1.6: Розмова зі своєю кишкою

Last updated
Save as PDF

Page ID: 30488

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як ви бачили в попередніх прикладах, оцінки розділіть і володарюйте вимагають розумних оцінок для кількості листя. Щоб вирішити, що є розумним, ви повинні поговорити зі своєю кишкою - про що ви дізнаєтеся в цьому розділі. Розмова зі своїм кишечником спочатку здається дивним, особливо тому, що наука та інженерія вважаються предметами мозку. Тому давайте обговоримо, як провести розмову. Прикладом буде оцінка населення США на основі його площі та щільності населення. Дерево розділіть і завоюйте має два листочка. (У розділі 6.3.1 ви побачите якісно інший метод, де два листи будуть кількістю штатів США та населення типового штату.)

Площа в ширину рази перевищує висоту, тому сама площа листа розщеплюється на два листочка. Оцінка ширини і висоти вимагає лише короткого діалогу з кишкою, принаймні, якщо ви живете в Сполучених Штатах. Його ширина - це 6-годинний політ літака зі швидкістю 500 миль на годину, тому близько 3000 миль; а висота, як приблизна оцінка, дві третини ширини, або 2000 миль. Тому площа становить 6 мільйонів квадратних миль:

\[3000 \textrm{miles} \times 2000 \textrm{miles} = 6 \times 10^{6} \textrm{miles}^{2}\]

У метричних одиницях вона становить близько 16 мільйонів квадратних кілометрів.

Оцінка щільності населення вимагає розмови зі своїм кишечником. Якщо ви схожі на мене, у вас мало свідомих знань про щільність населення. Ваша кишка може знати, але ви не можете запитати це безпосередньо. Кишечник з'єднаний з правим мозком, який не має мови. Хоча правий мозок знає багато про світ, він не може відповісти цінністю, лише почуттям. Щоб спиратися на свої знання, попросіть його побічно. Виберіть певну щільність населення - скажімо, 100 людей на квадратну милю - і запитайте кишку про її думку: «О, мій інтуїтивний, проникливий, інтровертний правий мозок: Що ви думаєте про 100 людей на квадратну милю для щільності населення?» Відповідь, відчуття кишки, повернеться. Продовжуйте знижувати значення кандидата, поки почуття кишечника не стане: «Ні, це значення відчуває себе занадто низьким».

Ось діалог між моїм лівим мозком (LB) і правим мозком (RB).

ЛБ: Що ви думаєте про 100 людей на квадратну милю?

РБ: Це добре, виходячи з мого досвіду вирощування в Сполучених Штатах.

ЛБ: Я, мабуть, можу кількісно підтримати це почуття. Квадратна миля з 100 людьми означає, що кожна людина займає квадрат, сторона якого становить 1/10 милі або 160 метрів. Виражена в цій формі, чи щільність населення відчуває себе нормально?

РБ: Так, великі відкриті простори в західних штатах, ймовірно, компенсують більш щільні регіони біля узбережжя.

ЛБ: Тепер я буду знижувати оцінку на коефіцієнти 3 або 10, поки ви не заперечуєте, що оцінка відчуває себе занадто низькою. [Коефіцієнт 3 становить приблизно половину множника 10, тому що 3 × 3 ≈ 10. Коефіцієнт 3 - це наступний найменший фактор, за допомогою якого слід рухатися, коли коефіцієнт 10 занадто великий стрибок.] У цьому ключі, як щодо середньої щільності населення 10 людей на квадратну милю?

РБ: Мені незручно. Оцінка відчуває себе трохи низькою.

ЛБ: Я розумію, звідки ви беретеся. Це значення може помірно завищувати щільність населення сільськогосподарських угідь, але, ймовірно, сильно занижує щільність населення в містах. Оскільки вам незручно, давайте рухатися повільніше, поки ви не заперечуєте сильно. Як щодо 3 людей на квадратну милю?

РБ: Якби справжнє значення було нижче, ніж це, я відчував би себе досить здивованим.

ЛБ: Отже, для нижнього кінця я зупинюся на 3 людини на квадратну милю. Тепер перейдемо до верхнього кінця. Ви сказали, що 100 людей на квадратну милю відчували себе правдоподібними. Як ви себе почуваєте близько 300 людей на квадратну милю?

РБ: Я відчуваю себе досить неспокійно. Ця оцінка відчуває себе досить високою.

ЛБ: Я тебе чую. Ваша відповідь нагадує мені, що Нью-Джерсі та Нідерланди, обидва дуже густонаселені, мають 1000 чоловік на квадратну милю, хоча я не міг присягнутися цим значенням. Я не можу собі уявити упаковку цілих Сполучених Штатів щільності, порівнянної з Нью-Джерсії. тому, давайте зупинимося тут: Наша верхня кінцева точка 300 чоловік на квадратну милю

Як ви робите найкраще здогадка на основі цих двох кінцевих точок?

Правдоподібне припущення - використовувати їх середнє арифметичне, яке становить приблизно 150 людей на квадратну милю. Однак правильним методом є середнє геометричне:

\[best \: guess = \sqrt{lower \: endpoint \times upper \: endpoint}\]

Середнє геометричне - це середина нижньої та верхньої меж, але за співвідношенням або логарифмічною шкалою, яка є шкалою, вбудованою в наше ментальне обладнання. (Докладніше про те, як ми сприймаємо кількість, див. Почуття числа [9].) Геометричне середнє - це правильне середнє значення при поєднанні величин, вироблених нашим розумовим обладнанням.

Тут середнє геометричне 30 осіб на квадратну милю: коефіцієнт 10 віддалений від будь-якої кінцевої точки. Використовуючи цю щільність населення,

\[US \: population \sim 6 \times 10^{6} \cancel{miles^{2}} \times \frac{30}{\cancel{miles^{2}}} \approx 2 \times 10^{8}\]

Фактична чисельність населення становить приблизно 3 х 10 ⁸. Оцінка, заснована майже повністю на міркуваннях кишечника, знаходиться в межах 1,5 від фактичного населення - приємно дивовижна точність.

Проблема 1.8 Більше оцінок кишок

Просячи кишку допомогти вам оцінити нижню та верхню кінцеві точки, оцініть (а) висоту сусіднього високого дерева, яке ви можете побачити, (б) масу автомобіля та (c) кількість крапель води у ванні.