21.8: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33381

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{21.1}\)

При децентралізованому управлінні установка вважається діагоналлю, а контролери підписуються незалежно для кожного діагонального елемента. Якщо ж реальний процес не повністю деко- плед, взаємодії між цими окремими підсистемами можуть привести систему до нестабільності.

Розглянемо\(2 \times 2\) рослина

\ [P (s) =\ ліворуч (\ begin {масив} {ll}
P_ {11} & P_ {12}\\
P_ {21} & P_ {22}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Припустимо, що\(P_{12}\) і\(P_{21}\) є стабільними і відносно невеликими в порівнянні з діагональними елементами, і доступна лише прив'язана до їх АЧХ. Припустимо\(K=\operatorname{diag}\left(K_{1}, K_{2}\right)\), контролер призначений для стабілізації системи\(P_{0}=\operatorname{diag}\left(P_{11}, P_{22}\right)\).

Налаштуйте задачу як задачу стійкості стійкості, тобто поставте проблему у\(M - \Delta\) форму.
Вивести неконсервативне умова (необхідне і достатнє), яке гарантує стабільність, надійність вищевказаної системи. Припустимо, що недіагональні елементи збурені самостійно. Зменшіть результат до найпростішої форми (відповідь на\(\mu(M)<1\) кшталт неприйнятна; ця задача має точне рішення, яке можна обчислити).
Як змінюється ваша відповідь, якщо недіагональні елементи збурені одночасно з одним і тим же\(\Delta\).

Вправа\(\PageIndex{21.2}\)

Розглянемо\(\mu\) проблему рангу 1. Припустимо\(\Delta_{0}\), містить тільки реальні збурень. Обчислити точний вираз\(\mu(M)\).

Вправа\(\PageIndex{21.3}\)

Розглянемо сукупність рослин, що характеризуються наступними наборами чисельників і знаменників передавальної функції:

\[N(s)=N_{0}(s)+N_{\delta}(s) \delta, \quad D(s)=D_{0}(s)+D_{\delta}(s) \delta\nonumber\]

Де обидва\(N_{0}\) і\(D_{0}\) є поліномами в\(s, \delta \in \mathbb{R}^{n}\), і\(N_{\delta}, D_{\delta}\) є множинними рядковими векторами. Потім набір всіх рослин дається:

\[\Omega=\left\{\frac{N(s)}{D(s)}\left|\delta \in \mathbb{R}^{n},\right| \delta_{i} \mid \leq \gamma\right\}\nonumber\]

\(K\)Дозволяти контролер, який стабілізує\(N_{0}/D_{0}\). Обчислити точний запас стабільності; тобто обчислити найбільший\(\gamma\) такий, щоб система була стабільною.