22.2: Проблема досяжності

У попередніх лекціях розглядалися розв'язки моделей стан-простору, стійкість некерованих моделей, деякі властивості взаємозв'язків та стабільність вхід-виводу. Тепер ми перейдемо до більш детального вивчення того, як вхідні дані впливають на стани, для системи DT\(n^{th}\) -порядку

\[x(i+1)=A x(i)+B u(i)\label{22.1}\]

(Обговорення досяжності у випадку DT, як правило, простіше, ніж у випадку КТ, який ми розглянемо в наступній главі, але деякі структурні тонкощі, які приховані у випадку КТ, стають більш очевидними у випадку DT. Здебільшого, однак, DT призводить до паралельних результатів КТ досить тісно.)

Нагадаємо, що

\ [\ почати {вирівняний}
x (k) &=A^ {k} x (0) +\ sum_ {i = 0} ^ {k-1} A^ {k-1} B u (i)\\
&=A^ {k} х (0) +\ ліворуч [A^ {k-1} Б\ ліворуч | A^ {k-2} Б\ праворуч | cdots\ середина B\ праворуч]\\
&=A^ {k} x (0) +R_ {k}\ mathcal {U} _ {k}
\ кінець {вирівняний}\ мітка {22.2}\]

де визначення\(R_{k}\) і\(U_{k}\) повинно бути зрозуміло з рівняння, яке їм передує. Тепер розглянемо, чи і як ми можемо вибрати послідовність введення\(u(i), i \in[0, k-1]\), щоб перемістити систему з\(x(0) = 0\) бажаного цільового стану\(x(k) = d\) в даний момент часу\(k\). Якщо є такий вхід, ми говоримо, що стан\(d\) досягається\(k\) кроками. З (22.2) видно, що | припускаючи, що на вході немає обмежень - сукупність\(\mathbb{R}_{k}\) станів, досяжних від початку в\(k\) кроках, або\(k\) -reachable set, є саме діапазоном\(R_{k}\), тобто

\[\mathbb{R}_{k}=R a\left(R_{k}\right)\label{22.3}\]

Таким чином, набір\(k\) -reachable є підпростором і може називатися\(k\) -reachable підпростір. Матрицю ми\(R_{k}\) називаємо матрицею досяжності\(k\) -step.

Теорема\(\PageIndex{22.1}\)

Для\(k \leq n \leq \ell\),

\[R a\left(R_{k}\right) \subseteq R a\left(R_{n}\right)=R a\left(R_{\ell}\right)\label{22.4}\]

Таким чином, сукупність станів, досяжних від походження в деякому (кінцевому) кількості кроків шляхом відповідного вибору контролю є саме підпростором станів, досяжним\(n\) кроком.

Доказ

Той факт, що\(R a\left(R_{k}\right) \subseteq R a\left(R_{n}\right)\) для\(k \leq n\) випливає тривіально з того, що\(R_{k}\) колони в- замкнуті серед тих з\(R_{n}\). Щоб показати, що\(R a\left(R_{n}\right)=R a\left(R_{\ell}\right)\) для\(\ell \geq n\), зверніть увагу з теореми Кейлі-Гамільтона, що\(A^{i}\) для\(i \geq n\) може бути записана як лінійна комбінація\(A^{n-1}, \cdots, A, I\), тому всі стовпці\(R_{\ell}\) for\(\ell \geq n\) є лінійними комбінаціями стовпців\(R_{n}\). Таким чином (22,4) доведено, а решта твердження теореми слід безпосередньо.

З огляду на теорему 22.1, підпростір станів, досяжних\(n\) кроками\(Ra(Rn)\), тобто називається досяжним підпростором, і буде позначено просто\(\mathbb{R}\); будь-який досяжний цільовий стан, тобто будь-який стан в\(\mathbb{R}\), досягається\(n\) кроком (або менше). Система називається доступною системою, якщо все доступно, тобто якщо\(rank(R_{n}) = n\).\(\mathbb{R}^{n}\) Матриця

\ [R_ {n} =\ ліворуч [A^ {n-1} B\ ліво|A^ {n-2} B\ праворуч |\ cdots\ середина B\ праворуч]\ мітка {22.5}\)

називається матрицею досяжності (часто пишуться з блоковими записами, впорядкованими протилежно порядку, який ми тут використовували, але це не суттєво).

Приклад\(\PageIndex{22.1}\)

Розглянемо систему з одним входом

\ [\ left [\ begin {масив} {l}
x_ {1} (k+1)\\
x_ {2} (k+1)
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {ll}
1 &
0
\ 0 & 1\ end {масив}\ праворуч [\ почати {масив} {l}
x_ {1} (k)\\
x_ {2} (k)
\ кінець {масив}\ правий] +\ лівий [\ begin {масив} {l}
1\
1
\ end {масив}\ право] u\ tag {k}\]

Досяжний підпростір, очевидно, (з симетрії) лінія\(x_{1}=x_{2}\). Ця система недоступна.

