19.4: Міцна стабільність

У цьому розділі ми покажемо, як ми можемо проаналізувати стабільність системи зворотного зв'язку, коли рослина невизначена і, як відомо, належить до набору форми, яку ми описали раніше. Почнемо ми з випадку адитивних пертубацій. Розглянемо єдність конфігурації зворотного зв'язку на малюнку 19.1. Функція передачі з відкритим контуром є\(L(s)=\left(P_{0}(s)+W(s) \Delta(s)\right) K(s)\), і

Малюнок 19.5: Ділянка Найквіста

Номінальна функція передачі розімкнутого контуру є\(L_{0}(s)=P_{0}(s) K(s)\). Номінальна система зворотного зв'язку з номінальною функцією передачі\(L_{0}\) розімкнутого контуру стабільна, і ми хочемо знати, чи залишається система зворотного зв'язку стабільною для всіх,\(\Delta (s)\) хто задовольняє\(|\Delta(j \omega)| \leq 1\) всіх! 2 Р. Будемо вважати, що номінальна система розімкнутого контуру стабільна. Це не викликає втрати спільності і результат тримається в загальному випадку. З критерію Найквіста ми маємо, що сюжет Nyquist\(L_{0}\) не оточує точку\(-1\). Для збуреної системи ми маємо, що

\ [\ почати {вирівняний}
1+L (j\ омега) &=1+P (j\ омега) K (j\ омега)\\
&= 1+\ ліворуч (P_ {0} (j\ омега) +W (j\ омега)\\
&= 1+L_ {0} (j\ омега) +W\ j\ омега)\ Дельта (j\ омега) K (j\ омега)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

З малюнка 19.6 видно, що не\(L(\mathrm{J} \omega)\) буде оточувати точку,\(-1\) якщо виконується наступна умова,

\[|W(j \omega) K(j \omega)|<\left|1+L_{0}(j \omega)\right|\nonumber\]

які можуть бути записані як

\[\left|\frac{W(j \omega) K(j \omega)}{1+L_{0}(j \omega)}\right|<1 \ \tag{19.6}\]

Малий аргумент посилення

Далі ми представимо інший висновок вищезазначеного результату, який не спирається на критерій Найквіста, і буде основою для багатоваріантних узагальнень результатів надійної стабільності. Оскільки номінальна система зворотного зв'язку стабільна, нулі 1 + L0 (s) знаходяться в лівій половині комплексної площини. Тому по неперервності нулів збурена система

Малюнок 19.6: Ілюстрація сюжету Nyquist Міцна стабільність

буде стабільним тоді і тільки тоді, коли

\[\left|1+\left(P_{0}(j \omega)+W(j \omega) \Delta(j \omega)\right) K(j \omega)\right|>0\nonumber\]

для всіх\(\omega \in \mathbb{R},\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\). Переставляючи терміни, збурена система стабільна тоді і тільки тоді, коли

\[\min _{|\Delta(j \omega)| \leq 1}\left|1+\frac{W(j \omega) K(j \omega)}{1+P_{0}(j \omega) K(j \omega)} \Delta(j \omega)\right|>0 \quad \text { for all } \omega \in \mathbb{R}\nonumber\]

Наступна лема допоможе нам перетворити цю умову в те, що дано раніше.

Лемма 19.1

Наступні є рівнозначними

1. \[\min _{|\Delta(j \omega)| \leq 1}\left|1+\frac{W(j \omega) K(j \omega)}{1+P_{0}(j \omega) K(j \omega)} \Delta(j \omega)\right|>0 \quad \text { for all } \omega \in \mathbb{R}\nonumber\]
2. \[1-\left|\frac{W(j \omega) K(j \omega)}{1+P_{0}(j \omega) K(j \omega)}\right|>0 \quad \text { for all } \omega \in \mathbb{R}\nonumber\]

Доказ

Спочатку покажемо, що 2) має на увазі 1), що є наслідком наступних нерівностей:

\ [\ почати {вирівняний}
\ ліво|1+\ розрив {W (j\ омега) K (j\ омега)} {1+P_ {0} (j\ омега) K (j\ омега)}\ дельта (j\ омега)\ право| &\ geq 1-\ ліворуч |\ frac {W (j\ омега) K (j\ омега)} {1+P_ {0} (j\ омега) K (j\ омега)}\ дельта (j\ омега)\ праворуч |\\
&\ geq 1-\ ліво|\ розрив {W (j\ омега) K (j\ омега)} {1+P_ {0 } (j\ омега) K (j\ омега)}\ праворуч |
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Для зворотного припустимо, 2) порушується, тобто існує\(\omega_{0}\) таке, що

\[\left|\frac{W\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)}{1+P_{0}\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)}\right| \geq 1\nonumber\]

Напишіть

\[\frac{W\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)}{1+P_{0}\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)}=a e^{j \phi}\nonumber\]

і нехай\(\bar{\Delta}\left(j \omega_{0}\right)=\frac{1}{a} e^{-j \phi-j \pi}\). Ясно,\(\left|\bar{\Delta}\left(j \omega_{0}\right)\right| \leq 1\) і

\[1+\frac{W\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)}{1+P_{0}\left(j \omega_{0}\right) K\left(j \omega_{0}\right)} \bar{\Delta}\left(j \omega_{0}\right)=0\nonumber\]

Тепер виберіть реальне раціональне збурення\(\bar{\Delta}(s)\) як

\[\bar{\Delta}(s)=\pm \frac{1}{a} \frac{s-\alpha}{s+\alpha}\nonumber\]

такий, що\(\pm \frac{j \omega_{0}-\alpha}{\omega_{0}+\alpha}=e^{-j \phi-j \pi}\).

