1.1: Прогрів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 30490

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Щоб показати, як використовувати міркування розділити і перемогти, ми застосуємо його до все більш складних проблем, які ілюструють його основні особливості. Отже, почнемо з повсякденного кошторису.

Що таке, приблизно, обсяг доларової купюри?

Обсяги важко оцінити. Однак ми все ж повинні зробити швидку здогадку. Навіть неточне припущення допоможе нам практикувати сміливість і, коли ми порівняємо припущення з більш точною оцінкою, допоможе нам відкалібрувати наші внутрішні вимірювальні стрижні. Щоб закликати мене, я часто уявляю собі грабника, який тримає ніж у моїх ребер, вимагаючи: «Ваша здогадка чи ваше життя!» Тоді я суджу, ймовірно, що обсяг доларової купюри лежить між 0,1 і 10 кубічними сантиметрами.

Цей діапазон широкий, охоплюючи коефіцієнт 100. На відміну від цього, ширина доларової купюри, ймовірно, лежить між 10 і 20 сантиметрами - діапазон лише коефіцієнт 2. Діапазон гучності ширший, ніж діапазон ширини, оскільки у нас немає еквівалента лінійки для гучності; таким чином, обсяги менш знайомі, ніж довжини. На щастя, обсяг доларової купюри - це твір довжин.

\[volume = width \times height \times thickness\]

Більш складна оцінка обсягу стає трьома простішими оцінками довжини - перевагою міркувань розділити і перемогти. Ширина виглядає як 6 дюймів, що становить приблизно 15 сантиметрів. Висота виглядає як 2 або 3 дюйми, що приблизно 6 сантиметрів. Але перш ніж оцінювати товщину, поговоримо про одиничних системах.

Чи краще використовувати метричні або звичні одиниці США (такі як дюйми, фути та милі)?

Ваші оцінки будуть більш точними, якщо ви використовуєте найбільш звичні для вас одиниці. Піднятий у Сполучених Штатах, я оцінюю довжину точніше в дюймах, футах і милі, ніж в сантиметрах, метрах або кілометрах. Однак для обчислень, що вимагають множення або ділення - більшість обчислень - я перетворюю звичні одиниці в метричні (і часто перетворюю назад у звичні одиниці в кінці). Але вам може пощастило подумати в метриці. Потім можна оцінити і розрахувати в єдиній системі одиниць.

Третій шматок оцінки розділити і перемогти, товщину, судити важко. Доларова купюра тонка—папір тонкий.

Але наскільки тонка «папір тонка»?

Ця товщина занадто мала, щоб легко схопити і судити. Однак стопка з декількох сотень купюр була б схоплена. Не маючи стільки грошей, що лежить навколо, я буду використовувати папір. Папір, який має 500 аркушів, товщиною приблизно 5 сантиметрів. Таким чином, один аркуш паперу товщиною приблизно 0,01 сантиметра. При такій оцінці по товщині обсяг становить приблизно 1 кубічний сантиметр:

\[\textrm{volume} \approx \underbrace{15cm}_{\textrm{width}} \times \underbrace{6cm}_{\textrm{height}} \times \underbrace{0.01cm}_{\textrm{thickness}} \approx 1 cm^{3}.\]

Хоча більш точний розрахунок може підкоригувати склад волокна доларової купюри порівняно зі звичайним папером і може розглянути шорсткість паперу, ці деталі затемнюють основний результат: доларова купюра - це 1 кубічний сантиметр товчений папір тонка.

Щоб перевірити цю оцінку, я склав доларову купюру, поки сила мого пальця видала, отримуючи приблизно кубічний пакет зі сторонами приблизно 1 сантиметр - роблячи обсяг приблизно 1 кубічний сантиметр!

У попередньому аналізі ви, можливо, помітили символи = і ≈ та їх дещо інше використання. Протягом цієї книги наша мета полягає в розумінні точності. Таким чином, ми будемо використовувати кілька видів символів рівності, щоб описати точність відношення і те, що він опускає. Ось таблиця символів рівності, в порядку убування повноти і часто зростаючого порядку корисності.

\(equiv\)рівність за визначенням	читати як «визначено бути»
= рівність	«дорівнює»
\(\approx\)рівність за винятком чисто числового коефіцієнта поблизу 1	«приблизно дорівнює»
~ рівність, за винятком, можливо, числового коефіцієнта	«приблизно дорівнює» або «порівнянна з»
\(\alpha\)рівність, за винятком, можливо, фактора, який може мати вимір	«пропорційно»

Як приклади видів рівності, для кола нижче\(A = \pi r^{2}\), і\(A \approx 4r^{2}\), і\(A \sim r^{2}\). Для циліндра,\(V \sim hr^{2}\)

—що має на увазі\(V \propto r^{2}\) і\(V \: \propto \: h\). У\(V \: \propto \: h\) вигляді, прихований в\(\propto\) символі фактор має розміри довжини в квадраті.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Weight of a box of books

Наскільки важка маленька рухома коробка, наповнена книгами?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Mass of air in your bedroom

Оцініть масу повітря у вашій спальні.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Suitcase of bills

У кіно, а можливо і в реальності, кокаїн і вибори купуються з валізою на 100 купюр. Оцініть доларову вартість в такій валізі.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Gold or bills?

Як грабіжник банку, що сидить у сховищі, плануючи свій втечу, ви наповнюєте валізу золотими злитками або купюрами в 100 доларів? Припустимо спочатку, що скільки ви можете носити - це фіксована вага. Потім повторіть аналіз, припускаючи, що скільки ви можете нести, є фіксованим обсягом.