Наступна альтернативна характеристика\(\mathbb{R}_{k}\) корисна, особливо тому, що його версія КТ буде відігравати важливу роль у нашому розвитку історії досяжності КТ. Давайте спочатку визначимо k-ступінчасту досяжність Граміана\(\mathcal{P}_{k}\) по

\[\mathcal{P}_{k}=R_{k} R_{k}^{T}=\sum_{i=0}^{k-1} A^{i} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{i}\label{22.6}\]

Тому ця матриця є симетричною та позитивною напіввизначеною. Тоді ми маємо наступний результат.

Лемма\(\PageIndex{22.1}\)

\[R a\left(\mathcal{P}_{k}\right)=R a\left(R_{k}\right)=\mathbb{R}_{k}\label{22.7}\]

Доказ

Це легко помітити\(R a\left(\mathcal{P}_{k}\right) \subset R a\left(R_{k}\right)\). Для зворотного включення ми можемо еквівалентно показати, що

\[R a^{\perp}\left(\mathcal{P}_{k}\right) \subset R a^{\perp}\left(R_{k}\right)\nonumber\]

Для цього зверніть увагу, що

\ [\ почати {вирівняний}
q^ {T}\ mathcal {P} _ {k} =0 &\ Довгострілка q^ {T}\ mathcal {P} _ {k} q = 0\\
&\ Довгалівопрямстрілка\ ліворуч\ кут R_ {k} ^ {T} q, R_ {k} ^ {T} q\\ правий\ кут = 0\\
&\ Довга стрілка вліворуч вправо q^ {T} R_ {k} =0
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

так що будь-який вектор\(R a^{\perp}\left(\mathcal{P}_{k}\right)\) в також в\(R a^{\perp}\left(R_{k}\right)\).

Таким чином, досяжний підпростір може бути еквівалентно обчислений, як і\(Ra(P_{ell})\) для будь-якого\(\ell \geq n\). Якщо система стабільна, то\(P_{\infty} := P\) добре визначена, і легко показано, щоб задовольнити рівняння Ляпунова

\[A P \Lambda^{T} \quad P=B B^{T}\label{22.8}\]

Ми залишаємо вас, щоб показати, що (22.8) має (унікальне) позитивне певне (а отже, і повне ранг) рішення\(P\) тоді і лише тоді, коли система\((A, B)\) доступна.

Досяжність з довільного початкового стану

Зверніть увагу з (22.2), що перехід від ненульового початкового стану\(x(0) = s\) до цільового стану\(x(k) = d\) вимагає від нас знайти\(\mathcal{U}_{k}\) для якого

\[d-A^{k} s=R_{k} \mathcal{U}_{k}\label{22.9}\]

Для довільного\(d\)\(s\), реквізитна умова така ж, як і для досяжності від походження. Таким чином, ми можемо перейти від довільного початкового стану до довільного кінцевого стану тоді і тільки тоді, коли система досяжна (від початку); і ми можемо зробити перехід\(n\) кроками або менше, коли перехід можливий.

Керованість проти досяжності

Тепер розглянемо, що називається проблемою керованості, а саме те, що приведення довільного початкового стану\(x(0)\) до початку в кінцевому числі кроків. З (22.2) ми бачимо, що це вимагає вирішення

\[-A^{k} x(0)=R_{k} \mathcal{U}_{k}\label{22.10}\]

Якщо\(A\) є оборотним і\(x(0)\) є довільним, то ліва сторона (22.10) є довільною, тому умова керованості\(x(0)\) до початку в кінцевому числі кроків є саме такий ранг\( (R_{k} ) = n\) для деяких\(k\), тобто просто умова досяжності що\(rank(R_{n}) = n\).

Якщо, з іншого боку,\(A\) є одниною (тобто має власні значення 0), то ліва сторона (22.10) буде обмежена підпростором простору стану, навіть якщо вона не\(x(0)\) обмежена. Діапазон\(A_{k}\) для однини\(A\) може спочатку зменшуватися, але\(Ra(A^{k} ) = Ra(A^{n} )\) для\(k \geq n\) (оскільки\(n\) поетапно блоки Джордана, пов'язані з нульовими\(A\) власними значеннями, гарантовано були\ обнулені» в\(A^{n}\)). Тим часом, як ми вже бачили, діапазон\(R_{k}\) може збільшуватися спочатку, але\(Ra(R_{k} ) = Ra(R_{n})\) для\(k \geq n\).

З цих фактів випливає і (22.10), що довільний початковий стан керований до 0 за скінченний час, тобто система керована, якщо

\[R a\left(A^{n}\right) \subset R a\left(R_{n}\right)\label{22.11}\]

Для оборотних\(A\) ми відновлюємо наш попередній стан. (Різниця між досяжністю і керованістю не спостерігається у випадку КТ, тому що матриця переходу стану існує\(A^{k}\),\(e^{At}\) а не, і завжди є оборотною.)