Малюнок 19.7: Представлення фактичної рослини в сервопетлі за допомогою мультиплікативного збурень номінальної рослини.

Аналогічний набір результатів можна отримати і для випадку мультиплікативних збурень. Зокрема, надійна стійкість конфігурації на рис. 19.7 може бути гарантована, якщо система стабільна для номінальної установки\(P_{0}\) і

\[\left|\frac{W(j \omega) P_{0}(j \omega) K(j \omega)}{1+P_{0}(j \omega) K(j \omega)}\right|<1 . \quad \text { for all } \omega \in \mathbb{R} \ \tag{19.7}\]

Приклад 19.3 Стабілізація бобу

Ми зацікавлені в отриманні контролера, який стабілізує промінь на малюнку 19.8 і відстежує ступінчастий вхід (з хорошими властивостями). Модель твердого тіла від входу крутного моменту до відхилення наконечника задається

\[P_{0}(s)=\frac{6.28}{s^{2}}\nonumber\]

Малюнок 19.8: Гнучка балка.

Розглянемо контролер

\[K_{0}(s)=\frac{500(s+10)}{s+100}\nonumber\]

Коефіцієнт посилення циклу задається

\[P_{0}(s) K_{0}(s)=\frac{3140(s+10)}{s^{2}(s+100)}\nonumber\]

і показано на малюнку 19.9. Полюси замкнутого контуру розташовані на -49,0, -28.6, -22,4, а номінальна функція чутливості задається

\[S_{0}(s)=\frac{1}{1+P_{0}(s) K_{0}(s)}=\frac{s^{2}(s+100)}{s^{3}+100 s^{2}+3140 s+31400}\nonumber\]

і показано на малюнку 19.10. З цього видно, що система має хороші властивості відторгнення та відстеження порушень. Відповідь на крок замкнутого контуру показана на малюнку 19.11

Хоча цей контролер здається відмінною конструкцією, виявляється, що на практиці він працює досить погано. Пропускна здатність цього контролера (яка ніколи не була обмежена) досить велика, щоб збуджувати гнучкі режими променя, які не були враховані в моделі. Більш складну модель пучка дає

\[P_{1}(s)=\underbrace{\frac{6.28}{s^{2}}}_{\text {nominal plant }}+\underbrace{\frac{12.56}{s^{2}+0.707 s+28}}_{\text {flexible mode }}\nonumber\]

Якщо\(K_{0}\) підключений до цієї рослини, то полюси замкнутого контуру становлять -1,24, 0,29, 0,06, -0,06, що має на увазі нестійкість.

Замість того, щоб використовувати нову модель для редизайну контролера, ми хотіли б використовувати номінальну модель\(P_{0}\), а гнучкі режими враховують як немодельовану динаміку з певною концентрацією частот. У цьому є кілька переваг. Для

Малюнок 19.9: Ділянка з відкритим контуром

один, конструкція заснована на простішій номінальній моделі і, отже, може призвести до більш простого контролера. Такий підхід також дозволяє вмістити додаткові гнучкі режими без збільшення складності опису. І, нарешті, це дозволяє нам компромісити продуктивність для надійності.

Розглянемо набір рослин:

\[\Omega=\left\{P=P_{0}(1+\Delta) ;|\Delta(j \omega)| \leq l(\omega), \Delta \text { is stable }\right\}\nonumber\]

де

\[l(\omega) \leq 2\left|\frac{\omega^{2}}{28-\omega^{2}+0.707 j \omega}\right|\nonumber\]

Малюнок 19.10: Номінальна чутливість

У цей набір входить модель\(P_{1}\). Стабільність Стабільність Стабільність Умова задається:

\[|T(j \omega)|<\frac{1}{l(\omega)}\nonumber\]

Де\(T\) знаходиться номінальна карта замкнутого контуру з будь-яким контролером\(K\). Спочатку розглянемо аналіз стабільності вихідного контролера\(K_{0}(s)\). На малюнку 19.12 показана як АЧХ для\(\left|T_{0}(j \omega)\right|\) і\([l(\omega)]^{-1}\). Очевидно, що умова стійкості стійкості порушується, оскільки

\[\left|T_{0}(j \omega)\right| \nless \frac{1}{\ell(\omega)}, \quad 3 \leq \omega \leq 70 \mathrm{rad} / \mathrm{sec}\nonumber\]

Малюнок 19.11: Крок відповідь

Малюнок 19.12:\(\left|T_{0}(j \omega)\right| \text { and }[l(\omega)]^{-1}\)

Спробуємо новий дизайн з іншим контролером

\[K_{1}(s)=\frac{\left(5 \times 10^{-4}\right)(s+0.01)}{s+0.1}\nonumber\]

Новий циклічний коефіцієнт посилення

\[P_{0}(s) K_{1}(s)=\frac{\left(3.14 \times 10^{-3}\right)(s+0.01)}{s^{2}(s+0.1)}\nonumber\]

що показано на малюнку 19.13 Ми спочатку перевіряємо умову надійності новим контролером. \(T_{1}\)дається

\[T_{1}(s)=\frac{P_{0}(s) K_{1}(s)}{1+P_{0}(s) K_{1}(s)}\nonumber\]

На малюнку 19.14 зображені обидва\(\left|T_{1}(j \omega)\right|\) і\([\ell(\omega)]^{-1}\). Зрозуміло, що умова виконана. На малюнку 19.15 показана нова номінальна ступінчаста реакція системи. Зверніть увагу, що реакція набагато повільніше, ніж той, що виводиться контролером\(K_{0}\). Це по суті пов'язано з обмеженою пропускною здатністю нового контролера, яка була необхідна для запобігання нестабільності.