22.3: Модальні аспекти

Наступний результат починає робити зв'язок досяжності з модальною структурою.

Слідство\(\PageIndex{22.1}\)

Досяжний підпростір\(\mathbb{R}\)\(A\) -інваріантний, тобто\(x \in \mathbb{R} \Longrightarrow A x \in \mathbb{R}\). Пишемо це як\(A \mathbb{R} \subset \mathbb{R}\)

Доказ

Ми вперше показуємо

\[R a\left(A R_{n}\right) \subset R a\left(R_{n}\right)\label{22.12}\]

Для цього зверніть увагу, що

\ [A R_ {n} =\ left [\ begin {масив} {l|l|l}
A^ {n} B & A^ {n-1} B &\ cdots & A B
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Останні\(n - 1\) блоки присутні в\(R_{n}\), тоді як теорема Кейлі-Гамільтона дозволяє нам писати\(A^{n}B\) як лінійну комбінацію блоків в\(R_{n}\). Це встановлює (22.12). З цього випливає\(x=R_{n} \alpha \Longrightarrow A x=A R_{n} \alpha=R_{n} \beta \in \mathbb{R}\).

Деякі відчувають, як цей результат з'єднується з модальною структурою, може бути отриманий, розглядаючи, що станеться, якщо підпростір\(\mathbb{R}\) є одновимірним. Якщо\(v(\neq 0)\) є базовим вектором для R, то Слідство 22.1 стверджує, що

\[A v=\lambda v\label{22.13}\]

для деяких\(\lambda\),\(\mathbb{R}\) тобто простір, охоплений власним вектором\(A\). Більш загально, правда, що будь-який\(A\) -інваріантний підпростір є прольотом деяких власних векторів та узагальнених власних векторів\(A\). (Виявляється,\(\mathbb{R}\) це найменший\(A\) -інваріантний підпростір, який містить\(Ra(B)\), але ми не будемо переслідувати цей факт.)

Модальні тести на доступність

Негайне застосування стандартної форми полягає в тому, щоб довести наступний модальний тест на (не) досяжність

Теорема\(\PageIndex{22.2}\)

Система (22.1) є недоступною тоді і тільки тоді,\(w^{T} B=0\) коли для деяких лівий власний вектор\(w^{T}\)\(A\). Ми говоримо, що відповідне власне значення\(\lambda\) є недосяжним власним значенням.

Доказ

Якщо\(w^{T} B=0\) і\(w^{T} A=\lambda w^{T}\) з\(w^{T} \neq 0\), то\(w^{T} A B=\lambda w^{T} B=0\) і аналогічно\(w^{T} A^{k} B=0\)\(w^{T} R_{n}=0\), так, тобто система недосяжна.

І навпаки, якщо система недосяжна, перетворіть її в стандартну форму (22.14). Тепер давайте\(w_{2}^{T}\) позначимо лівий власний вектор\(A_{2}\), з власним значенням\(\lambda\). Тоді\ (w^ {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
0 & w_ {2} ^ {T}
\ end {array}\ right]\) є лівим власним вектором перетвореної\(A\) матриці, а саме\(\bar{A}\), і ортогональний до (стовпців) перетвореного\(B\), а саме\(\bar{B}\).

Альтернативна форма цього тесту з'являється в наступному результаті.

Слідство\(\PageIndex{22.2}\)

Система (22.1) недосяжна тоді і лише тоді, коли\ (\ left [\ begin {array} {l|l}
z I-A & B
\ end {array}\ right]\) втрачає ранг для деяких\(z = \lambda\). \(\lambda\)Це тоді недоступне власне значення.

Доказ

Матриця\ (\ left [\ begin {масив} {l|l}
z I-A & B
\ end {масив}\ право]\) має менше повного рангу при\(z = \lambda\) iff\ (w^ {T}\ left [\ begin {масив} {ll}
s I-A & B
\ end {масив}\ право] =0\) для деяких\(w^{T} \neq 0\). Але це еквівалентно тому, що лівий власний вектор ортогонального до (стовпців)\(B\).\(A\)

Приклад\(\PageIndex{22.2}\)

Розглянемо систему

\ [x (k+1) =\ піддужка {\ left [\ begin {масив} {cc}
3 &
0\ 0 & 3
\ end {масив}\ право]} _ {A} x (k) +\ лівий [\ begin {масив} {c}
1\
1
\ end {масив}\ праворуч]} _ {B} u\ тег {k}\]

Ліві власні вектори,\(A\) пов'язані з його власним значенням,\(\lambda=3\) є\ (w_ {1} ^ {T} =\ left [\ begin {масив} {ll}
1 & 0
\ end {масив}\ право]\) і\ (w_ {=} ^ {T}\ left [\ begin {масив} {ll}
0 & 1
\ end {масив}\ право]\), жоден з яких не є ортогональним до \(B\). Однак\ (w_ {0} ^ {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & -1
\ end {array}\ right]\) також є лівим власним вектором, пов'язаним з ним\(\lambda=3\), і є ортогональним до\(B\). Цей приклад призводить додому той факт, що модальний тест на недоступність запитує лише деякі ліві власні вектори, щоб бути ортогональними\(B\).

Йорданська мережа інтерпретації

Нагадаємо, що система (22.1) може розглядатися як має в своїй основі колекцію «Йорданських ланцюгів». Досяжність, яку ми вперше представили з точки зору досягнення цільових станів, виявляється також описує нашу здатність самостійно «збуджувати» або керувати ланцюгами Йорданії. Це означає, що досяжний підпростір є\(A\) -інваріантним підпростором, і є причиною того, що існують попередні модальні тести на доступність.

Найважливішим для досяжності є можливість збуджувати початок кожного ланцюга; це збудження може потім поширюватися по ланцюгу. Додаткова умова потрібна, якщо кілька ланцюжків мають однакове власне значення; в цьому випадку нам потрібно вміти самостійно порушувати початок кожної з цих ланцюжків. (Приклад 22.2 ілюструє, що досяжність втрачається інакше; лише з одним входом ми не можемо самостійно порушити два однакових ланцюга.) При різних власних значеннях нам не потрібно нав'язувати цю умову незалежності; відмінність власних значень дозволяє незалежні рухи.

Деяке додаткове розуміння виходить при більш детальному розгляді відмінного випадку власних значень. У цьому випадку\(A\) in (22.1) є діагональним, і\(A=V \Lambda W\), де стовпці\(V\) є правими власними векторами,\(A\) а рядки -\(W\) лівими власними векторами\(A\). Бо у\(x(0) = 0\) нас є

\[x(k)=\sum_{\ell=1}^{n} v_{\ell} w_{\ell}^{T} B g_{\ell}(k)\label{22.18}\]

де

\[g_{\ell}(k)=\sum_{i=0}^{k-1} \lambda_{\ell}^{k-i-1} u(i)\label{22.19}\]

Якщо\(w_{j}^{T} B=0\) для деяких\(j\), то (22.18) показує, що\(x(k)\) обмежується прольотом\(\left\{v_{\ell}\right\}_{\ell \neq j}\) тобто система недоступна. Наприклад, припустимо, що у нас є система другого порядку (n = 2), і припустимо\(w_{1}^{T} B=0\). Тоді якщо\(x(0) = 0\), відповідь на будь-який вхід повинен лежати разом\(v_{2}\). Це означає, що\(v_{2}\) охоплює досяжний простір, і що будь-який стан, який має компонент уздовж,\(v_{1}\) недоступний.