22.4: Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, вам задана система з одним входом, n th-го порядку\(x(k + 1) = Ax(k) + bu(k)\), і припустимо, що управління\(u\) на кожному кроці часу обмежується лежати в інтервалі [0, 1]. Припустимо також, що власне значення\(A\), скажімо\(\lambda_{1}\), є дійсним і невід'ємним. Показати, що набір станів, досяжних від початку, обмежується однією стороною гіперплощини через початок в\(\mathcal{R}^{n}\). (Підказка: Власний вектор, пов'язаний з,\(\lambda_{1}\) допоможе вам зробити аргумент.)

[Гіперплощина через початок є (n - 1) -вимірним підпростором, визначеним як множина векторів\(x\) в\(\mathcal{R}^{n}\) якому\(a^{\prime} x=0\), де\(a\) деякий фіксований ненульовий вектор в\(\mathcal{R}^{n}\). Очевидно,\(a\) це нормально для гіперплощини. Дві «сторони» гіперплощини, або два «напівпробіли», визначені нею, є множинами,\(x\) для яких\(a^{\prime} x \leq 0\) і\(a^{\prime} x \geq 0\).]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

З огляду на систему

\ [x (k+1) =\ left (\ begin {масив} {cc}
a & b\\
0 & c
\ end {масив}\ праворуч) x (k) +\ left (\ begin {масив} {c}
d\
e
\ end {масив}\ праворуч) u\ тег {k}\]

де\(a, b, c, d, e\) скаляри, вивести точно, яку умову задовольняють ці коефіцієнти, коли система не досяжна. Намалюйте блок-схему, відповідну вищевказаній системі, і використовуйте її для інтерпретації наступних особливих випадків, коли втрачається досяжність: (a) e = 0; (b) b = 0 і d = 0; (c) b = 0 і c = a.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

(a) Задана система m-вводу\(x(k+1)=A x(k)+B u(k)\), де\(A\) є матриця форми Йордана

\ [A=\ ліворуч (\ почати {масив} {lllll}
2 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0\ 0 &
0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3
\ end {масив} \ праворуч)\ nonumber\]

отримати умови, які є необхідними і достатніми для того, щоб система була доступною. (Підказка: Ваші умови повинні включати \(b_{i}\)рядки\(B\). Деяка форма тесту на модальну доступність буде - не дивно! - привести до найпростішого рішення.)

(b) Узагальнити цей результат досяжності до випадку, коли\(A\) є загальною матрицею\(n \times n\) Йорданської форми.

(c) Враховуючи одновхідну, доступну систему\(x(k + 1) = Ax(k) + bu(k)\), показати, що може бути лише один блок Jordan, пов'язаний з кожним окремим власним значенням\(A\).

Вправа\(\PageIndex{4}\)

З огляду на n -мірну досяжну систему\(x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)\), припустимо, що вона\(u(k)\) генерується за нелінійною схемою зворотного зв'язку, показаною на малюнку\(u(k) = w(k) + f (x(k))\), де,\(f (.)\) будучи довільною, але відомою функцією, і\(w(k)\) є новим керуючим входом для замкнутого циклу система.

Показати, що завжди\(w(k)\) можна вибрати, щоб перемістити стан системи від початку до будь-якого вказаного стану цілі не більше ніж за n кроків. Ви тим самим довели, що досяжність зберігається при (навіть нелінійному) стані зворотного зв'язку.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Розглянемо наступні лінійні системи SISO\(\Sigma\):

\ [\ почати {вирівняний}
x (k+1) &= A (k) х (k) +B (k) u (k)\
y (k) &= C (k) x (k) +D (k) u (k)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

де\(A(k)=A(k+N) \forall k \geq 0\) аналогічно для B (k), C (k) і D (k)

(a) Показати, що\(\Sigma\) це N-Періодичний, тобто, для нульових початкових умов, показати, що якщо y є вихідною відповіддю для деякого входу u, то\(y(k - N)\) є вихідною відповіддю для\(u(k - N)\). Припустимо для простоти, що\(u(k) = 0\) для\(k < 0\). Ми хочемо отримати інше уявлення про цю систему, з якою простіше працювати. Щоб досягти цього, ми згрупуємо всі\(N\) наступні входи, починаючи з\(k = 0\). Те ж саме зробимо і для виходу. Якщо бути більш точним, ми визначимо відображення\(L\), зване ліфтинг, таке, що

\[L:(u(0), u(1), u(2), \ldots, u(k), \ldots) \rightarrow \tilde{u}\nonumber\]

де

\ [\ тильда {u} =\ зліва (\ left (\ begin {масив} {c}
u (0)\\
u (1)\
\ vdots\\
u (N-1)
\ кінець {масив}\ справа),\ лівий (\ початок {масив} {c}
u (N)\\
u (N+1)\
\ vdots\
u (2 N-1)
\ кінець {масив }\ праворуч),\ cdots,\ left (\ begin {масив} {c}
u (k N)\\
u (k N+1)\
\ vdots\\
u ((k+1) N-1)
\ кінець {масив}\ справа),\ cdots\ право)\ nonumber\]

Аналогічно,\(L: y \rightarrow \tilde{y}\)

(b) Показати, що система відображення\(\tilde{u}\) на\(\tilde{y}\) є лінійним часом інваріантним. Ми позначимо це тим\(\tilde{\Sigma}\), що піднята система. Які розміри входів і виходів. (Іншими словами, піднявши входи і виходи, ми позбулися періодичності системи і отримали Multi-Input Multi-Output System).

(c) Дайте державний простір опис піднятої системи. (Підказка: Виберіть як змінну стану\(\tilde{x}(k)=x(k N)\), тобто зразки вихідного вектора стану. Обгрунтуйте цей вибір.

(d) Показати, що досяжний підпростір піднятої системи\(\tilde{\Sigma}\) включений до досяжного підпростору періодичної системи\(\Sigma\). Показати, що зворотне є істинним, якщо періодична система досяжна за\(T\) кроком\(T = rN\) (кратний періоду).

(e) Чи правда, що досяжність періодичної системи\(\Sigma\) передбачає доступність піднятої системи\(\tilde{\Sigma}\). Довести або показати лічильник приклад.