Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

20.9: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32989

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{20.1}\)

    Розглянемо рослину, описану матрицею передавальної функції

    \ [P_ {\ альфа} (s) =\ left (\ begin {масив} {cc}
    \ frac {\ альфа} {s-1} &\ frac {1} {s-1}
    \\ frac {2 s-1} {s (s-1)} &\ frac {1}
    \ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

    де\(\alpha\) - реальний, але невизначений параметр, обмежений діапазоном [0:5, 1:5]. Ми хочемо спроектувати компенсатор зворотного зв'язку\(K(s)\) для надійної стабільності стандартного сервоприводу навколо заводу.

    (a) Ми хотіли б знайти значення\(\alpha\), скажімо, і скалярного\(\tilde{\alpha}\), стабільного, належного раціонального,\(W(s)\) такого, що набір можливих рослин\(P_{\alpha}(s)\) міститься в межах «набору невизначеності»

    \[P_{\tilde{\alpha}}(s)[I+W(s) \Delta(s)]\nonumber\]

    де\(\Delta(s)\) діапазони над набором стійких, правильних раціональних матриць с\(\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\). Спробуйте і знайдіть (ніяких запевнень, що таке можливо!) підходить\(\tilde{\alpha}\) і\(W(s)\), можливо, маючи на увазі, що те, що ми дійсно хочемо зробити, це гарантія

    \[\sigma_{\max }\left\{P_{\tilde{\alpha}}^{-1}(j \omega)\left[P_{\alpha}(j \omega)-P_{\tilde{\alpha}}(j \omega)\right]\right\} \leq|W(j \omega)|\nonumber\]

    Який конкретний вибір\(\Delta(s)\) дає урожай рослині\(P_{1}(s)\) (тобто рослині з

    (b) Повторіть частину (a), але тепер працюючи з набором невизначеності

    \[P_{\tilde{\alpha}}(s)\left[I+W_{1}(s) \Delta(s) W_{2}(s)\right]\nonumber\]

    де\(W_{1}(s)\) і\(W_{2}(s)\) є векторами стовпців і рядків відповідно, і\(\Delta(s)\) є скалярним. Покладіть верхню межу на

    \[\sigma_{\max }\left\{P_{\tilde{\alpha}}^{-1}(j \omega)\left[P_{\alpha}(j \omega)-P_{\tilde{\alpha}}(j \omega)\right]\right\}\nonumber\]

    які ви отримаєте в цьому випадку.

    (c) Для кожного з наведених вище випадків запишіть достатню умову для міцної стійкості системи із замкнутим контуром, викладену в умовах норми, що включає номінальну додаткову функцію чутливості\(T=\left(I+K P_{\tilde{\alpha}}\right)^{-1} K P_{\tilde{\alpha}}\) та\(W-\) або, частково (b),\(W_{1}\) і\(W_{2}\).

    Вправа\(\PageIndex{20.2}\)

    Виявляється, теорема малого коефіцієнта посилення діє і для нелінійних систем. Розглянемо конфігурацію зворотного зв'язку зі стабільною системою\(M\) в прямому контурі і стабільним, невідомим збуренням в петлі зворотного зв'язку. Припустимо, що конфігурація добре поставлена. Переконайтеся, що система із замкнутим контуром стабільна, якщо\(\|M\|\|\Delta\|<1\). Тут нормою є посилення системи над будь-якою p-нормою. (Цей результат також вірний як для систем DT, так і для КТ; однаковий доказ має).

    Вправа\(\PageIndex{20.3}\)

    Конструкція контролера повинна враховувати ефекти квантування. Припустимо, що єдиною змінною в замкнутому контурі, яка підлягає квантуванню, є вихід заводу. Пропонуються дві дуже прості схеми:

    Квантування в замкнутому контурі

    Малюнок 20.8: Квантування в замкнутому контурі

    Знімок екрана 2020-11-13 о 10.30.11 PM.png

    Малюнок 20.9: Квантування моделюється як обмежений шум

    1. Припустимо, що вихід передається через оператор квантування, який\(Q\) визначається як:

    \[Q(x)=a\left\lfloor\frac{|x|}{.5+a}\right\rfloor \operatorname{sgn}(x), \quad a>0\nonumber\]

    де\([r]\) позначає найбільше ціле число менше ніж\(r\). Вихід цього оператора подається в контролер як на малюнку 20.8. Вивести достатній стан, що гарантує стабільність при наявності\(Q\).

    2. Припустимо, що вхід контролера пошкоджений невідомим, але обмеженим сигналом, з невеликою зв'язкою, як на малюнку 20.9. Аргументуйте, що контролер повинен бути сконструйований так, щоб він не посилював це порушення на своєму вході.

    Порівняйте дві схеми, тобто чи дають вони однаковий результат? Чи є різниця?