta\) - це тригонометричний фактор, який перетворює швидкість запуску у\(v\) вертикальну складову\(v_{y}\);\(theta\) коефіцієнт cos робить те ж саме для горизонтальної складової\(v_{x}\). Оскільки ці швидкості з'явилися в пропорційно-міркувальному аналізі Розділу 4.2.3, ми вже знаємо, що вони фізично релевантні, роблячи цю функціональну форму більш правдоподібною, ніж попередня форма.

Отриманий діапазон, включаючи ефект кута, потім

\[R \sim \frac{v^{2}}{g} sin \theta cos \theta.\]

Ця форма правильна, і безрозмірний префактор виявляється 2 (як ви можете показати в Задача 8.5).

Вправа\(\PageIndex{3}\): Finding the dimensionsless constant

Розширте пропорційно-міркувальний аналіз Розділу 4.2.3, щоб показати, що відсутній безрозмірний префактор в дальності снарядів дорівнює 2.

8.2.2.2 Легкий вигин з великими кутами

Наш наступний приклад фізичної межі, що виключає третій режим, також передбачає кут: вигин світла гравітацією.

У розділі 6.4.6 ми використовували кульки, щоб виявити, що гравітаційне поле з маси m згинає світло на кут

\[\theta \sim \frac{Gm}{rc^{2}},\]

де r - відстань найближчого підходу.

Цей кут безрозмірний. Таким чином, давайте використаємо його для категоризації та дослідження легких випадків легкого вигину. Перший режим - 1 -\(\theta\) наприклад, сонце згинає зоряне світло приблизно на 1 дугову секунду. Другий режим -\(\theta\) 1. У цьому режимі з'являється нове фізичне явище, і грудочки допоможуть нам його проаналізувати.

Аналіз грудок заснований на американському телевізійному мультфільмі Дорожнього бігуна, який переслідує Вайл Е. Койот. Дорожній бігун біжить через прірву, за якою слідує койот. Вони круїли так, ніби гравітація зникла, поки дорожній бігун, благополучно через прогалину, не тримає знак зі стрілкою, спрямованою вниз, пояснюючи: «Гравітація таким чином». Койот дивиться вниз, пам'ятає про існування гравітації, і падає в прірву.

У моделі койота світло масштабує повз маси (скажімо, зірки), не знаючи гравітації. Після того, як він зайшов занадто далеко - на відстань, порівнянну з r - зірка тримає знак, що говорить: «Ви забули про гравітацію! Будь ласка, зігніть\(\theta\) зараз!» У цьому другому\(\theta\) режимі, Наступні зображення та аналіз є найбільш чіткими, якщо\(\theta = \pi/2\) (або ⁹⁰), тому давайте використаємо ⁹⁰ для представлення режиму\(\theta\) «1».

Промінь, по команді, згинається на ⁹⁰. Він подорожує і знову нагадує. Відстань найближчого підходу все ще r, так\(\theta\) що все ще ⁹⁰. Промінь простежує квадрат. Хоча промінь насправді не йде цим шляхом своїми гострими кутами, шлях ілюструє фундаментальну особливість режиму\(\theta\) «1»: промінь знаходиться на орбіті навколо зірки. Коли\(\theta\) 1, світло захоплюється сильним гравітаційним полем. Третій режим,\(\theta\) ⟩ 1, не вводить нового фізичного явища - світло все ще захоплюється гравітаційним полем. У будь-якому режимі маса - це чорна діра.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Guessing a variance

Дисперсія - це квадратна міра спреду в розподілі:

\[\textrm{Var} x = \langle x^{2} \rangle - \langle x \rangle ^{2}.\]

де\(\langle x^{2} \rangle\) - середнє або очікуване значення х ² (середній квадрат) і\(\langle x \rangle\) середнє значення х (середнє значення).

a Використовуйте легкий випадок, щоб переконати себе, що середній\(\langle x^{2} \rangle\) квадрат ніколи не менше, ніж квадрат середнього\(\langle x \rangle ^{2}\).

b. найпростіший можливий розподіл має лише дві можливості, x = 0 і x = 1, з ймовірностями 1 − p і p відповідно. Цей розподіл описує кидання монети, де голови (представлені x = 1) придумує ймовірність p. Використовуйте легкі випадки, щоб вгадати Var x

Вправа\(\PageIndex{5}\): Local black hole

Який приблизно найбільший радіус, який може мати Земля зі своєю нинішньою масою і бути чорною дірою?