20.3: Мультиплікативне представлення невизначеності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33009

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ще одним простим засобом представлення невизначеності, що володіє деякими приємними аналітичними властивостями, є мультиплікативне збурення, яке можна записати у вигляді

\[\Omega=\left\{P \mid P=P_{0}(I+W \Delta),\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\} \ \tag{20.5}\]

Знімок екрана 2020-08-05 в 1.16.58 AM.png

Малюнок 20.2: Представлення невизначеності як мультиплікативного збурень на вході рослин.

Альтернативою цьому представленню невизначеності на стороні входу є наступне представлення вихідної сторони:

\[\Omega=\left\{P \mid P=(I+W \Delta) P_{0},\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\}\nonumber\]

В обох мультиплікативних випадках вище, так\(W\) і\(\Delta\) є стабільними. Як і при адитивному поданні, в перераховані вище набори входять моделі довільно великого порядку. Ще можна уявити інші варіації; у випадку матричних ваг, наприклад, термін\(W \Delta\) може бути замінений на\(W_{1} \Delta W_{2}\).

Застереження, згадане у зв'язку з адитивним збуренням, повторюється тут: наведені вище мультиплікативні характеристики не слід інтерпретувати як те, що фактична рослина - це каскадна комбінація номінальної системи\(P_{0}\) та системи\(I + W \Delta\). Швидше, власне рослина слід розглядати як мінімальну реалізацію передавальної функції\(P (s)\), яка записується в мультиплікативній формі.

Будь-які\(P\) нестійкі полюси є полюсами номінальної установки, але необов'язково навпаки, тому що нестабільні полюси\(P_{0}\) можуть бути скасовані нулями\(I + W \Delta\). Іншими словами, власне заводі допускається мати менше нестійких полюсів, ніж номінальна установка, але всі її нестійкі полюси обмежені тими ж місцями, що і в номінальній моделі. З огляду на застереження в попередньому пункті, такі скасування не відповідають нестабільним прихованим режимам, а тому не викликають занепокоєння.