8.1: Прогрів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 30600

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Почнемо з повсякденного прикладу, щоб нам не довелося обробляти математичну чи фізичну складність разом із вивченням нового інструменту.

8.1.1 Щоденний приклад легких випадків

Одного серпня, отримавши право на одну з податкових пільг на роботі, я вирішив покласти $500 на рахунок витрат на здоров'я календарного року (особливість бюрократичної системи охорони здоров'я Америки). Бюро заробітної плати порадило мені, що вони будуть відраховувати 125 доларів щомісяця на решту року, а саме, за серпень по грудень. Оскільки серпень - восьмий місяць, а грудень дванадцятий місяць, сума виглядала правильно:

\[\frac{$500}{\textrm{12th month -8th month}} = \frac{$500}{\textrm{4 months}} = \frac{$125}{\textrm{month}}.\]

Однак у січні бюро заробітної плати порадило мені, що вони повинні були віднімати лише 100 доларів на місяць.

Яка сума була правильною?

Найпростіший спосіб вирішити - метод легких випадків. Не вирішуйте безпосередньо важку проблему обчислення правильного вирахування в цілому. Натомість уявіть собі простіший світ, в якому я почав віднімати рік у грудні. У цьому простому випадку, коли лише один місяць забезпечує відрахування року, відповідь не вимагає розрахунку: Відніміть 500 доларів на місяць.

Тоді скористайтеся легким випадком і цим результатом, щоб перевірити запропонований рецепт, який передбачив 125 доларів на місяць, коли відрахування почалися в серпні. У легкому випадку, коли відрахування починаються в грудні, початковим і кінцевим місяцями є і дванадцятий місяць, тому рецепт передбачає нескінченне відрахування:

\[\frac{$500}{\textrm{12th month -12th month}} = \frac{$500}{\textrm{0 months}} = \frac{$ \: infinity}{\textrm{month}}.\]

Вони не платять мені достатньо, щоб пережити цей рецепт. Він потребує коригування

\[\frac{$500}{\textrm{12th month -12th month + 1 month}} = \frac{$500}{\textrm{1 month}} = \frac{$500}{\textrm{month}}.\]

Застосовуючи цей змінений рецепт до серпня замість грудневого початку, знаменник становить 5 місяців, а не 4 місяці, а відрахування - 100 доларів на місяць. Переглянута порада з заробітної плати була правильною.

Цей аналіз містить кілька особливостей, які ми можемо абстрагуватися і використовувати для спрощення складних завдань. По-перше, легкі випадки задаються значеннями безрозмірної величини. Тут це різниця$m_{2} - m_{1}$ між числами першого та останнього місяця. По-друге, для конкретних значень безрозмірної величини - для легких випадків - проблема має очевидну відповідь. Тут легкий випадок$m_{2} -m_{1} = 0$. По-третє, розуміння легких випадків переходить на важкі кейси. Тут наше розуміння відмінка$m_{2} - m_{1} =0$ показує, що знаменник повинен бути$m_{2} - m_{1} + 1$ скоріше ніж$m_{2}-m_{1}$.

8.1.2 Легкі випадки ймовірності спільного дня народження

Ті самі легкі міркування допомагають нам перевірити більш незрозумілі формули. Як приклад, поверніть свою думку до парадоксу дня народження Розділу 4.4.

Там ми використовували пропорційні міркування, щоб пояснити, чому нам потрібні лише 23 людини, а не 183 людини, в кімнаті, перш ніж дві людини, ймовірно, розділять день народження. Перевірка прогнозу вимагала точної ймовірності спільного дня народження:

\[p_{shared} = 1 -(1-\frac{1}{365}) (1 - \frac{2}{365}) ... (1- \frac{(n-1)}{365}).\]

Остання частина Задачі 4.23 запитала, чому з n людьми в кімнаті останній фактор цієї ймовірності містить (n − 1) /365, а не n /365.

Найпростіший відповідь походить від легкого випадку n = 1. З однією людиною в кімнаті ймовірність розділити день народження дорівнює нулю. У цьому простому випадку прогнозування формули кандидата з n в чисельнику легко перевірити. Останнім його коефіцієнтом буде 1 − 1/365:

\[p_{\textrm{candidate with } n} = 1 - (1 - \frac{1}{365}).\]

Ця ймовірність дорівнює 1/365, що невірно. Таким чином, при n осіб в кімнаті останній фактор ймовірності спільного дня народження не може містити n /365. На відміну від цього, формула кандидата з (n − 1) /365 в останньому факторі правильно прогнозує нульову ймовірність, коли n = 1:

\[p_{\textrm{candidate with } n-1} = 1 - (1 - \frac{0}{365}) = 0.\]

Цей кандидат повинен бути правильним.

Вправа$\PageIndex{1}$: Sine or cosine by easy cases

Для маси, що ковзає вниз по похилій площині, це її прискорення вздовж площини$g sin \theta$ або$g cos \theta$, де$\theta$ кут площина робить з горизонтальним? Використовуйте легкий випадок, щоб вирішити. Припустимо (легкий випадок!) нульового тертя.

Вправа$\PageIndex{2}$: Friction by easy cases

Для маси задачі 8.1 розслабте припущення нульового тертя. Якщо коефіцієнт тертя ковзання дорівнює$\mu$, вибираємо правильне прискорення блоку по площині: (а)$g(sin \theta \mu cos \theta) $, (b)$g (1+ \mu) sin \theta$, (c$g(sin \theta - \mu cos \theta$)) або (d)$g(1-\mu) sin \theta$.