20.8: Додаток

Необхідність умови малого посилення для робастної стійкості можна довести, показавши, що якщо\(\sigma_{\max }\left[M\left(j \omega_{0}\right)\right]>1\) для деяких\(\omega_{0}\), ми можемо побудувати\(\Delta\) норму менше одиницю, таку, що отримана замкнута карта\(G_{zv}\) нестабільна. Робиться це наступним чином. Візьмемо одиничне значення розкладання\(M\left(j \omega_{0}\right)\),

\ [M\ лівий (j\ omega_ {0}\ праворуч) =U\ сигма V^ {\ прайм} =U\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
\ sigma {1} &\\
ddots &\\\
&\\ sigma {n}
\ кінець {масив}\ праворуч] V^ {\ прайм}\ етикетка {20.17}\]

З тих пір\(\sigma_{\max }\left[M\left(j \omega_{0}\right)\right]>1, \sigma_{1}>1\). Тоді\(\Delta\left(j \omega_{0}\right)\) можуть бути побудовані як:

\ [\ Дельта\ ліворуч (j\ омега_ {0}\ праворуч) =V\ ліворуч [\ почати {масив} {cccc}
1/\ sigma_ {1} &
&\\ & 0
&\ ddots\\
& & 0
\ end {масив}\ праворуч] U^ {\ прайм}\ мітка {20.18}\]

Зрозуміло,\(\sigma_{\max } \Delta\left(j \omega_{0}\right)<1\). У нас тоді є

\ [(I-M\ Delta) ^ {-1}\ ліворуч (j\ omega_ {0}\ праворуч) = I-U\ ліворуч [\ почати {масив} {cccc}
\ сигма_ {1}
&\\ sigma {2} &\\ &\ ddots\\
&
&\\ sigma {n}\ кінець {масив}
\ праворуч]\ quad V^\\ прайм} V\ лівий [\ begin {масив} {cccc }
1/\ сигма_ {1} & &\\ & 0
&\\ & &\\
&\ dточки &\\\
& & 0
\ кінець {масив}\ право] U^ {\ прайм}\

=U\ лівий [I-\ лівий [\ початок {масив} {cccc}
1 & &\\
& 0 &\\
&\ ddots &\\\
& &
\\ & & 0\ кінець {масив}\ праворуч] U^ {\ prime}

=U\ ліворуч [\ почати {масив} {cccc}
0 & &\\ & 1
&\\ &\\
&\ ddots &\\\ ddots
&\\ & 1
\ кінець {масив}\ праворуч] U^ {\\ прайм}\ мітка {20.19}\]

який є одниною. Залишається лише одна проблема, яка полягає в тому, що вона\(\Delta\left(s\right)\) повинна бути законною як передавальна функція стабільної системи, оцінюючи належне значення в\(s=j \omega_{0}\), і має максимальне сингулярне значення над усіма\(\omega\) обмеженими нижче 1. Значення дестабілізуючого\(\omega_{0}\) збурень при

\[\Delta_{0}\left(j \omega_{0}\right)=\frac{1}{\sigma_{\max }\left(M\left(j \omega_{0}\right)\right)} v_{1} u_{1}^{\prime} \nonumber\]

Напишіть вектори\(v_{1}\) і\(u_{1}^{\prime}\) як

\ [v_ {1} =\ ліворуч [\ почати {масив} {c}
\ pm\ ліво|a_ {1}\ праворуч | e^ {j\ theta_ {1}}\\ pm
\ left|a_ {2}\ праворуч | e^ {j\ theta_ {2}}\\ vdots
\\\ pm
\ left|a_ {n}\ right| e^ {j\ theta_ {n}}
\ кінець {масив}\ праворуч],\ quad u_ {1} ^ {\ прайм} =\ лівий [\ begin {масив} {ccc}
\ пм\ ліво|b_ {1}\ праворуч | e^ {j\ phi_ {1}} &\ пм\ ліво|b_ {2}\ праворуч | e^ {j\ phi_ {2}} &\ cdots &\ pm\ ліворуч | b_ {n}\ праворуч | e^ {j\ phi_ {n}}\ кінець {масив}\ праворуч | e^ {j\ phi_ {n}}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ мітка {20.20}\]

де\(\theta_{i}\) і\(\phi_{i}\) належать інтервалу [0,\(pi\)). Зверніть увагу, що ми використовували\(\pm\) в поданні векторів\(v_{1}\) і\(u_{1}^{\prime}\) так, щоб ми могли обмежити кути\(\theta_{i}\) і\(\phi_{i}\) інтервал [0,\(pi\)). Тепер ми можемо вибрати невід'ємні константи\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \text { and } \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\) такі, що фаза функції\(\frac{s-\alpha_{i}}{s+\alpha_{i}}\) в\(s=j \omega_{0}\) є\(\theta_{i}\), а фаза функції\(\frac{s-\beta_{i}}{s+\beta_{i}}\) в\(s=j \omega_{0}\) є\(\phi_{i}\). Тепер дестабілізуючий\(\Delta\left(s\right)\) дається

\[\Delta(s)=\frac{1}{\sigma_{\max }\left(M\left(j \omega_{0}\right)\right)} g(s) h^{T}(s)\]

де

\ [g (s) =\ лівий [\ почати {масив} {c}
\ пм\ ліво|a_ {1}\ праворуч |\ frac {s-\ alpha_ {1}} {s+\ alpha_ {n}}
\\ pm\ ліво|a_ {2}\ права|\ frac {s-\ alpha_ {2}}\\\ vdots\\
\ pm
\ left|a_ {n}\ right|\ frac {s-\ alpha_ {n}} {s+\ alpha_ {n}}
\ end {масив}\ праворуч],\ quad h (s) =\ лівий [\ почати {масив} {c}
\ pm\ left|b_ {1}\ праворуч |\ frac {s-\ beta_ {1}} {s+\ beta_ {1}}\
\ pm\ ліво|b_ {2}\ право|\ frac {s-\ beta_ {2}} {s+\ beta_ {2}}}\\
vdots\\
\ pm\ left|b_ {n}\ right|\ frac {s-\ beta_ {n}} {s+\ beta_ {n}}
\ end {масив}\ право]\]