20.7: Аналіз стійкості стійкості

Далі ми наведемо кілька прикладів для ілюстрації використання теореми малого коефіцієнта посилення в аналізі стійкості стійкості.

Приклад 20.1 (Адитивне збудження)

Для конфігурації на малюнку 20.1 легко помітити, що

\[M=-K\left(I+P_{0} K\right)^{-1} W=-\left(I+K P_{0}\right)^{-1} K W\nonumber\]

Приклад 20.2 (Мультиплікативне збурення)

Мультиплікативне збурення форми малюнка 20.2 може бути вставлено в замкнуту систему або на вході установки, або на виході. Потім процедура ідентична Прикладу 20.1, за винятком того, що\(M\) стає іншою функцією. Знову легко перевірити, що для мультиплікативного збурень на вході рослини,

\[M=-\left(I+K P_{0}\right)^{-1} K P_{0} W \ \tag{20.11}\]

в той час як збурень на виході дає

\[M=-\left(I+P_{0} K\right)^{-1} P_{0} K W \ \tag{20.12}\]

Наведені вище приклади показують, що стійкість стійкості вимагає забезпечення зважених версій певних знайомих передавальних функцій мають\(\mathcal{H}_{\infty}\) норми, які менше 1. Наприклад, з мультиплікативним збуренням на виході, як і в останньому прикладі, нам потрібно для стійкості стійкості\(\|T W\|_{\infty}<1\), де\(T\) додаткова функція чутливості, пов'язана з номінальною замкнутою системою. Ця умова, очевидно, має такий же аромат, як умови, про які ми говорили раніше у зв'язку з номінальною продуктивністю замкнутої системи.

Теорема малого посилення не може скористатися будь-якою особливою структурою, яка може бути в наборі невизначеності\(\Delta\), і тому може бути дуже консервативною. Як приклади видів ситуацій, що виникають, розглянемо наступні два приклади.

Приклад 20.3

Припустимо, у нас є система, яка найкраще представлена моделлю малюнка 20.4. Коли ця система буде зведена до стандартного вигляду,\(\Delta\) буде мати блок-діагональ

Малюнок 20.4: Рослина з множинною невизначеністю.

структури, так як два збурень входять в різні точки системи:

\ [\ Дельта=\ left [\ begin {масив} {cc}
\ Delta_ {a} & 0\\
0 &\\ Delta_ {b}
\ end {масив}\ праворуч]\\ tag {20.13}\]

Таким чином, є певна додана інформація про невизначеність рослини, яка не може бути захоплена неструктурованою теоремою малого посилення, і взагалі, навіть якщо\(\|M\|_{\infty} \geq 1\) для того,\(M\) що відповідає\(\Delta\) вищесказаному, не може бути допустимого збурень, яке призведе до нестабільного\((I-M \Delta)^{-1}\).

Приклад 20.4

Припустимо, що крім меж норми на невизначеність, ми знаємо, що фаза збурень залишається в секторі\(\left[-30^{\circ}, 30^{\circ}\right]\). Знову ж таки, навіть якщо\(\|M\|_{\infty} \geq 1\) для того,\(M\) що відповідає\(\Delta\) для цієї системи, не може бути допустимого збурень, яке призведе до нестабільного\((I-M \Delta)^{-1}\).

В обох попередніх двох прикладах неструктурована теорема з малим коефіцієнтом посилення дає консервативні результати.

Пов'язка стійкості до критерію Найквіста (SISO)

Припустимо, у нас є номінальна установка SISO з мультиплікативним збуренням, і номінально стабілізуючий регулятор\(K\). Потім\(P=P_{0}(1+W \Delta)\) і компенсована функція передачі розімкнутого контуру

\[P K=P_{0} K+P_{0} K W \Delta \ \tag{20.14}\]

Оскільки\(P_{0}\)\(K\), і\(W\) відомі і\(|\Delta| \leq 1\) з довільною фазою, ми можемо зробити висновок з (20.14), що «реальний» графік Найквіста на будь-якій заданій частоті\(\omega_{0}\) міститься в області, розділеній колом, центрованим на\(P_{0}\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)\), з радіусом\(\left|P_{0} K W\left(j \omega_{0}\right)\right|\). Це проілюстровано на малюнку 20.5 (а). Зрозуміло, що якщо коло невизначеності коли-небудь включає\(-1\), існує ймовірність того, що «справжній» сюжет Найквіста має додаткове оточення, а значить, нестабільний. Ми можемо пов'язати це з проблемою надійної стабільності наступним чином. З прикладу 20.2 система SISO є стійкою за теоремою малого коефіцієнта посилення, якщо

\[\left|\frac{P_{0} K}{1+P_{0} K} W\right|<1, \quad \forall \omega \ \tag{20.15}\]

Аналогічно,

\[\left|P_{0} K W\right|<\left|1+P_{0} K\right| \ \tag{20.16}\]

Права частина (20.16) - величина перекладу графіка Найквіста номінальної передавальної функції циклу. На малюнку 20.5 (б) через переклад оточення нуля дестабілізує систему. Зрозуміло, що цього не може статися, якщо (20.16) буде задоволено. Це робить зв'язок надійної стабільності з критерієм SISO Nyquist чітким.

Продуктивність як стабільність і надійність

Припустимо, що для якоїсь моделі\(P\) заводу ми хочемо спроектувати контролер зворотного зв'язку, який не тільки стабілізує завод (перший порядок пріоритету!) , але також забезпечує деякі переваги продуктивності, такі як покращене регулювання виходу при наявності порушень. З огляду на, що щось відомо

Малюнок 20.5: Співвідношення критерію Найквіста та міцної стійкості.

щодо частотного спектру таких збурень модель системи може виглядати як рис. 20.6\(\|\xi\|_{2}<1\), де і моделюючий фільтр\(W\) може бути побудований для захоплення частотних характеристик збурень. Обчислення передавальної функції цього циклу від\(\xi\) до\(y\), ми маємо що\(y=(I+P K)^{-1} W \xi\). Ми припускаємо, що специфікація продуктивності буде виконана\(\left\|(I+P K)^{-1} W\right\|_{\infty}<1\), якщо, що не обмежує проблему, оскільки завжди\(W\) можна масштабувати, щоб відобразити фактичну величину порушення або специфікації продуктивності. Ця формулювання виглядає аналогічно стійкій задачі стійкості, і дійсно, можна перевірити, що теорема малого коефіцієнта посилення, застосована до системи рис. 20.7, фіксує ідентичне обмеження на функцію передачі системи. Відображаючи цю систему в стандартну форму малюнка 20.3, ми знаходимо те\(M=(I+P K)^{-1} W\), що саме те,\(M\) що потрібно, якщо умова малого виграшу полягає в отриманні бажаної умови

Нарешті, невизначеність рослин повинна бути приведена в картину одночасно з

Малюнок 20.7: Відображення специфікацій продуктивності в проблему стабільності.

обмеження продуктивності. Це необхідно, щоб сформулювати задачу надійності продуктивності. Повинно бути очевидним, що це призведе до ситуацій з блочно-діагоналлю\(\Delta\), як це було отримано в контексті останнього прикладу в попередньому підрозділі. Лікування цього випадку вимагатиме поняття структурованих сингулярних значень, як ми побачимо в наступній лекції.